重點增分專題十一　圓錐曲線的方程與性質(zhì) [全國卷3年考情分析] 年份 全國卷Ⅰ 全國卷Ⅱ 全國卷Ⅲ 2018 直線與拋物線的位置關(guān)系、平面向量數(shù)量積的運算T8 雙曲線的幾何性質(zhì)T5 雙曲線的幾何性質(zhì)T11 雙曲線的幾何性質(zhì)T11 直線的方程及橢圓的幾何性質(zhì)T12 直線與拋物線的位置關(guān)系T16 2017 直線與拋物線的位置關(guān)系、弦長公式、基本不等式的應用T10 雙曲線的幾何性質(zhì)T9 雙曲線的漸近線及標準方程T5 雙曲線的幾何性質(zhì)T15 2016 雙曲線的幾何性質(zhì)與標準方程T5 雙曲線的定義、離心率問題T11 直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的離心率T11 拋物線與圓的綜合問題T10 (1)圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)是每年高考必考的內(nèi)容．以選擇題、填空題的形式考查，常出現(xiàn)在第4～12或15～16題的位置，著重考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)與標準方程，難度中等． (2)圓錐曲線的綜合問題多以解答題的形式考查，常作為壓軸題出現(xiàn)在第19～20題的位置，一般難度較大． 保分考點練后講評 1.設F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的兩個焦點，點P在橢圓上，若線段PF1的中點在y軸上，則的值為(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選D　如圖，設線段PF1的中點為M，因為O是F1F2的中點，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x軸，|PF2|＝＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，所以＝. 2.已知雙曲線的虛軸長為4，離心率e＝，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，若過F1的直線與雙曲線的左支交于A，B兩點，且|AB|是|AF2|與|BF2|的等差中項，則|AB|等于(　　) A．8 B．4 C．2 D．8 解析：選A　由題意可知2b＝4，e＝＝，于是a＝2.∵2|AB|＝|AF2|＋|BF2|， ∴|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝4a＝8. 3.過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AF|＝2|BF|＝6，則p＝________. 解析：設直線AB的方程為x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＞x2，將直線AB的方程代入拋物線方程得y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2，4x1x2＝p2.設拋物線的準線為l，過A作AC⊥l，垂足為C，過B作BD⊥l，垂足為D，因為|AF|＝2|BF|＝6，根據(jù)拋物線的定義知，|AF|＝|AC|＝x1＋＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋＝3，所以x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所以(x1＋x2)2－(x1－x2)2＝4x1x2＝p2，即18p－72＝0，解得p＝4. 答案：4 [解題方略]　圓錐曲線的定義 (1)橢圓：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)雙曲線：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)拋物線：|MF|＝d(d為M點到準線的距離)． [注意]　應用圓錐曲線定義解題時，易忽視定義中隱含條件導致錯誤. 圓錐曲線的標準方程 保分考點練后講評 [大穩(wěn)定] 1.已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦距為4，漸近線方程為2xy＝0，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1　　　　　 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：選A　易知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦點在x軸上，所以由漸近線方程為2xy＝0，得＝2，因為雙曲線的焦距為4，所以c＝2.結(jié)合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以雙曲線的方程為－＝1. 2.若橢圓的中心為坐標原點，短軸的一個端點與兩焦點組成一個正三角形，且焦點到橢圓上的點的距離的最小值為，則橢圓的標準方程為________． 解析：設長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c， 由已知得又a2＝b2＋c2，∴ ∴橢圓的標準方程為＋＝1或＋＝1. 答案：＋＝1或＋＝1 3.若拋物線y2＝2px(p＞0)上一點到焦點和到拋物線對稱軸的距離分別為10和6，則拋物線的標準方程為____________________． 解析：因為拋物線y2＝2px(p＞0)上一點到拋物線對稱軸的距離為6， 若設該點為P，則P(x0，6)． 因為P到拋物線焦點F的距離為10， 根據(jù)拋物線的定義得x0＋＝10.① 因為P在拋物線上，所以36＝2px0.② 由①②解得p＝2，x0＝9或p＝18，x0＝1， 所以拋物線的標準方程為y2＝4x或y2＝36x. 