2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 習(xí)題課 離散型隨機(jī)變量的均值學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc
習(xí)題課 離散型隨機(jī)變量的均值
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.進(jìn)一步熟練掌握均值公式及性質(zhì).2.能利用隨機(jī)變量的均值解決實(shí)際生活中的有關(guān)問題.
類型一 放回與不放回問題的均值
例1 在10件產(chǎn)品中有2件次品,連續(xù)抽3次,每次抽1件,求:
(1)不放回抽樣時(shí),抽取次品數(shù)ξ的均值;
(2)放回抽樣時(shí),抽取次品數(shù)η的均值.
考點(diǎn) 二項(xiàng)分布的計(jì)算及應(yīng)用
題點(diǎn) 二項(xiàng)分布與超幾何分布的識(shí)別
解 (1)方法一 P(ξ=0)==;
P(ξ=1)==;
P(ξ=2)==.
∴隨機(jī)變量ξ的分布列為
ξ
0
1
2
P
E(ξ)=0+1+2=.
方法二 由題意知P(ξ=k)=(k=0,1,2),
∴隨機(jī)變量ξ服從超幾何分布,n=3,M=2,N=10,
∴E(ξ)===.
(2)由題意知1次取到次品的概率為=,
隨機(jī)變量η服從二項(xiàng)分布η~B,
∴E(η)=3=.
反思與感悟 不放回抽樣服從超幾何分布,放回抽樣服從二項(xiàng)分布,求均值可利用公式代入計(jì)算.
跟蹤訓(xùn)練1 甲袋和乙袋中都裝有大小相同的紅球和白球,已知甲袋中共有m個(gè)球,乙袋中共有2m個(gè)球,從甲袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為,從乙袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為P2.
(1)若m=10,求甲袋中紅球的個(gè)數(shù);
(2)若將甲、乙兩袋中的球裝在一起后,從中摸出1個(gè)紅球的概率是,求P2的值;
(3)設(shè)P2=,若從甲、乙兩袋中各自有放回地摸球,每次摸出1個(gè)球,并且從甲袋中摸1次,從乙袋中摸2次.設(shè)ξ表示摸出紅球的總次數(shù),求ξ的分布列和均值.
考點(diǎn) 常見的幾種均值
題點(diǎn) 相互獨(dú)立事件的均值
解 (1)設(shè)甲袋中紅球的個(gè)數(shù)為x,
依題意得x=10=4.
(2)由已知,得=,解得P2=.
(3)ξ的所有可能取值為0,1,2,3.
P(ξ=0)==,
P(ξ=1)=+C=,
P(ξ=2)=C+2=,
P(ξ=3)=2=.
所以ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
所以E(ξ)=0+1+2+3=.
類型二 與排列、組合有關(guān)的分布列的均值
例2 如圖所示,從A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1 (0,0,1),C2(0,0,2)這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn),將這3個(gè)點(diǎn)及原點(diǎn)O兩兩相連構(gòu)成一個(gè)“立體”,記該“立體”的體積為隨機(jī)變量V(如果選取的3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi),此時(shí)“立體”的體積V=0).
(1)求V=0的概率;
(2)求均值E(V).
考點(diǎn) 常見的幾種均值
題點(diǎn) 與排列、組合有關(guān)的隨機(jī)變量的均值
解 (1)從6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)總共有C=20(種)取法,選取的3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)的取法有CC=12(種),
因此V=0的概率為P(V=0)==.
(2)V的所有可能取值為0,,,,,
則P(V=0)=,P==,
P==,
P==,
P==.
因此V的分布列為
V
0
P
所以E(V)=0++++=.
反思與感悟 解此類題的關(guān)鍵是搞清離散型隨機(jī)變量X取每個(gè)值時(shí)所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件,然后利用排列、組合知識(shí)求出X取每個(gè)值時(shí)的概率,利用均值的公式便可得到.
