數(shù)學(xué)(理工類) 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1 .已知集合Axx23x100,Bxx2n,nN,則AIB() A.1,1,2B.1,2C.1,2,4D.0,1,2,4 【答案】C 【解析】 【分析】 解一元二次不等式化簡集合A,集合B中的元素都是正整數(shù)，再根據(jù)集合的交集的概念進行運算即可， 【詳解】因為Axx23x100{x|2x5}, 所以AB{1,2,4}. 故選:C 【點睛】本題考查了解一元二次不等式，考查了集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題. 2 .已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z1i2i,則其共軻復(fù)數(shù)Z() A.13iB.13iC.13iD.13i 【答案】B 【解析】 【分析】 先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計算出z,然后再根據(jù)共軻復(fù)數(shù)的概念直接寫出Z即可. 【詳解】由z1i2i13i,所以其共軻復(fù)數(shù)Z13i. 故選：B. 【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運算以及共軻復(fù)數(shù)的概念，難度較易^ 44i 3.在平面直角坐標(biāo)系中，若角的終邊經(jīng)過點Psin——,cos——，則cos() 33 A.近B.1C.1D.方 2222 【解析】 【分析】 先計算出P點坐標(biāo)，然后即可知 cos 的值, 利用誘導(dǎo)公式即可求解出 cos 的值. 【詳解】因為角 的終邊經(jīng)過點 所以cos —,所以cos 2 -.3 cos —. 故選：A. 【點睛】本題考查任意角的三角函數(shù)值計算以及誘導(dǎo)公式的運用, 難度較易 .角（非軸線角）的終邊經(jīng)過點 P x,y ,則 cos x .一 2 2 9n y -1 - , tan 2 2 ' .x y 2 x 4.已知橢圓 a 2 y_ b2 的左頂點為 A,上頂點為B,且|OA V3|ob( o 為坐標(biāo)原點），則該 橢圓的離心率為 A. 2-^1 3 B. C.— 2 D.— 3 根據(jù)題意得a = J3b以及 b2 c2，消去b，結(jié)合離心率的定義可得答案 【詳解】依題意可知a= ,3b ,gPb .3 —a 3 又 c 、a2"V . a213a)2 —a, ， 3 3 所以該橢圓的離心率 e 故選：B 【點睛】本題考查了求橢圓的離心率，關(guān)鍵是由OA J3OB 得到a = V3b，屬于基礎(chǔ)題  C. 的圖象大致是() 【解析】 【分析】 根據(jù)函數(shù)值恒大于 0,排除A,根據(jù)函數(shù)不是偶函數(shù) ，排除C ,根據(jù)x趨近于正無窮時，函數(shù)值趨近于 0,排除D , 【詳解】因為 2 x x e 1 0,所以A不正確； 函數(shù)f x 2 x x e 1 不是偶函數(shù) ，圖象不關(guān)于y軸對稱，所以C不正確； 2 一 . x 當(dāng) x 0時，f(x) F- e 1 0, 當(dāng)x趨近于正無窮時，x2和ex 1都趨近于正無窮，但是ex 1增大的速度大 X2增大的速度，所以f x 2 —x—趨近于0,故D不正確. ex 1 故選：B 【點睛】本題考查了利用函數(shù)性質(zhì)識別函數(shù)的圖象，考查了偶函數(shù)圖象的對稱性，考查了極限思想，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)排除選項是解題關(guān)鍵 6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入X的值分別為2,1,輸出y的值分別為a,b,則ab() 9 ~r .i: l的束） 1 D.— 4 7 A.4B.2C.- 4 【答案】C【解析】 【分析】 1 根據(jù)程序框圖得到a—,b2,再相加即可得到答案. 4 【詳解】由程序框圖可知：程序框圖的功能是計算分段函數(shù)的函數(shù)值 O11 當(dāng)x2時，y2—,所以a-, 44 ?1.1一 當(dāng)x一時，ylog3—2,所以b2, 99 …17 所以ab2-. 44 故選:C 【點睛】本題考查了利用程序框圖計算分段函數(shù)的函數(shù)值 ，搞清楚程序框圖的功能是解題關(guān)鍵 uuur 7.如圖，已知 ABC中，D為AB的中點，AE 1 uuur uuur —AC ,若 DE 3 uuu uuir AB BC ,則 ，屬于基礎(chǔ)題. () 【解析】 C. D. 【分析】 uuruuuruuur 利用向量的線性運算將DE用AB,AC表示，由此即可得到，的值，從而可求的值 【詳解】 因為 uiurDE uuu DA uuur AE 1uuu—BA2 1uuu-AC3 1uuu BA2 1 3 uurBC uuu BA 所以 1 1.故 1 . 6 3 6 故選：C. 1urniuurBABC 63 1uuu1uum-AB-BC,63 晌量在幾何中的應(yīng)用可通過基 【點睛】本題考查向量的線性運算以及數(shù)乘運算在幾何中的應(yīng)用，難度一般底的表示形式進行分析 88x2y22x2y20上到直線l:xyJ20的距離為1的點共有（） A.1個B.2個C.3個D.4個 【答案】C 【解析】 【分析】 通過計算可知：圓心到直線的距離等于圓的半徑的一半，由此可得結(jié)論. 【詳解】圓x2y22x2y20可化為（x1）2（y1）24, 所以圓心為（1,1）,半彳5r為2, 圓心（1,1）到直線l:xy&0的距離為：d|1^/2|1,,11 ?,1 所以dr,2 所以圓x2y22x2y20上到直線l:xyJ50的距離為1的點共有3個. 故選:C 【點睛】本題考查了由圓的方程求圓心坐標(biāo)和半徑，考查了點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題. 9.