專題四 立體幾何 1().1 ABCDECDCDFBCEFBDHABCDACEFNABCDEFCEFPEFPHAHCExV xPABFED如圖甲所示，正方形的邊長為 ， 是上異于 、 的動點(diǎn)，點(diǎn) 在邊上，且與正方形的對角線平行，是正方形的對角線與的交點(diǎn)， 是正方形兩對角線的交點(diǎn)現(xiàn)沿將折起到的位置 圖乙 ，使記，表例示五棱錐的體積考點(diǎn)考點(diǎn)1 立體幾何中的最值問題立體幾何中的最值問題(1)求V(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)x為何值時，V(x)取得最大值？(3)當(dāng)V(x)取得最大值時，求直線AP與平面ABFED所成角的正切值利用體積公式，構(gòu)造函數(shù)之后用導(dǎo)數(shù)切入點(diǎn)：法求解 .222.12212CHEFPHEFPHAHPHABFEDPHPABFEDCECHCEHCDNCDCNCExCHCNxPHxCD 依題意可知，折起后有又，所以平面，即是五棱錐的高因?yàn)?，所以，則，即解析 2231121112(1)33222201126ABFEDSABCDCEFSxV xS PHxxxxx 又五邊形的面積 等于正方形的面積減去三角形的面積，即， 所以， 232204666()3366(1)0(0)0.3363626262 3()().312332267VxxxxxVxxVxxV xV 令，解得或舍去 當(dāng)，時，；當(dāng)，時，因此，當(dāng)時，取得最大值，最大值為 2623333 232.333616tan5.153PHABFEDAHAPABFEDPAHAPABFEDV xPHAHAHPPHPAHAPABFAHED因?yàn)槠矫妫允侵本€在平面上的射影，所以是直線與平面所成的角當(dāng)取得最大值時，在直角三角形中，即直線與平面所成角的正切值為 (1)折疊問題要注意圖形變化后的線線、線面位置關(guān)系的改變，以及幾何量的變化 (2)解決立體幾何動態(tài)問題，尤其是有關(guān)側(cè)面積、體積的最值問題、點(diǎn)的探究等問題，可以先確立目標(biāo)函數(shù)，再用導(dǎo)數(shù)法來解決是比較好的.1 cm/scos()ABCDaSDABCDSDaPAABQBBCASPQt如圖，四邊形是邊長為 的正方形，平面，且點(diǎn) 從點(diǎn) 出發(fā)沿射線運(yùn)動，點(diǎn) 從點(diǎn) 出發(fā)沿射線運(yùn)動，運(yùn)動速度都是，設(shè)異面直線與的夾角為 ，用運(yùn)動時間 表示，并求 的范圍 變式1 原創(chuàng)題 222,0,0(,0)(,0)(0,0)( ,0)(,0)cos| |2(0)2211A aP atQ ataSaSAaaPQtatSA PQSAPQattaatatt 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系依題意，可得如下點(diǎn)的坐標(biāo)：， ，所以，所解以析 102cos220cos0c4590os2.atattt 當(dāng)，即時，分母取得最小值，此時取得最大值；當(dāng)時，；當(dāng)時，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，知 12.14521PABCDPAABCDPAABBCEPDCEPBEBCGDPAGBG在底面是矩形的四棱錐中，平面，若點(diǎn) 為上的點(diǎn)，當(dāng)異面直線與所成的角為時，求出點(diǎn) 的位置；在上是否存在一點(diǎn) ，使得點(diǎn) 到平面的距離為 ？