跟蹤訓(xùn)練2 某位同學(xué)記住了10個(gè)數(shù)學(xué)公式中的m(m≤10)個(gè),從這10個(gè)公式中隨機(jī)抽取3個(gè),若他記住2個(gè)的概率為.
(1)求m的值;
(2)分別求他記住的數(shù)學(xué)公式的個(gè)數(shù)X與沒記住的數(shù)學(xué)公式的個(gè)數(shù)Y的均值E(X)與E(Y),比較E(X)與E(Y)的關(guān)系,并加以說明.
考點(diǎn) 超幾何分布的均值
題點(diǎn) 超幾何分布的均值
解 (1)P(X=2)==,
即m(m-1)(10-m)=120,且m≥2.
所以m的值為6.
(2)由原問題知,E(X)=0+1+2+3=,
沒記住的數(shù)學(xué)公式有10-6=4個(gè),故Y的可能取值為0,1,2,3.
P(Y=0)==,
P(Y=1)==,
P(Y=2)==,
P(Y=3)==,
所以Y的分布列為
Y
0
1
2
3
P
E(Y)=0+1+2+3=,
由E(X)=,E(Y)=得出
①E(X)>E(Y).說明記住公式個(gè)數(shù)的均值大于沒記住公式個(gè)數(shù)的均值.
②E(X)+E(Y)=3.說明記住和沒記住的均值之和等于隨機(jī)抽取公式的個(gè)數(shù).
類型三 與互斥、獨(dú)立事件有關(guān)的分布列的均值
例3 某學(xué)生需依次進(jìn)行身體體能和外語(yǔ)兩個(gè)項(xiàng)目的訓(xùn)練及考核.每個(gè)項(xiàng)目只有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì),補(bǔ)考不及格者不能進(jìn)入下一個(gè)項(xiàng)目的訓(xùn)練(即淘汰),若該學(xué)生身體體能考核合格的概率是,外語(yǔ)考核合格的概率是,假設(shè)每一次考核是否合格互不影響.
假設(shè)該生不放棄每一次考核的機(jī)會(huì).用ξ表示其參加補(bǔ)考的次數(shù),求隨機(jī)變量ξ的均值.
考點(diǎn) 常見的幾種均值
題點(diǎn) 相互獨(dú)立事件的均值
解 ξ的可能取值為0,1,2.
設(shè)該學(xué)生第一次,第二次身體體能考核合格分別為事件A1,A2,第一次,第二次外語(yǔ)考核合格分別為事件B1,B2,
則P(ξ=0)=P(A1B1)==,
P(ξ=2)=P(1A21 B2)+P(1A21 2)
=+=.
根據(jù)分布列的性質(zhì),可知P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=2)=.
所以ξ的分布列為
ξ
0
1
2
P
E(ξ)=0+1+2=.
反思與感悟 若隨機(jī)變量取某一值的概率較為復(fù)雜或不好求時(shí),可以利用分布列的性質(zhì)求其概率.
跟蹤訓(xùn)練3 甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,每局比賽甲勝的概率為,乙勝的概率為,沒有和棋,采用五局三勝制,規(guī)定某人先勝三局則比賽結(jié)束,求比賽局?jǐn)?shù)X的均值.
考點(diǎn) 常見的幾種均值
題點(diǎn) 相互獨(dú)立事件的均值
解 由題意,得X的所有可能取值是3,4,5.
則P(X=3)=C3+C3=,
P(X=4)=C2+C2=,
P(X=5)=C22+C22=.
所以X的分布列為
X
3
4
5
P
E(X)=3+4+5=.
類型四 均值問題的實(shí)際應(yīng)用
例4 某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買,則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:
以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),n表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù).
(1)求X的分布列;
(2)若要求P(X≤n)≥0.5,確定n的最小值;
(3)以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的均值為決策依據(jù),在n=19與n=20之中選其一,應(yīng)選用哪個(gè)?