答案：y2＝4x或y2＝36x [解題方略]　求解圓錐曲線標準方程的思路 定型 就是指定類型，也就是確定圓錐曲線的焦點位置，從而設出標準方程 計算 即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2或p.另外，當焦點位置無法確定時，拋物線常設為y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，橢圓常設為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，雙曲線常設為mx2－ny2＝1(mn>0) [小創(chuàng)新] 1.已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，點B是虛軸的一個端點，線段BF與雙曲線C的右支交于點A，若＝2，且||＝4，則雙曲線C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：選D　不妨設B(0，b)，由＝2，F(xiàn)(c,0)，可得A，代入雙曲線C的方程可得－＝1， ∴＝.① 又||＝＝4，c2＝a2＋b2， ∴a2＋2b2＝16.② 由①②可得，a2＝4，b2＝6， ∴雙曲線C的方程為－＝1. 2.拋物線有如下光學性質(zhì)：由焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必經(jīng)過拋物線的焦點．若拋物線y2＝4x的焦點為F，一平行于x軸的光線從點M(3，1)射出，經(jīng)過拋物線上的點A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點B射出，則直線AB的斜率為(　　) A. B．－ C． D．－ 解析：選B　將y＝1代入y2＝4x，可得x＝，即A.由拋物線的光學性質(zhì)可知，直線AB過焦點F(1,0)，所以直線AB的斜率k＝＝－. 3.如圖，記橢圓＋＝1，＋＝1內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界為曲線C，P是曲線C上的任意一點，給出下列四個命題： ①P到F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四點的距離之和為定值； ②曲線C關(guān)于直線y＝x，y＝－x均對稱； ③曲線C所圍區(qū)域的面積必小于36； ④曲線C的總長度不大于6π. 其中正確命題的序號為________． 解析：對于①，若點P在橢圓＋＝1上，則P到F1(－4，0)，F(xiàn)2(4,0)兩點的距離之和為定值，到E1(0，－4)，E2(0,4)兩點的距離之和不為定值，故①錯；對于②，聯(lián)立兩個橢圓的方程得y2＝x2，結(jié)合橢圓的對稱性知，曲線C關(guān)于直線y＝x，y＝－x均對稱，故②正確；對于③，曲線C所圍區(qū)域在邊長為6的正方形內(nèi)部，所以其面積必小于36，故③正確；對于④，曲線C所圍區(qū)域的內(nèi)切圓為半徑為3的圓，所以曲線C的總長度必大于圓的周長6π，故④錯．所以正確命題的序號為②③. 答案：②③ 增分考點深度精研 [析母題] [典例]　(1)(2018全國卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120，則C的離心率為(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. (2)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p＞0)的準線分別交于A，B兩點，O為坐標原點．若雙曲線的離心率為，△AOB的面積為2，則p＝(　　) A．2 B．1 C．2 D．3 (3)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則e2(e為雙曲線離心率)的值為________． [解析]　(1)如圖，作PB⊥x軸于點B.由題意可設|F1F2|＝|PF2|＝2，則c＝1.由∠F1F2P＝120，可得|PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan ∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝. (2)不妨設A點在B點上方，由雙曲線的離心率為，得1＋＝e2＝5，解得＝2，所以雙曲線的兩條漸近線方程為y＝x＝2x.又拋物線的準線方程為x＝－，則交點的坐標為A，B，所以|AB|＝2p.由△AOB的面積為2，得|AB|＝2，即2p＝2，解得p＝2，故選A. (3)如圖所示，因為|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，|AF1|＝|AF2|＋|BF2|， 所以|BF2|＝2a，|BF1|＝4a. 所以|AF1|＝2a， |AF2|＝2a－2a. 因為|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2， 所以(2c)2＝(2a)2＋(2a－2a)2， 所以e2＝5－2. [答案]　(1)D　(2)A　(3)5－2 [練子題] 1．本例(3)若變?yōu)椋阂阎獧E圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2的直線與橢圓交于A，B兩點，若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則e2＝________. 解析：設|F1F2|＝2c，|AF1|＝m， 因為△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形， 所以|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝m. 由橢圓的定義可知△F1AB的周長為4a， 所以4a＝2m＋m，即m＝2(2－)a. 所以|AF2|＝2a－m＝(2－2)a. 