第一章 統(tǒng)計案例 學(xué)習(xí)目標 1 進一步體會回歸分析的基本思想 2 通過非線性回歸分析 判斷幾種不同模型的擬合程度 1回歸分析1 3可線性化的回歸分析 1 知識梳理自主學(xué)習(xí) 2 題型探究重點突破 3 當(dāng)堂檢測自查自糾 對不具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量做統(tǒng)計分析 通過變量代換 轉(zhuǎn)化為線性回歸模型 知識點一非線性回歸分析 思考有些變量間的關(guān)系并不是線性相關(guān) 怎樣確定回歸模型 答首先要作出散點圖 如果散點圖中的樣本點并沒有分布在某個帶狀區(qū)域內(nèi) 則兩個變量不呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系 不能直接利用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關(guān)系 這時可以根據(jù)已有函數(shù)知識 觀察樣本點是否呈指數(shù)函數(shù)關(guān)系或二次函數(shù)關(guān)系 選定適當(dāng)?shù)幕貧w模型 u c bv 知識點二非線性回歸方程 u c bx u c bv u a bv 思考如果兩個變量呈現(xiàn)非線性相關(guān)關(guān)系 怎樣求出回歸方程 答可以通過對解釋變量進行變換 如對數(shù)變換或平方變換 先得到另外兩個變量間的回歸方程 再得到所求兩個變量的回歸方程 例1某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表 題型一線性回歸分析 1 由數(shù)據(jù)易知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系 若b 9 4 求線性回歸方程y a bx 回歸直線方程為y 9 1 9 4x 2 據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為4萬元時的銷售額 解當(dāng)x 4時 y 9 1 9 4 4 46 7 故廣告費用為6萬元時銷售額為46 7萬元 跟蹤訓(xùn)練1為了研究3月下旬的平均氣溫 x 與4月20日前棉花害蟲化蛹高峰日 y 的關(guān)系 某地區(qū)觀察了2006年到2011年的情況 得到了下面的數(shù)據(jù) 1 對變量x y進行相關(guān)性檢驗 解制表 故變量y和x存在很強的線性相關(guān)關(guān)系 2 據(jù)氣象預(yù)測 該地區(qū)在2012年3月下旬平均氣溫為27 試估計2012年4月化蛹高峰日為哪天 例2在一化學(xué)反應(yīng)過程中 化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速度y g min 與一種催化劑的量x g 有關(guān) 現(xiàn)收集了8組觀測數(shù)據(jù)列于表中 題型二可線性化的回歸分析 解根據(jù)收集的數(shù)據(jù) 作散點圖 如圖 根據(jù)已有的函數(shù)知識 可以發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲數(shù)y c1ec2x的周圍 其中c1和c2是待定的參數(shù) 令z lny 則z lny lnc1 c2x 即變換后的樣本點應(yīng)該分布在直線z a bx a lnc1 b c2 的周圍 由y與x的數(shù)據(jù)表可得到變換后的z與x的數(shù)據(jù)表 作出z與x的散點圖 如圖 由散點圖可觀察到 變換后的樣本點分布在一條直線的附近 所以可用線性回歸方程來擬合 由z與x的數(shù)據(jù)表 可得線性回歸方程 z 0 848 0 81x 所以y與x之間的非線性回歸方程為y e0 848 0 81x 反思與感悟可線性化的回歸分析問題 畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖 選擇跟散點擬合得最好的函數(shù)模型進行變量代換 作出變換后樣本點的散點圖 用線性回歸模型擬合 跟蹤訓(xùn)練2電容器充電后 電壓達到100V 然后開始放電 由經(jīng)驗知道 此后電壓U隨時間t變化的規(guī)律用公式U Aebt b 0 表示 現(xiàn)測得時間t s 時的電壓U V 如下表 試求 電壓U對時間t的回歸方程 提示 對公式兩邊取自然對數(shù) 把問題轉(zhuǎn)化為線性回歸分析問題 解對U Aebt兩邊取對數(shù)得lnU lnA bt 令y lnU a lnA x t 則y a bx 得y與x的數(shù)據(jù)如下表 由y lnU 得U ey U e4 61 0 313x e4 16 e 0 313x 因此電壓U對時間t的回歸方程為U e4 61 e 0 313x 題型三非線性回歸模型的綜合應(yīng)用 例3某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表 試建立y與x之間的回歸方程 解根據(jù)題干表中數(shù)據(jù)畫出散點圖如圖所示 由圖看出 樣本點分布在某條指數(shù)函數(shù)曲線y c1ec2x的周圍 于是令z lny 畫出散點圖如圖所示 由表中數(shù)據(jù)可得z與x之間的線性回歸方程 z 0 663 0 020 x 則有y e0 663 0 020 x 反思與感悟根據(jù)已有的函數(shù)知識 可以發(fā)現(xiàn)樣本分布在某一條指數(shù)型函數(shù)曲線y c1ec2x的周圍 其中c1和c2是待定參數(shù) 可以通過對x進行對數(shù)變換 轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)關(guān)系 跟蹤訓(xùn)練3在試驗中得到變量y與x的數(shù)據(jù)如下表 試求y與x之間的回歸方程 并預(yù)測x 40時 y的值 解作散點圖如圖所示 從散點圖可以看出 兩個變量x y不呈線性相關(guān)關(guān)系 根據(jù)學(xué)過的函數(shù)知識 樣本點分布的曲線符合指數(shù)型函數(shù)y c1ec2x 通過對數(shù)變化把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系 令z lny 則z bx a a lnc1 b c2 列表 作散點圖如圖所示 從散點圖可以看出 兩個變量x z呈很強的線性相關(guān)關(guān)系 由表中的數(shù)據(jù)得到線性回歸方程為 z 0 277x 3 998 所以y關(guān)于x的指數(shù)回歸方程為 y e0 277x 3 998 所以 當(dāng)x 40時 y e0 277 40 3 998 1190 347 A 1 2 3 4 1 2 3 4 2 某種產(chǎn)品的廣告費支出與銷售額 單位 百萬元 之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù) 則廣告費與銷售額間的相關(guān)系數(shù)為 A 0 819B 0 919C 0 923D 0 95 B 3 根據(jù)統(tǒng)計資料 我國能源生產(chǎn)發(fā)展迅速 下面是我國能源生產(chǎn)總量 單位 億噸標準煤 的幾個統(tǒng)計數(shù)據(jù) 1 2 3 4 根據(jù)有關(guān)專家預(yù)測 到2020年我國能源生產(chǎn)總量將達到27 6億噸左右 則專家所選擇的回歸模型是下列四種模型中的哪一種 A y ax b a 0 B y ax2 bx c a 0 C y ax a 0且a 1 D y logax a 0且a 1 答案A 1 2 3 4 1 2 3 4 4 某種產(chǎn)品的廣告費支出x與銷售額y之間有下表關(guān)系 現(xiàn)在知道其中一個數(shù)據(jù)弄錯了 則最可能錯的數(shù)據(jù)是 6 50