（26）生活中的優(yōu)化問題舉例 1、已知某廠生產(chǎn)某種商品 (件)的總成本函數(shù)為 (萬元),總收益函數(shù)為 (萬元),為了獲得最大利潤,應(yīng)生產(chǎn)這種商品() A.9件B.8件C.7件D.6件 2、海輪每小時使用的燃料費與它的航行速度的立方成正比,已知某海輪的最大航速為海里/小時, 當速度為海里/小時時,它的燃料費是每小時元,其余費用(無論速度如何)都是每小時元.如果甲乙兩地相距海里,則要使該海輪從甲地航行到乙地的總費用最低,它的航速應(yīng)為( ) A. 海里/小時 B. 海里/小時 C. 海里/小時 D. 海里/小時 3、要做一個圓錐形漏斗,其母線長為,要使其體積最大,則其高為() A. B. C. D. 4、做一個圓柱形鍋爐,容積為,兩個底面的材料每單位面積的價格為元,側(cè)面的材料每單位面積價格為元,當造價最低時,鍋爐的底面直徑與高的比為() A. B. C. D. 5、某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,固定成本為元,每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品,成本增加元,若總收入與年產(chǎn)量的關(guān)系是,則當總利潤最大時,每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是( ) A.150B.200C.250D.300 7、某單位用萬元購得一塊空地,計劃在該地塊上建造一棟至少層、每層平方米的樓房.經(jīng)測算,如果將樓房建為層,那么每平方米的平均建筑費用為 (單位:元).為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少,該樓房應(yīng)建為多少層? (注:平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用,平均購地費用=) 8、如圖,江的兩岸可近似地看出兩條平行的直線,江岸的一側(cè)有、兩個蔬菜基地,江岸的另一側(cè)點處有一個超市.已知、、中任意兩點間的距離為千米,超市欲在之間建一個運輸中轉(zhuǎn)站, , 兩處的蔬菜運抵處后,再統(tǒng)一經(jīng)過貨輪運抵處,由于、兩處蔬菜的差異,這兩處的運輸費用也不同.如果從處出發(fā)的運輸費為每千米元.從處出發(fā)的運輸費為每千米元,貨輪的運輸費為每千米元. 1.設(shè),試將運輸總費用 (單位:元)表示為的函數(shù),并寫出自變量的取值范圍; 2.問中轉(zhuǎn)站建在何處時,運輸總費用最小?并求出最小值. 9、用長為,寬為的長方形鐵皮做一個無蓋的容器,先在四角分別截去一個小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)角,再焊接而成(如圖),問該容器的高為多少時,容器的容積最大?最大容積是多少? 10、請你設(shè)計一個包裝盒.如圖所示, 是邊長為的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得四個點重合于圖中的點,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒. 、在上,是被切去一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點.設(shè). 1.某廣告商要求包裝盒的側(cè)面積最大,試問應(yīng)取何值? 2.某廠商要求包裝盒的容積最大,試問應(yīng)取何值? 6已知某商品生產(chǎn)成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為,價格與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為.求產(chǎn)量為何值時,利潤最大? 答案以及解析 1答案及解析： 答案：A 解析：設(shè)利潤為,則 , ∴.由 得,∴時, 單調(diào)遞增; 或時, 單調(diào)遞減.∴時, 有最大值. 所以應(yīng)生產(chǎn)9件這種商品. 2答案及解析： 答案：C 解析：設(shè)當航行速度為海里/小時時,燃料費為元/小時. 則. 又當時, ,∴. 若從甲地到乙地以海里/小時的速度航行.則總費用: , ∴,令,得. 故當航速為海里/小時時總費用最低. 3答案及解析： 答案：A 解析：解析:設(shè)圓錐的高為 ,則底面半徑為,其體積為, ,令,解得舍去. 當時, ;當時, .所以當時, 取得最大值. 4答案及解析： 答案：C 解析：如圖,設(shè)圓柱的底面半徑為,高為,則,設(shè)造價為,則,∴.令并將,代人解得. 5答案及解析： 答案：D 解析：∵總利潤 由,得,故選D. 6答案及解析： 答案： 解:收入. 利潤, 所以.令,即,解得. 因為當時,; 當時,, 所以當時,取得最大值,最大值為.答:當產(chǎn)量為時,利潤取得最大值. 7答案及解析： 答案： 設(shè)樓房每平方米的平均綜合費用為元, 則, . 令,得. 當時, ; 當時, . 因此,當時, 取最小值 (元). 答:為了樓房每平方米的平均綜合費用最少,該樓房應(yīng)建為層. 解析： 8答案及解析： 答案：1.在中,由正弦定理知, 則, 則,. 所以. 即,. 2. , 令, 當時, ,; 當時, ,, 所以當時, 取最小值, 此時,, . 解析： 9答案及解析： 答案： 解:設(shè)容器的高為,容器的體積為 則 ∵ 由 得 ∵時, , 時, , 時, 所以,當有極大值 又 所以當有最大值 解析： 10答案及解析： 答案：1.設(shè)包裝盒的高為,底面邊長為, 由已知得,. , 所以當時, 取得最大值. 2. ,. 由得 (舍)或. 當時, ; 當時, . 所以當時, 取得極大值,也是最大值.