若存在，求出的長；若不存在，請說例2 明理由考點(diǎn)考點(diǎn)2 立體幾何中的存在性問題立體幾何中的存在性問題 0,0,101,0,01,2,00,0,10,2,0AAxyzABCPD如圖，以 為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則解析有， 1.221EGDPAGABCDBG中，由于點(diǎn) 的位置不確定，故要考慮向量法，以坐標(biāo)確定位置中，設(shè)出 點(diǎn)的坐標(biāo)后，找出點(diǎn) 到平面的距離是關(guān)鍵，然后在矩形中，利用等面積法求出切入點(diǎn)：的長222(0)( 12)(1,01)45|cos45| | 1|2212222 . EyzCEyz CBCEPBCE PBCEPBzyzyz 設(shè)， ， ，則， ，因?yàn)楫惷嬷本€與所成的角為，所以，即( 12,1)1,0,0st( 12)1,0,0( 12,1)12222. 1212CE CDCPCPCDstCECDCPyzststytzyztyyzz 又， ， 是共面向量，所以存在實(shí)數(shù) 、 使得，即，所以，從而得解得或.0 245(1,0)1.2123.31.2ADGABCDCEPBGBGxGxDQAGQDQPAGDQSSAGDQAEPDDGBBADAGxxGDPAG 四邊形所以，當(dāng)異面直線與所成的角為時，假設(shè)存在符合條件的點(diǎn) ，設(shè)，則，作于 ，則平面，即因?yàn)辄c(diǎn) 是的中點(diǎn)或重合于 點(diǎn)故存在點(diǎn) ，當(dāng)時，使得點(diǎn) 到平面，所以=，所以，的距離為解得 1立體幾何中的存在性問題，若用幾何方法難以奏效，則可用向量法轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，從而解決問題 2向量的運(yùn)算中，要注意共線向量、共面向量、夾角公式、距離公式等的使用 111111111112 2.122.0 13(2 1)ABCDABC DADAAABEABACD EADABABEDECDE如圖，在長方體中，點(diǎn) 在棱上移動，小螞蟻從點(diǎn) 沿長方體的表面爬到點(diǎn) ，所爬的最變式惠州一短路程為求證：；求的長度；在線段上是否存在點(diǎn) ，使得二面角的大小為若存在，確定點(diǎn) 的位置；若不存在，模請說明理由 1111111111111(1.1)ADAEADD AADEDADD AADAAADADD EAD證明：連接由長方體的性質(zhì)可知平面，所以是在方法平面內(nèi)的射影又因?yàn)椋?，所以三垂線：解 定理析 11121.4.2ABxADD AACACx設(shè)因?yàn)樗倪呅问钦叫危孕∥浵亸狞c(diǎn) 沿長方體的表面爬到點(diǎn)可能有兩種途徑如下圖的最短路程為221(1)122.ACxxx 如下圖的最短路程為222212222442 22.xxxxxxx因?yàn)?，所以，所以，所?11111221.41.Rt1.123.3.34EDEEByDABCDDHECD HD HDDECDD HDDHDDEBCECyEC DHDC ADyyEEBDECD 假設(shè)存在點(diǎn)連接，設(shè)，過點(diǎn) 在平面內(nèi)作，連接，則為二面角的平面角，所以所以在內(nèi)，而，即，解得即存在點(diǎn) ，且時，二面角的大小為 2 1 如圖建立空間直方法 ：角坐標(biāo)系1111111(1,0)0,0,11,0,1(11)1 1 0110.AEaEaDAD EaDA D EaD EAD 設(shè)，則， ， ，所以，所以 1112121121.0,0,1(0,21)()0020002(2)2322,1,EDECD ED ECxyzDCxyzxayzD E nzyxa ya nnnn 同方法假設(shè)存在點(diǎn)平面的法向量， 設(shè)平面的法向量， ， ，則，即，解得，所以12222122cos.2(2)122323()3.4aaaEBDECDnn由題意得 ，解得或舍去 即當(dāng)點(diǎn) 離 的距離為時，二面角的大小為 1動態(tài)問題靜態(tài)處理是解決立體幾何的有效方法，建立目標(biāo)函數(shù)以解決最值問題，存在性問題，特殊點(diǎn)問題比較好的辦法 2等積法是立體幾何問題轉(zhuǎn)化的基本方法之一，它可以將復(fù)雜的問題簡單化，抽象問題具體化 3高考試題很強(qiáng)調(diào)初、高中知識的結(jié)合，因此化立體問題為平面問題為不少命題者所青睞