因為|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2， 所以4(2－)2a2＋4(－1)2a2＝4c2， 所以e2＝9－6. 答案：9－6 2．本例(3)若變?yōu)椋篎1，F(xiàn)2為雙曲線的兩個焦點，點A在雙曲線上，且△AF2F1為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為______． 解析：注意到|F2A|≠|(zhì)F1A|， 不妨設|F2A|＞|F1A|. 因為△AF2F1為等腰直角三角形， 則|F2A|∶|F1F2|∶|F1A|＝∶1∶1. 所以e＝＝＝＝＋1. 答案：＋1 3．本例(3)中，若雙曲線上存在一點P，使得＝，求雙曲線離心率的取值 范圍． 解：如圖所示， 由 得|PF1|＝， 且|PF2|＝. 又由|PF1|≥a＋c，可得≥a＋c，即e2－2e－1≤0， 解得1－≤e≤＋1，又因為e>1，所以雙曲線離心率的取值范圍為(1，＋1]． [解題方略] 1．橢圓、雙曲線的離心率(或范圍)的求法 求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值． 2．雙曲線的漸近線的求法及用法 (1)求法：把雙曲線標準方程等號右邊的1改為零，分解因式可得． (2)用法：①可得或的值． ②利用漸近線方程設所求雙曲線的方程． [多練強化] 1．(2018全國卷Ⅱ)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x 解析：選A　∵e＝＝＝， ∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a. ∴漸近線方程為y＝x. 2．(2018阜陽模擬)已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右兩個焦點，若橢圓上存在點P使得PF1⊥PF2，則該橢圓的離心率的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選B　∵F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(a＞0，b＞0)的左、右兩個焦點， ∴F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，c2＝a2－b2. 設點P(x，y)，由PF1⊥PF2，得(x＋c，y)(x－c，y)＝0，化簡得x2＋y2＝c2. 聯(lián)立方程組整理得，x2＝(2c2－a2)≥0，解得e≥. 又0＜e＜1，∴≤e＜1. 3．以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點到準線的距離為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：選B　設拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，圓的方程為x2＋y2＝r2. ∵|AB|＝4，|DE|＝2， 拋物線的準線方程為x＝－， ∴不妨設A，D. ∵點A，D在圓x2＋y2＝r2上， ∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(負值舍去)． ∴C的焦點到準線的距離為4. 4．(2018惠州調(diào)研)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，過其中一個焦點與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點M，若點M在以線段F1F2為直徑的圓內(nèi)，則雙曲線離心率的取值范圍是________． 解析：如圖，不妨設F1(0，c)，F(xiàn)2(0，－c)，則過點F1與漸近線y＝x平行的直線為y＝x＋c，聯(lián)立 解得即M.因為點M在以線段F1F2為直徑的圓x2＋y2＝c2內(nèi)，故2＋2<c2，化簡得b2<3a2，即c2－a2<3a2，解得<2，又雙曲線的離心率e＝＞1，所以雙曲線離心率的取值范圍是(1,2)． 答案：(1,2) 增分考點廣度拓展 [分點研究] 題型一　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 [例1]　(2016全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，直線l：y＝t(t≠0)交y軸于點M，交拋物線C：y2＝2px(p＞0)于點P，M關(guān)于點P的對稱點為N，連接ON并延長交C于點H. (1)求； (2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點？說明理由． [解]　(1)如圖，由已知得M(0，t)，P，又N為M關(guān)于點P的對稱點，故N， 故直線ON的方程為y＝x， 將其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0， 解得x1＝0，x2＝，因此H. 所以N為OH的中點，即＝2. (2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點，理由如下： 直線MH的方程為y－t＝x， 即x＝(y－t)． 代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0， 解得y1＝y(tǒng)2＝2t， 即直線MH與C只有一個公共點， 所以除H以外，直線MH與C沒有其他公共點． [解題方略] 1．直線與圓錐曲線有兩個不同的公共點的判定 通常的方法是直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，其Δ>0；另一方法就是數(shù)形結(jié)合，如直線與雙曲線有兩個不同的公共點，可通過判定直線的斜率與雙曲線漸近線的斜率的大小得到． 2．