考點18 異面直線所成的角 異面直線所成的角 1．定義：已知兩條異面直線，，經(jīng)過空間任一點作直線a′∥a，b′∥b，我們把a′與b′所成的銳角或直角叫做異面直線a與b所成的角或夾角)． 2．異面直線所成的角的取值范圍： 3．當＝時，a與b互相垂直，記作． 【例】設P是直線l外一定點，過點P且與l成30角的異面直線（ ） A．有無數(shù)條 B．有兩條 C．至多有兩條 D．有一條 【答案】A 【規(guī)律總結】異面直線所成的角的大小與O點的位置無關，即O點位置不同時，這一角的大小是不會改變的． 1．如圖所示，在長方體中，，，則異面直線所成角的大小為（ ） A．30 B．45 C．60 D．90 【答案】C 【解析】連接，由得，所以，所以異面直線所成的角為60． 2．如下左圖所示，在正三角形中，分別為各邊中點，分別為 的中點．將沿折成三棱錐后，所成角的度數(shù)為（ ） A．90 B．60 C．45 D．0 【答案】B 3．如圖，在正方體中，分別為的中點，則異面直線與所成的角等于（ ） A．45 B．60 C．90 D．120 【答案】B 【解析】連結，則，且、，所以異面直線所成的角等于60． 【易錯易混】異面直線所成的角的范圍是90，所以在三角形中求的角為鈍角時，應取它的補角作為異面直線所成的角． 4．過正方體的頂點作直線，使與棱所成的角都相等，這樣的直線可以作（ ） A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 【答案】D 5．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，異面直線AC與B1C1所成的角的大小為________． 【答案】45． 【解析】∵B1C1∥BC，∴∠ACB為異面直線AC與B1C1所成的角． ∵∠ACB＝45，∴AC與B1C1所成的角的大小為45． 【方法技巧】求兩條異面直線所成角的步驟： （1）恰當選點，用平移法構造出一個相交角． （2）證明這個角就是異面直線所成的角（或補角）． （3）把相交角放在平面圖形中，一般是放在三角形中，通過解三角形求出所構造的角的度數(shù)． （4）給出結論：若求出的平面角是銳角或直角，則它就是兩條異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角才是兩條異面直線所成的角． 6．已知三棱錐ABCD中，AB＝CD，且直線AB與CD成60角，點M，N分別是BC，AD的中點，求直線AB和MN所成的角． 【解析】如圖，取AC的中點P，連接PM，PN，因為點M，N分別是BC，AD的中點， ②若∠MPN＝120，則易知△PMN是等腰三角形． 所以∠PMN＝30，即AB與MN所成的角為30． 綜上可知：AB與MN所成角為60或30． 1．如圖正方體ABCD－A1B1C1D1中，異面直線A1B與AD1所成角為（ ） A．30 B．45 C．60 D．90 【答案】C 2．在空間四邊形ABCD中，AB＝CD，且異面直線AB與CD所成的角為30，E、F分別是邊BC和AD的中點，則異面直線EF和AB所成的角等于（ ） A．15 B．30 C．75 D．15或75 【答案】D 【解析】如圖， 設G是AC中點，分別連接EG、GF，由已知得EGAB，F(xiàn)GCD， ∴∠EGF是AB和CD所成角或是其補角． ∵AB＝CD，∴EG＝GF． 當∠EGF＝30時，AB和EF所成角∠GEF＝75， 當∠EGF＝150時，AB和EF所成角∠GEF＝15． 3．直三棱柱中，若，，則異面直線所成的角等于（ ） A．30 B．45 C．60 D．90 【答案】C 【解析】延長到點，使得，連結．，四邊形為平行四邊形，即就是異面直線所成的角．易證得為等邊三角形，． 4．如圖，已知長方體ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2． （1）BC和A′C′所成的角是多少度？ （2）AA′和BC′所成的角是多少度？ 【答案】（1）45；（2）60 地鐵中的異面直線 地下鐵道交通簡稱地鐵．它是采用在地下挖隧道，運用有軌電力機車牽引．除為方便乘客，在地面每隔一段距離建一個出進站口外，一般不占用城市寶貴土地和空間．既不對地面構成任何環(huán)境污染，又可以為乘客躲避城市嘈雜煩躁的空間提供良好環(huán)境．乘坐過地鐵的人，普遍都有這樣的感覺，快捷、準時、方便、舒適、寧靜、安全等．據(jù)悉，地鐵的時速一般在100公里以上．除高速公路行駛的高級轎車外，它的運行速度幾乎超過了路面的所有交通工具．地鐵的運量，一般比公共汽車大7至10倍．此外，地鐵還是發(fā)生戰(zhàn)爭等特大緊急情況最理想的防御工事和庇護所，每逢夏季，地鐵還是人們避暑的好地方．