考點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)
題點(diǎn) 均值在實(shí)際中的應(yīng)用
解 (1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得,1臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2,且X的可能取值為16,17,18,19,20,21,22,從而
P(X=16)=0.20.2=0.04;
P(X=17)=20.20.4=0.16;
P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24;
P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24;
P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2;
P(X=21)=20.20.2=0.08;
P(X=22)=0.20.2=0.04.
所以X的分布列為
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值為19.
(3)記Y表示2臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元).
當(dāng)n=19時(shí),
E(Y)=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3500)0.04=4 040.
當(dāng)n=20時(shí),
E(Y)=202000.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4 080.
可知當(dāng)n=19時(shí)所需費(fèi)用的均值小于當(dāng)n=20時(shí)所需費(fèi)用的均值,故應(yīng)選n=19.
反思與感悟 解答概率模型的三個(gè)步驟
(1)審題,確定實(shí)際問題是哪一種概率模型,可能用到的事件類型,所用的公式有哪些.
(2)確定隨機(jī)變量的分布列,計(jì)算隨機(jī)變量的均值.
(3)對(duì)照實(shí)際意義,回答概率、均值等所表示的結(jié)論.
跟蹤訓(xùn)練4 某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品,根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì),顧客采用的付款期數(shù)ξ的分布列為
ξ
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商場(chǎng)經(jīng)銷一件該商品,采用1期付款,其利潤(rùn)為200元;分2期或3期付款,其利潤(rùn)為250元;分4期或5期付款,其利潤(rùn)為300元.η表示經(jīng)銷一件該商品的利潤(rùn).
(1)求事件A“購(gòu)買該商品的3位顧客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);
(2)求η的分布列及均值E(η).
考點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)
題點(diǎn) 均值在實(shí)際中的應(yīng)用
解 (1)由A表示事件“購(gòu)買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”知,表示事件“購(gòu)買該商品的3位顧客中無(wú)人采用1期付款”.
P()=(1-0.4)3=0.216,
P(A)=1-P()=1-0.216=0.784.
(2)η的可能取值為200,250,300.
P(η=200)=P(ξ=1)=0.4,
P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4,
P(η=300)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.1+0.1=0.2,
因此η的分布列為
η
200
250
300
P
0.4
0.4
0.2
E(η)=2000.4+2500.4+3000.2=240(元).
1.若隨機(jī)變量X的分布列如下表所示,則E(X)等于( )
X
0
1
2
3
4
5
P
2x
3x
7x
2x
3x
x
A. B. C. D.
考點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量的均值的概念與計(jì)算
題點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量均值的計(jì)算
答案 C
解析 因?yàn)?x+3x+7x+2x+3x+x=18x=1,所以x=,因此E(X)=02x+13x+27x+32x+43x+5x=40x=40=.
2.某一供電網(wǎng)絡(luò)有n個(gè)用電單位,每個(gè)單位在一天中用電的機(jī)會(huì)是p,則供電網(wǎng)絡(luò)中一天平均用電的單位個(gè)數(shù)是( )
A.np(1-p) B.np
C.n D.p(1-p)
考點(diǎn) 二項(xiàng)分布、兩點(diǎn)分布的均值
題點(diǎn) 二項(xiàng)分布的均值
答案 B
解析 用電單位X~B(n,p),∴E(X)=np.
3.口袋中有編號(hào)分別為1,2,3的三個(gè)大小和形狀相同的小球,從中任取2個(gè),則取出的球的最大編號(hào)X的均值為( )
A. B. C.2 D.
考點(diǎn) 超幾何分布的均值
題點(diǎn) 超幾何分布的均值
答案 D
解析 X可能取值為2,3.P(X=2)==,P(X=3)==.所以E(X)=2+3=+2=.故選D.
4.某學(xué)校高一年級(jí)男生人數(shù)占該年級(jí)學(xué)生人數(shù)的40%.在一次考試中,男、女生平均分?jǐn)?shù)是75,80,則這次考試該年級(jí)學(xué)生平均分?jǐn)?shù)為________.