直線與圓錐曲線只有一個公共點的結(jié)論 直線與圓錐曲線只有一個公共點，則直線與雙曲線的一條漸近線平行，或直線與拋物線的對稱軸平行，或直線與圓錐曲線相切． 題型二　直線與圓錐曲線的弦長 [例2]　已知橢圓C：＋y2＝1(a＞1)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是其左、右焦點，以F1F2為直徑的圓與橢圓C有且僅有兩個交點． (1)求橢圓C的方程； (2)設過點F1且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點P，點P橫坐標的取值范圍是，求線段AB長度的取值范圍． [解]　(1)因為以F1F2為直徑的圓與橢圓C有且僅有兩個交點， 所以b＝c＝1，即a＝＝， 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)過點F1且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓于A，B兩點，即直線AB的斜率存在且不為0.設直線AB的方程為y＝k(x＋1)，與＋y2＝1聯(lián)立，得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點為M， 則x1＋x2＝－，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋1)＋k(x2＋1)＝， 即M. 所以線段AB的垂直平分線的方程為 y－＝－， 設點P(xP，yP)，令y＝0，得xP＝－. 因為xP∈，所以0＜k2＜. |AB|＝ ＝ ＝＝. 因為0＜k2＜，所以＜1＋＜2，即＜|AB|＜2. 故線段AB長度的取值范圍是. [解題方略]　直線與圓錐曲線的相交弦弦長的求法 解決直線與圓錐曲線的相交弦問題的通法是將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y或x后得到一元二次方程，當Δ＞0時，直線與圓錐曲線有兩個交點，設為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系求出x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2，則弦長|AB|＝＝＝|y1－y2|＝(k為直線的斜率且k≠0)，當A，B兩點坐標易求時也可以直接用|AB|＝ 求之． [多練強化] 已知點M在橢圓G：＋＝1(a>b>0)上，且點M到兩焦點的距離之和為4. (1)求橢圓G的方程； (2)若斜率為1的直線l與橢圓G交于A，B兩點，以AB為底作等腰三角形，頂點為P(－3,2)，求△PAB的面積． 解：(1)∵2a＝4，∴a＝2. 又點M在橢圓上， ∴＋＝1，解得b2＝4， ∴橢圓G的方程為＋＝1. (2)設直線l的方程為y＝x＋m. 由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.　① 設A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB的中點為E(x0，y0)， 則x0＝＝－，y0＝x0＋m＝. ∵AB是等腰△PAB的底邊，∴PE⊥AB. ∴PE的斜率k＝＝－1，解得m＝2. 此時方程①為4x2＋12x＝0，解得x1＝－3，x2＝0， ∴y1＝－1，y2＝2，∴|AB|＝3. 此時，點P(－3,2)到直線AB：x－y＋2＝0的距離 d＝＝，∴△PAB的面積S＝|AB|d＝. 數(shù)學運算——直線與圓錐曲線綜合問題的求解 [典例]　已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點為(，0)，且經(jīng)過點，點M是x軸上的一點，過點M的直線l與橢圓C交于A，B兩點(點A在x 軸的上方)． (1)求橢圓C的方程； (2)若＝2，且直線l與圓O：x2＋y2＝相切于點N，求|MN|. [解]　(1)由題意知 得(a2－4)(4a2－3)＝0， 又a2＝3＋b2＞3，故a2＝4，則b2＝1， 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)設M(m,0)，直線l：x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由＝2，得y1＝－2y2. 由得(t2＋4)y2＋2tmy＋m2－4＝0， 則y1＋y2＝－，y1y2＝. 由y1y2＝－2y，y1＋y2＝－2y2＋y2＝－y2， 得y1y2＝－2[－(y1＋y2)]2＝－2(y1＋y2)2， 所以＝－22， 化簡得(m2－4)(t2＋4)＝－8t2m2. 易知原點O到直線l的距離d＝， 又直線l與圓O：x2＋y2＝相切， 所以＝，即t2＝m2－1. 由 得21m4－16m2－16＝0， 即(3m2－4)(7m2＋4)＝0， 解得m2＝，此時t2＝，滿足Δ＞0， 所以M. 在Rt△OMN中，|MN|＝＝. [素養(yǎng)通路] 本題是直線與橢圓、圓的綜合問題：(1)由題意，列關(guān)于a，b的方程組，解方程組可得a，b的值進而求得橢圓的方程；(2)設出M，A，B的坐標及直線l的方程x＝ty＋m，與橢圓方程聯(lián)立，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得m與t的關(guān)系，由直線與圓相切，得另一關(guān)系式，聯(lián)立可得M的坐標進而得|MN|.考查了數(shù)學運算這一核心素養(yǎng)． A組——“6＋3＋3”考點落實練 一、選擇題 1．(2018全國卷Ⅰ)已知橢圓C：＋＝1的一個焦點為(2,0)，則C的離心率為(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選C　∵a2＝4＋22＝8， ∴a＝2，∴e＝＝＝. 2．一個焦點為(，0)且與雙曲線－＝1有相同漸近線的雙曲線方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：選B　設所求雙曲線方程為－＝t(t≠0)，因為一個焦點為(，0)，所以|13t|＝26.