2.2.1 對數(shù)與對數(shù)的運算 【雙向目標】 課程目標 學科素養(yǎng) A. 理解對數(shù)概念，會進行對數(shù)式與指數(shù)式的互化 B.了解對數(shù)的換底公式及其推導，能應用對數(shù)換底公式進行化簡、求值、證明 C.會利用對數(shù)運算性質(zhì)進行化簡計算； a數(shù)學抽象：對數(shù)概念的理解 b邏輯推理：會進行對數(shù)式與指數(shù)式的互化 c數(shù)學運算：會利用對數(shù)的換底公式及相關運算性質(zhì)化簡求值 d 直觀想象：讓學生感受由特殊到一般的數(shù)學思想方法 e 數(shù)學建模：通過對實際問題的探究過程，感知應用數(shù)學解決問題的方法，理解分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學中的應用 【課標知識】 知識提煉 基礎過關 知識點1：對數(shù)的概念 （1） 若，則叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù). （2）負數(shù)和零沒有對數(shù). （3）對數(shù)式與指數(shù)式的互化： （4） 指數(shù)式與對數(shù)式的互化規(guī)律：底數(shù)保持不變 知識點2：幾個重要的對數(shù)恒等式 ，， 知識點3：常用對數(shù)與自然對數(shù) 常用對數(shù)：，即； 自然對數(shù)：，即 (其中) 知識點4：對數(shù)的運算性質(zhì) 若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則 (1) ; (2) ; (3). (4) 知識點5：對數(shù)的換底公式 (,且,,且,) 推論 (,且,,且,,). (＞0,且 ＞0). 知識點6：指數(shù)恒等式 知識點7：對數(shù)恒等式 1.設，則（ ） A.-2<X<-1 B.-3<x<-2 C.-1<x<0 D.0<x<1 2.方程＝的解是( ) A．x＝B．x＝ C．x＝D．x＝8 3. 的值為（ ） A.B.-5 C.D. 4.已知3a＝5b＝A，若＋＝2，則A等于 (　　)． A．15 B. C． D．225 5.如果方程(lg x)2＋(lg 2＋lg 3)lg x＋lg 2lg 3＝0的兩根為x1，x2，那么x1x2的值為 ( )． A．lg 2lg 3 B．lg 2＋lg 3 C.D．－6 6.已知則等于 (　　)． A．a(chǎn)2－b B．2a－b C.D. 7.已知，，則x＋2y的值為 (　　)． A．3 B．8 C．4 D． 基礎過關參考答案： 1.【解析】由題可知，， ，故選A. 【答案】A 2. 【解析】由題可知，， ，即，所以，故選B. 【答案】A 3.【解析】由題可知,由對數(shù)恒等式可得，，故選A. 【答案】A 【答案】B 7.【解析】由題可知，因為2x＝3，所以x＝log23＝log49， 即x＋2y＝log49＋2log4＝log4＝log464＝3.故選B. 【答案】A 【能力素養(yǎng)】 探究一 對數(shù)概念的應用 例1.若則( ) A． B． C． D． 【分析】根據(jù)對數(shù)式與指數(shù)式互換公式進行運算. 【解析】由對數(shù)式和指數(shù)式的關系可得。選B。 【答案】B 【點評】指數(shù)式與對數(shù)式互化時的技巧及應注意的問題 (1)技巧:若是指數(shù)式化為對數(shù)式,只要將冪作為真數(shù),指數(shù)當成對數(shù)值,而底數(shù)不變即可;若是對數(shù)式化為指數(shù)式,則正好相反. (2)注意問題:①利用對數(shù)式與指數(shù)式間的互化公式互化時,要注意字母的位置改變;②對數(shù)式的書寫要規(guī)范:底數(shù)a要寫在符號“l(fā)og”的右下角,真數(shù)正常表示. 【變式訓練】 1.若(y>0，且y≠1)，則必有( ) A． B． C． D． 【解析】由指數(shù)式和對數(shù)式的互化可得。選D。 【答案】D 2.2-3=化為對數(shù)式為( ) A. B. C. D. 【解析】根據(jù)對數(shù)的定義可知選C. 【答案】C 探究二 對數(shù)運算性質(zhì)的應用 例2：【四川省成都市第七中學2018屆高三下學期三診模擬考試數(shù)學（文）試題】 __________． 【點評】本題主要考查對數(shù)的運算法則，意在考查計算能力，屬于簡單題，解答過程注意避免計算錯誤. 【變式訓練】 1. 