考點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量的均值的概念與計(jì)算
題點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量均值的計(jì)算
答案 78
解析 平均成績(jī)?yōu)?5+80=78.
5.某銀行規(guī)定,一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤,該銀行卡將被鎖定,小王到該銀行取錢時(shí),發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼,但可以確認(rèn)該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一,小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼正確,則結(jié)束嘗試;否則繼續(xù)嘗試,直至該銀行卡被鎖定.
(1)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率;
(2)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X,求X的分布列和均值.
考點(diǎn) 常見的幾種均值
題點(diǎn) 相互獨(dú)立事件的均值
解 (1)設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A,則P(A)==.
(2)依題意,得X所有可能的取值是1,2,3,又P(X=1)=,P(X=2)==,P(X=3)=1=.所以X的分布列為
X
1
2
3
P
所以E(X)=1+2+3=.
1.實(shí)際問題中的均值問題
均值在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用,如體育比賽的安排和成績(jī)預(yù)測(cè),消費(fèi)預(yù)測(cè),工程方案的預(yù)測(cè),產(chǎn)品合格率的預(yù)測(cè),投資收益等,都可以通過隨機(jī)變量的均值來(lái)進(jìn)行估計(jì).
2.概率模型的解答步驟
(1)審題,確定實(shí)際問題是哪一種概率模型,可能用到的事件類型,所用的公式有哪些.
(2)確定隨機(jī)變量的分布列,計(jì)算隨機(jī)變量的均值.
(3)對(duì)照實(shí)際意義,回答概率、均值等所表示的結(jié)論.
一、選擇題
1.已知X~B,Y~B,且E(X)=15,則E(Y)等于( )
A.5 B.10 C.15 D.20
考點(diǎn) 二項(xiàng)分布、兩點(diǎn)分布的均值
題點(diǎn) 二項(xiàng)分布的均值
答案 B
解析 E(X)=n=15,∴n=30,∴E(Y)=30=10.
2.甲、乙兩臺(tái)自動(dòng)車床生產(chǎn)同種標(biāo)準(zhǔn)的零件,X表示甲車床生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品中的次品數(shù),Y表示乙車床生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品中的次品數(shù),經(jīng)過一段時(shí)間的考察,X,Y的分布列分別是:
X
0
1
2
3
P
0.7
0.1
0.1
0.1
Y
0
1
2
3
P
0.5
0.3
0.2
0
據(jù)此判定( )
A.甲比乙質(zhì)量好 B.乙比甲質(zhì)量好
C.甲與乙質(zhì)量一樣 D.無(wú)法判定
考點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)
題點(diǎn) 均值在實(shí)際中的應(yīng)用
答案 A
解析 E(X)=00.7+10.1+20.1+30.1=0.6,E(Y)=00.5+10.3+20.2+30=0.7.
顯然E(X)<E(Y),由均值的意義知,甲的質(zhì)量比乙的質(zhì)量好.
3.一射手向靶射擊,直到第一次命中為止,每次命中的概率為0.6,現(xiàn)有4顆子彈,射擊完成后剩余子彈的數(shù)目X的均值為( )
A.2.44 B.3.376 C.2.376 D.2.4
考點(diǎn) 常見的幾種均值
題點(diǎn) 獨(dú)立重復(fù)事件的均值
答案 C
解析 X的可能取值為3,2,1,0,P(X=3)=0.6,P(X=2)=0.40.6=0.24,P(X=1)=0.420.6=0.096,P(X=0)=0.43=0.064,所以E(X)=30.6+20.24+10.096=2.376.