又焦點在x軸上，所以t＝－2，即雙曲線方程為－＝1. 3．若拋物線y2＝4x上一點P到其焦點F的距離為2，O為坐標原點，則△OFP的面積為(　　) A. B．1 C. D．2 解析：選B　設P(x0，y0)，依題意可得|PF|＝x0＋1＝2，解得x0＝1，故y＝41，解得y0＝2，不妨取P(1,2)，則△OFP的面積為12＝1. 4．(2018全國卷Ⅲ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則點(4,0)到C的漸近線的距離為(　　) A. B．2 C. D．2 解析：選D　∵e＝＝＝，∴＝1. ∴雙曲線的漸近線方程為xy＝0. ∴點(4,0)到C的漸近線的距離d＝＝2. 5．已知雙曲線x2－＝1 的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點，且|AF1|＝|BF1|，則|AB|＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．2＋1 解析：選C　設雙曲線的實半軸長為a，依題意可得a＝1，由雙曲線的定義可得|AF2|－|AF1|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，又|AF1|＝|BF1|，故|AF2|－|BF2|＝4，又|AB|＝|AF2|－|BF2|，故|AB|＝4. 6．(2018全國卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60，則C的離心率為(　　) A．1－ B．2－ C. D.－1 解析：選D　在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60， 不妨設橢圓焦點在x軸上，且焦距|F1F2|＝2， 則|PF2|＝1，|PF1|＝， 由橢圓的定義可知，方程＋＝1中， 2a＝1＋，2c＝2，得a＝，c＝1， 所以離心率e＝＝＝－1. 二、填空題 7．已知雙曲線－y2＝1(a>0)的漸近線方程為y＝x，則其焦距為________． 解析：由漸近線方程y＝x，可得＝，解得a＝， 故c＝＝2，故焦距為4. 答案：4 8．設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為________． 解析：設雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)， 由題意可知，直線l過焦點，且垂直于x軸，將x＝c代入雙曲線方程，解得y＝， 則|AB|＝，由|AB|＝22a， 則b2＝2a2，所以雙曲線的離心率e＝＝＝. 答案： 9．已知拋物線C的頂點為坐標原點，準線為x＝－1，直線l與拋物線C交于M，N兩點，若線段MN的中點為(1,1)，則直線l的方程為________． 解析：依題意易得拋物線的方程為y2＝4x，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，因為線段MN的中點為(1,1)，故x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，則x1≠x2，由兩式相減得y－y＝4(x1－x2)，所以＝＝2，故直線l的方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 答案：2x－y－1＝0 三、解答題 10．(2018石家莊模擬)設A，B為曲線C：y＝上兩點，A與B的橫坐標之和為2. (1)求直線AB的斜率； (2)設M為曲線C上一點，曲線C在點M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程． 解：(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝2， 故直線AB的斜率k＝＝＝1. (2)由y＝，得y′＝x. 設M(x3，y3)，由題設知x3＝1，于是M. 設直線AB的方程為y＝x＋m，故線段AB的中點為N(1,1＋m)，|MN|＝. 將y＝x＋m代入y＝，得x2－2x－2m＝0. 由Δ＝4＋8m>0，得m>－，x1,2＝1. 從而|AB|＝|x1－x2|＝2. 由題設知|AB|＝2|MN|，即＝，解得m＝， 所以直線AB的方程為y＝x＋. 11．(2018全國卷Ⅱ)設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|＝8. (1)求l的方程； (2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程． 解：(1)由題意得F(1,0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0)． 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝. 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝. 由題設知＝8，解得k＝1或k＝－1(舍去)． 因此l的方程為y＝x－1. (2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2)， 所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)， 即y＝－x＋5. 設所求圓的圓心坐標為(x0，y0)， 則 解得或 因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. 12．已知直線x＋ky－3＝0所經(jīng)過的定點F恰好是橢圓C的一個焦點，且橢圓C上的點到點F的最大距離為8. (1)求橢圓C的標準方程． (2)已知圓O：x2＋y2＝1，直線l：mx＋ny＝1，試證：當點P(m，n)在橢圓C上運動時，直線l與圓O恒相交，并求直線l被圓O所截得的弦長l的取值范圍． 