【山東省濟寧市2017-2018學年高一上學期期末考試數(shù)學試題】__________． 【解析】 由。 【答案】7 2.若,則用含a的代數(shù)式可表示為 ( ) A.a-2 B.3a-(1+a)2 C.5a-2 D.3a-a2 【解析】選A.因為3a=2,所以a=log32,log38-2log36=log323-2log3(23)=3log32-2(log32+1)=a-2. 【答案】A 探究三 換底公式的應用 例3：已知，，則__________（用含，的代數(shù)式表示）． 【點評】利用換底公式化簡求值時應注意的問題 (1)針對具體問題，選擇恰當?shù)牡讛?shù) (2)注意換底公式與對數(shù)運算法則結合使用. (3)換底公式的正用與逆用. (4)恰當應用換底公式的兩個常用結論. 【變式訓練】 1．【重慶市中山外國語學校2017-2018學年高二下學期期末數(shù)學（文）試題】設，則可表示為（ ） A． B． C． D． 【解析】，. 故選：B. 【答案】B 2．【北京市西城13中2017-2018學年高一上學期期中考試數(shù)學試題】已知， ，那么用含， 的代數(shù)式表示為 【解析】由換底公式可得： . 【答案】 探究四 對數(shù)運算的綜合應用 例4：計算：________． 【分析】由題意結合對數(shù)的運算法則整理計算即可求得最終結果 【解析】由對數(shù)的運算法則有：. 【答案】 【點評】本題主要考查對數(shù)的運算法則，對數(shù)恒等式等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力. 【變式訓練】 1.【黑龍江省大慶市2018屆高三第二次教學質(zhì)量檢測理科數(shù)學試題】已知，若，則__________． 【解析】∵∴ ∴故答案為. 【答案】2. 2.計算. ． 【答案】 【課時作業(yè)】 課標 素養(yǎng) 數(shù)學 抽象 邏輯 推理 數(shù)學 運算 直觀 想象 數(shù)學 建模 數(shù)據(jù) 分析 A 1 B 2，13 10,14 C 4,5,15 3,6,7,8,9 1.若xlog3 2011＝1，則2 011x＋2 011－x＝ ( )． A. B. C．6 D. 【解析】由題可知，由xlog32 011＝log32 011x＝1，所以2 011x＝3，所以2 011－x＝. 即2 011x＋2 011－x＝； 【答案】D 2..若，則等于 ( )． A．-3.7169 B．-3+0.7169 C．-3+0.2831 D．-2.7169 【解析】由題可知，. 【答案】B 3.若，則的值為（ ） A.1 B. C. D. 4.奇函數(shù)滿足，當時，，則 A． -2 B． C． D． 2 【答案】A 5．已知函數(shù)，若，則________． 【解析】根據(jù)題意有，可得，所以，故答案是. 【答案】-7 6.已知，，則的值等于_________. 【解析】由，可得，則，故答案為. 【答案】2 7.已知函數(shù)，則__________． 【解析】根據(jù)解析式，，故填1. 【答案】1 8.已知a＝log32則log38－2log36用a可表示為________． 【解析】由題可知，log38－2log36＝3log32－2log32－2log33＝log32－2＝a－2. 【答案】a-2 9.已知m>0，若10x＝lg(10m)＋lg ，則= . 【解析】由題可知，由10x＝lg(10m)＋lg ，可得10x＝lg 10＝1，∴x＝0. 【答案】0 10.計算= . 【解析】由題可知，原式＝＝＝－3. 【答案】-3 11.計算log43log92－= 【解析】由題可知，log43log92－＝－＝log23log32＋log22＝＋＝. 【答案】 12.計算lg－lg＋lg； 【解析】(1)法一 原式＝(5lg 2－2lg 7)－lg 2＋(2lg 7＋lg 5)＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝. 法二 原式＝lg －lg 4＋lg 7＝lg ＝lg ()＝lg ＝. 【答案】 13.已知， ，則用表示 【解析】，故選A 【答案】A 14.設，求的值． 【答案】1 15.若a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的兩個實根，求lg (ab)(logab＋lobba)的值． ＝(lg a＋lg b) ＝2＝12， 即lg(ab)(logab＋logba)＝12. 【答案】12