4.拋擲兩枚骰子,至少有一個(gè)4點(diǎn)或5點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),就說這次試驗(yàn)成功,在10次試驗(yàn)中,成功次數(shù)X的均值是( )
A. B. C. D.
考點(diǎn) 二項(xiàng)分布、兩點(diǎn)分布的均值
題點(diǎn) 二項(xiàng)分布的均值
答案 D
解析 成功的概率為1-=,
所以X~B,所以E(X)=10=.
5.有10件產(chǎn)品,其中3件是次品,從中任取2件,用X表示取到次品的個(gè)數(shù),則E(X)等于( )
A. B.
C. D.1
考點(diǎn) 超幾何分布的均值
題點(diǎn) 超幾何分布的均值
答案 A
解析 由題意知X=0,1,2,則
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
故E(X)=0+1+2==.
6.某城市有甲,乙,丙3個(gè)旅游景點(diǎn),一位客人游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0.4,0.5,0.6,且此人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響,設(shè)ξ表示客人離開該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值,則E(ξ)等于( )
A.1.48 B.0.76
C.0.24 D.1
考點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)
題點(diǎn) 均值在實(shí)際中的應(yīng)用
答案 A
解析 ξ的分布列為
ξ
1
3
P
0.76
0.24
E(ξ)=10.76+30.24=1.48.
7.簽盒中有編號(hào)為1,2,3,4,5,6的6支簽,從中任意取3支簽,設(shè)X為這3支簽中號(hào)碼最大的一個(gè),則X的均值為( )
A.5 B.5.25
C.5.8 D.4.6
考點(diǎn) 常見的幾種均值
題點(diǎn) 與排列、組合有關(guān)的均值
答案 B
解析 由題意可知,X可以取3,4,5,6,
P(X=3)==,P(X=4)==,
P(X=5)==,P(X=6)==.
由均值的定義可求得E(X)=5.25.
二、填空題
8.郵局郵寄普通信件的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是:20克以內(nèi)收費(fèi)1.2元,達(dá)到20克不足40克收費(fèi)2.4元,達(dá)到40克不足60克收費(fèi)3.6元.假設(shè)郵局每天收到的這三類信件的數(shù)量比例為8∶1∶1,那么一天內(nèi)該郵局收寄的此類普通信件的均價(jià)是________元.
考點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)
題點(diǎn) 均值在實(shí)際中的應(yīng)用
答案 1.56
解析 設(shè)收寄信件的價(jià)格為X,則X的分布列為
X
1.2
2.4
3.6
P
0.8
0.1
0.1
E(X)=1.20.8+2.40.1+3.60.1=1.56,即一天內(nèi)該郵局收寄的此類普通信件的均價(jià)為1.56元.
9.某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出2人作為上海世博會(huì)志愿者,若用隨機(jī)變量ξ表示選出的志愿者中女生的人數(shù),則均值E(ξ)=____.(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)
考點(diǎn) 超幾何分布的均值
題點(diǎn) 超幾何分布的均值
答案
解析 由題意知ξ的所有可能取值為0,1,2,
因此P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,
∴E(ξ)=0+1+2=.
10.已知賣水果的某個(gè)體戶,在不下雨的日子可賺100元,在雨天則要損失10元.若該地區(qū)每年下雨的日子約有130天,則該個(gè)體戶每天獲利的均值是________.(1年按365天計(jì)算)
考點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)
題點(diǎn) 均值在實(shí)際中的應(yīng)用
答案 61
解析 設(shè)該個(gè)體戶每天的獲利是隨機(jī)變量X,則X可能的取值為100,-10,其中P(X=-10)=,P(X=100)=,所以E(X)=100+(-10)≈61.
11.某保險(xiǎn)公司新開設(shè)了一項(xiàng)保險(xiǎn)業(yè)務(wù),若在一年內(nèi)事件E發(fā)生,則該公司要賠償a元,設(shè)一年內(nèi)事件E發(fā)生的概率為p,為使公司收益的均值等于a的10%,那么公司應(yīng)要求投保人交的保險(xiǎn)金為________元.
