2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 坐標(biāo)系 三 簡單曲線的極坐標(biāo)方程 2 直線的極坐標(biāo)方程講義(含解析)新人教A版選修4-4.doc
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2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 坐標(biāo)系 三 簡單曲線的極坐標(biāo)方程 2 直線的極坐標(biāo)方程講義(含解析)新人教A版選修4-4.doc
2.直線的極坐標(biāo)方程
1.直線的極坐標(biāo)方程
(1)若直線經(jīng)過點(diǎn)M(ρ0,θ0),且極軸到此直線的角為α,則直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).
(2)當(dāng)直線l過極點(diǎn),即ρ0=0時,l的方程為 θ=α.
(3)當(dāng)直線l過點(diǎn)M(a,0)且垂直于極軸時,l的方程為ρcos_θ=a.
(4)當(dāng)直線l過點(diǎn)M且平行于極軸時,l的方程為.
2.圖形的對稱性
(1)若ρ(θ)=ρ(-θ),則相應(yīng)圖形關(guān)于極軸對稱.
(2)若ρ(θ)=ρ(π-θ),則圖形關(guān)于射線θ=所在直線對稱.
(3)若ρ(θ)=ρ(π+θ),則圖形關(guān)于極點(diǎn)對稱.
求直線的極坐標(biāo)方程
[例1] 求過點(diǎn)A(1,0)且傾斜角為的直線的極坐標(biāo)方程.
[思路點(diǎn)撥] 思路一:通過運(yùn)用正弦定理解三角形建立動點(diǎn)M所滿足的等式,從而集中條件建立以ρ,θ為未知數(shù)的極坐標(biāo)方程;
思路二:先求出直線的直角坐標(biāo)方程,然后運(yùn)用直角坐標(biāo)向極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式間接得解.
[解] 法一:設(shè)M(ρ,θ)為直線上除點(diǎn)A以外的任意一點(diǎn),易知∠xAM=,則∠OAM=,∠OMA=-θ.
在△OAM中,
由正弦定理得=,
即=,∴ρsin=,
∴ρ=,
化簡得ρ(cos θ-sin θ)=1,
經(jīng)檢驗(yàn),點(diǎn)A(1,0)的極坐標(biāo)適合此方程,
∴滿足條件的直線的極坐標(biāo)方程為ρ(cos θ-sin θ)=1.
法二:以極點(diǎn)O為直角坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸非負(fù)半軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,
∵直線的斜率k=tan =1,∴直線方程為y=x-1,
將y=ρsin θ,x=ρcos θ代入上式,得ρsin θ=ρcos θ-1,
∴滿足條件的直線的極坐標(biāo)方程為ρ(cos θ-sin θ)=1.
求直線的極坐標(biāo)方程,首先應(yīng)明確過點(diǎn)M(ρ0,θ0),且極軸到此直線的角為α的直線極坐標(biāo)方程的求法.另外,還要注意過極點(diǎn)、與極軸垂直和平行的三種特殊情況的直線的極坐標(biāo)方程.
1.求過A且垂直于極軸的直線l的方程.
解:如圖所示,在直線l上任意取點(diǎn)M(ρ,θ),∵A,
∴|OH|=2sin=.
在Rt△OMH中,
|OH|=|OM|cos θ,
∴=ρcos θ,即ρcos θ=,
∴過A且垂直于極軸的直線l的方程為ρcos θ=.
2.設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為,直線l過點(diǎn)A且與極軸所成的角為,求直線l的極坐標(biāo)方程.
解:設(shè)P(ρ,θ)為直線l上任意一點(diǎn)(如圖).
則α=-=,
β=π-=+θ,
在△OPA中,有=,
即ρsin=1.
直線的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用
[例2] 在極坐標(biāo)系中,直線l的方程是ρsin=1,求點(diǎn)P到直線l的距離.
[思路點(diǎn)撥] 將極坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)問題.
[解] 點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(,-1).
直線l:ρsin=1可化為
ρsin θcos-ρcos θsin=1,
即直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y+2=0.
∴點(diǎn)P(,-1)到直線x-y+2=0的距離為
d==+1.
故點(diǎn)P到直線l的距離為+1.
對于研究極坐標(biāo)方程下的距離及位置關(guān)系等問題,通常是將它們化為直角坐標(biāo)方程,在直角坐標(biāo)系下研究.