解：(1)設橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)， 直線x＋ky－3＝0所經(jīng)過的定點是(3,0)， 即點F(3,0)． 因為橢圓C上的點到點F的最大距離為8， 所以a＋3＝8，a＝5，所以b2＝52－32＝16， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)因為點P(m，n)在橢圓C上， 所以＋＝1，即n2＝16－. 又原點到直線l：mx＋ny＝1的距離d＝＝<1， 所以直線l：mx＋ny＝1與圓O：x2＋y2＝1恒相交． 則l2＝4(12－d2)＝4， 因為－5≤m≤5，所以≤l≤. 故直線l被圓O所截得的弦長l的取值范圍為. B組——大題專攻補短練 1．已知拋物線C：x2＝2py(p>0)，過焦點F的直線交C于A，B兩點，D是拋物線的準線l與y軸的交點． (1)若AB∥l，且△ABD的面積為1，求拋物線的方程； (2)設M為AB的中點，過M作l的垂線，垂足為N. 證明：直線AN與拋物線相切． 解：(1)∵AB∥l，∴|AB|＝2p. 又|FD|＝p，∴S△ABD＝p2＝1. ∴p＝1，故拋物線C的方程為x2＝2y. (2)證明：設直線AB的方程為y＝kx＋， 由消去y得，x2－2kpx－p2＝0. ∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2. 其中A，B. ∴M，N. ∴kAN＝＝＝＝＝. 又x2＝2py，即y＝，∴y′＝. ∴拋物線x2＝2py在點A處的切線斜率k＝. ∴直線AN與拋物線相切． 2．(2018貴陽適應性考試)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M為短軸的上端點，＝0，過F2垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點，且|AB|＝. (1)求橢圓C的方程； (2)設經(jīng)過點(2，－1)且不經(jīng)過點M的直線l與C相交于G，H兩點．若k1，k2分別為直線MH，MG的斜率，求k1＋k2的值． 解：(1)由＝0，得b＝c.① 因為過F2垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點， 且|AB|＝，所以＝.② 又a2＝b2＋c2，③ 聯(lián)立①②③，解得a2＝2，b2＝1， 故橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)設直線l的方程為y＋1＝k(x－2)， 即y＝kx－2k－1， 將y＝kx－2k－1代入＋y2＝1， 得(1＋2k2)x2－4k(2k＋1)x＋8k2＋8k＝0， 由題設可知Δ＝－16k(k＋2)>0， 設G(x1，y1)，H(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝， k1＋k2＝＋＝＋＝2k－＝2k－(2k＋1)＝－1， 所以k1＋k2＝－1. 3．(2019屆高三唐山五校聯(lián)考)在直角坐標系xOy中，長為＋1的線段的兩端點C，D分別在x軸，y軸上滑動，＝ .記點P的軌跡為曲線E. (1)求曲線E的方程； (2)經(jīng)過點(0,1)作直線l與曲線E相交于A，B兩點，＝＋，當點M在曲線E上時，求直線l的方程． 解：(1)設 C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)． 由＝ ，得(x－m，y)＝(－x，n－y)， 所以得 由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2， 所以(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2， 整理，得曲線E的方程為x2＋＝1. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝＋， 知點M的坐標為(x1＋x2，y1＋y2)． 易知直線l的斜率存在，設直線l的方程為y＝kx＋1，代入曲線E的方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0， 則x1＋x2＝－， 所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝. 由點M在曲線E上，知(x1＋x2)2＋＝1， 即＋＝1，解得k2＝2. 此時直線l的方程為y＝x＋1. 4.如圖，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點為F，右頂點、上頂點分別為點A，B，且|AB|＝|BF|. (1)求橢圓C的離心率； (2)若點M在橢圓C的內(nèi)部，過點M的直線l交橢圓C于P，Q兩點，M為線段PQ的中點，且OP⊥OQ，求直線l的方程及橢圓C的方程． 解：(1)由已知|AB|＝|BF|， 得 ＝a， 即4a2＋4b2＝5a2,4a2＋4(a2－c2)＝5a2， 所以e＝＝. (2)由(1)知a2＝4b2， 所以橢圓C的方程可化為＋＝1. 設P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由＋＝1，＋＝1， 可得＋＝0， 即＋＝0， 即＋(y1－y2)＝0，從而kPQ＝＝2， 所以直線l的方程為y－＝2， 即2x－y＋2＝0. 聯(lián)立消去y，得17x2＋32x＋16－4b2＝0. 則Δ＝322＋1617(b2－4)>0?b>， x1＋x2＝－，x1x2＝. 因為OP⊥OQ，＝0，即x1x2＋y1y2＝0， x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0， 5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0， 從而－＋4＝0，解得b＝1， 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. 綜上，直線l的方程為2x－y＋2＝0， 橢圓C的方程為＋y2＝1.