考點(diǎn) 離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)
題點(diǎn) 均值在實(shí)際中的應(yīng)用
答案 (0.1+p)a
解析 設(shè)要求投保人交x元,公司的收益額為隨機(jī)變量ξ,則P(ξ=x)=1-p,P(ξ=x-a)=p,
∴E(ξ)=x(1-p)+(x-a)p=x-ap,∴x-ap=0.1a,解得x=(0.1+p)a.
三、解答題
12.某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué),4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中,3名同學(xué)來(lái)自數(shù)學(xué)學(xué)院,其余7名同學(xué)來(lái)自物理、化學(xué)等其他互不相同的7個(gè)學(xué)院,現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué),到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選到的可能性相同).
(1)求選出的3名同學(xué)來(lái)自互不相同的學(xué)院的概率;
(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和均值.
考點(diǎn) 超幾何分布的均值
題點(diǎn) 超幾何分布的均值
解 (1)設(shè)“選出的3名同學(xué)來(lái)自互不相同的學(xué)院”為事件A,則P(A)==.
所以,選出的3名同學(xué)來(lái)自互不相同的學(xué)院的概率為.
(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.
P(X=k)=(k=0,1,2,3).
所以,隨機(jī)變量X的分布列是
X
0
1
2
3
P
E(X)=0+1+2+3=.
13.某小組共10人,利用假期參加義工活動(dòng),已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì).
(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”,求事件A發(fā)生的概率;
(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量X的分布列和均值.
考點(diǎn) 常見的幾種均值
題點(diǎn) 與排列、組合有關(guān)的隨機(jī)變量的均值
解 (1)由已知事件A:選2人參加義工活動(dòng),次數(shù)之和為4,則P(A)==.
(2)隨機(jī)變量X可能的取值為0,1,2,
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==.
則X的分布列為
X
0
1
2
P
所以E(X)=0+1+2=1.
四、探究與拓展
14.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,約定每局勝者得1分,負(fù)者得0分,比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止.設(shè)甲在每局中獲勝的概率為,乙在每局中獲勝的概率為,且各局勝負(fù)相互獨(dú)立,則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)ξ的均值E(ξ)=________.
考點(diǎn) 常見的幾種均值
題點(diǎn) 相互獨(dú)立事件的均值
答案
解析 依題意知,ξ的所有可能取值為2,4,6,
設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠?,則第一輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為2+2=.
若第一輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù),則甲、乙在第一輪中必是各得一分,此時(shí),該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒有影響,從而有P(ξ=2)=,P(ξ=4)==,P(ξ=6)=2=,故E(ξ)=2+4+6=.
15.本著健康低碳的生活理念,租自行車騎游的人越來(lái)越多.某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時(shí)間不超過兩小時(shí)免費(fèi),超過兩小時(shí)的部分,每小時(shí)收費(fèi)2元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算).有甲,乙兩人相互獨(dú)立來(lái)該租車點(diǎn)租車騎游(各租一車一次).設(shè)甲,乙不超過兩小時(shí)還車的概率分別為,;兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)還車的概率分別為,;兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過四小時(shí).
(1)求甲,乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率;
(2)設(shè)甲,乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ,求ξ的分布列及均值E(ξ).
考點(diǎn) 常見的幾種均值
題點(diǎn) 相互獨(dú)立事件的均值
解 (1)由題意,得甲,乙在三小時(shí)以上且不超過四小時(shí)還車的概率分別為,.
記甲,乙兩人所付的租車費(fèi)用相同為事件A,則
P(A)=++=.
故甲,乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率為.
(2)ξ可能的取值有0,2,4,6,8.
P(ξ=0)==,
P(ξ=2)=+=,
P(ξ=4)=++=,
P(ξ=6)=+=,
P(ξ=8)==.
∴甲,乙兩人所付的租車費(fèi)用之和ξ的分布列為
ξ
0
2
4
6
8
P
∴E(ξ)=0+2+4+6+8=.