3.在極坐標(biāo)系中,曲線C1和C2的方程分別為ρsin2θ=cos θ和ρsin θ=1.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則曲線C1和C2的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為________.
解析:由ρsin2θ=cos θ?ρ2sin2θ=ρcos θ?y2=x,又由ρsin θ=1?y=1,聯(lián)立?故曲線C1和C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,1).
答案:(1,1)
4.已知直線的極坐標(biāo)方程為ρsin=,則點(diǎn)A到這條直線的距離是________.
解析:點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(,-).
直線ρsin=,
即ρsin θcos+ρcos θsin=,其直角坐標(biāo)方程為
x+y=,即x+y=1.
∴點(diǎn)A(,-)到直線x+y-1=0的距離為
d==,
故點(diǎn)A到直線ρsin=的距離為.
答案:
一、選擇題
1.極坐標(biāo)方程cos θ=(ρ≥0)表示的曲線是( )
A.余弦曲線 B.兩條相交直線
C.一條射線 D.兩條射線
解析:選D ∵cos θ=,
∴θ=+2kπ(k∈Z).
又∵ρ≥0,
∴cos θ=表示兩條射線.
2.已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,π),則過點(diǎn)P且垂直于極軸的直線方程是( )
A.ρ=1 B.ρ=cos θ
C.ρ=- D.ρ=
解析:選C 由點(diǎn)P的坐標(biāo)可知,過點(diǎn)P且垂直于極軸的直線的直角坐標(biāo)方程為x=-2,即ρcos θ=-2.故選C.
3.如果直線ρ=與直線l關(guān)于極軸對稱,那么直線l的極坐標(biāo)方程是( )
A.ρ= B.ρ=
C.ρ= D.ρ=
解析:選A 由ρ=知ρcos θ-2ρsin θ=1,故ρcos θ+2ρsin θ=1,即ρ=為所求.
4.在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)到曲線ρcos θ-ρsin θ-1=0上的點(diǎn)的最小距離等于( )
A. B.
C. D.2
解析:選A 將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)即為點(diǎn)(1,1)到直線x-y-1=0的距離最小,即=,故選A.
二、填空題
5.極坐標(biāo)方程ρcos=1的直角坐標(biāo)方程是____________.
解析:將極坐標(biāo)方程變?yōu)棣裞os θ-ρsin θ=1,化為直角坐標(biāo)方程為x-y=1,即x-y-2=0.
答案:x-y-2=0
6.若直線ρsin=與直線3x+ky=1垂直,則常數(shù)k=________.
解析:直線的極坐標(biāo)方程可化為ρsin θ-ρcos θ=,即x-y+1=0,由題意知=1,解得k=3.
答案:3
7.在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)到直線ρsin θ=2的距離為________.
解析:點(diǎn)對應(yīng)的直角坐標(biāo)為(,1),直線ρsin θ=2對應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為y=2,所以點(diǎn)到直線的距離為1.
答案:1
三、解答題
8.設(shè)M,N分別是曲線ρ+2sin θ=0和ρsin=上的動點(diǎn),求M,N的最小距離.
解:因?yàn)镸,N分別是曲線ρ+2sin θ=0和ρsin=上的動點(diǎn),即M,N分別是圓x2+y2+2y=0和直線x+y-1=0上的動點(diǎn),要求M,N兩點(diǎn)間的最小距離,即在直線x+y-1=0上找一點(diǎn)到圓x2+y2+2y=0的距離最小,即圓心(0,-1)到直線x+y-1=0的距離減去半徑,故最小值為-1=-1.
故M,N的最小距離為-1.
9.求過點(diǎn)(-2,3)且斜率為2的直線的極坐標(biāo)方程.
解:由題意知,直線的直角坐標(biāo)方程為y-3=2(x+2),
即2x-y+7=0.
設(shè)M(ρ,θ)為直線上任意一點(diǎn),
將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入直角坐標(biāo)方程
2x-y+7=0,得2ρcos θ-ρsin θ+7=0,
這就是所求的極坐標(biāo)方程.
10.已知雙曲線的極坐標(biāo)方程為ρ=,過極點(diǎn)作直線與它交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=6,求直線AB的極坐標(biāo)方程.
解:設(shè)直線AB的極坐標(biāo)方程為θ=θ1.
A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ1+π),
ρ1=,ρ2==.
|AB|=|ρ1+ρ2|
==,
∴=1,∴cos θ1=0或cos θ1=
故直線AB的極坐標(biāo)方程為θ=,θ=或θ=.