部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱為分形，一個數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式， 即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng).分形幾何學(xué)不僅讓人們感悟到科學(xué)與藝木的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美的統(tǒng)一， 而且還有其深刻的科學(xué)方法論意義.如圖，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1915年提出的謝爾賓斯基三角形就屬 于一種分形，具體作法是取一個實心三角形，沿三角形的三邊中點連線，將它分成4個小三角形，去掉中 間的那一個小三角形后，對其余3個小三角形重復(fù)上述過程逐次得到各個圖形. 圖① 圖② 若在圖④中隨機選取一點，則此點取自陰影部分的概率為 A. 9 28 19 B.— 28 27 C.— 64 D. 37 64 根據(jù)圖①②,③歸納得出陰影部分的面積與大三角形的面積之比，再用幾何概型的概率公式可得答案 【詳解】依題意可得：圖①中陰影部分的面積等于大三角形的面積 3 圖②中陰影部分的面積是大三角形面積的一 4 圖③中陰影部分的面積是 歸納可得，圖④中陰影部今 所以根據(jù)幾何概型的概率公 故選:C 【點睛】本題考查了歸納指 10.關(guān)于函數(shù) x1 x2 k 9 積的 的圖象向右， 12 f x 3si 27 64 隨機選取一點，則此點取自陰影部分的概率為 幾何概型的概率公式 ，屬于基礎(chǔ)題. 1 x R有下述四個結(jié)論：①若 f x1 f x2 2 ——,1對稱；③函數(shù)y f x在 3 A.①②④ B.①② 27 64 0-上單調(diào)遞增; 2 歷得圖象關(guān)于 y軸對稱.其中所有正確結(jié)論的編號是 （） C.③④ D.②④ ①根據(jù)對稱中心進行分析；②根據(jù)對稱中心對應(yīng)的函數(shù)值特征進行分析；③根據(jù) y sin x的單調(diào)性進行分 析；④利用函數(shù)圖象的平移進行分析，注意誘導(dǎo)公式的運用 【詳解】①由f Xi f x2 1 知 x1,1 , x2,1 是 f x 3sin 2x 1圖象的兩個對稱中心, 則X1 X2是T —的整數(shù)倍（T是函數(shù)f X的最小正周期），即Xi X2 2 2 k Z ,所以結(jié)論①錯誤;  ②因為f 2— 3sin 3 1,所以—,1是 3 f x的對稱中心，所以結(jié)論②正確; 5— ③由2k—領(lǐng)2x—2k—kZ解得k一領(lǐng)Xk——kZ, 2321212 555 當(dāng)k0時，fx在一，5—上單調(diào)遞增，則fx在0,5—上單調(diào)遞增，在5-,—上單調(diào)遞減, 121212122 所以結(jié)論③錯誤； ④yfx的圖象向右平移一個單位長度后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為 12 y3sin2x一一13cos2x1,123 是偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于y軸對稱，所以結(jié)論④正確 故選：D. 的對稱中心對應(yīng)的 【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度一般.(1)fxAsinx 函數(shù)值為0 ,對稱軸對應(yīng)的函數(shù)值為 A； (2)分析 f x Asin x 的單調(diào)性，可令 x 滿足 ysinx的單調(diào)區(qū)間，從而可求fx的單調(diào)區(qū)間. 11.四面體PABC的四個頂點坐標(biāo)為P0,0,2,A0,0,0,B0,273,0,C3,73,0，則該四面體 外接球的體積為() A.竺B.20-5C.20D.衛(wèi) 333 【答案】B 【解析】 【分析】計算出線段長度，分析出四面體的形狀，從而可確定出外接球的球心，根據(jù)球心求解出球的半徑即可求解出外接球的體積. 【詳解】由題意知PA2,PB4,PC4,AB273,AC273,BC273, 所以PA2AB2PB2,PA2AC2PC2,所以PAAB,PAAC, 所以該四面體側(cè)棱PA底面ABC,且底面是邊長為2J3的正三角形，側(cè)棱PA2, PA中點且平行于底面的平面上, 所以底面正三角形的外接圓半徑為232,球心必在過 2sin60 所以球半徑R J廣彳后所以球的體積為4 ,5 3 20.5 3 故選：B 【點睛】本題考查空間幾何體的外接球體積計算，難度一般 .求解空間幾何體的外接球的問題，首先要確定 出球心所在的位置，然后根據(jù)線段長度求解出外接球的半徑, 最后即可求解出球的體積或表面積 12.已知直線y 2x與曲線f x ln ax b相切，則 ab的最大值為（） e A.一 4 【答案】C e B.一 2 C. e D. 2e 【詳解】設(shè)切點 又由ln axo 根據(jù)切點處切線斜率 此將ab表示成關(guān)于 形式, x0,ln ax0 b 切點處直線對應(yīng)的函數(shù)值等于曲線對應(yīng)的函數(shù)值, 得到b關(guān)于a等式，由 構(gòu)造新函數(shù)分析 ab的最大值. Xo a ax0 b 2 得 ax0 C 1 . 2Xo，得 Xo -ln axo 2 axo 有ab 1 2 —a 2 2aaln—a 2 故當(dāng)0 2四時ga 0;當(dāng)a 2國小 0,故當(dāng)a 取得極大值也即最大值 g2、.e 故選：c. 【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及構(gòu)造函數(shù)求解最值, 難度較難.（1）分析導(dǎo)數(shù)的切線問題，注意兩個點: 切線的斜率等于切點處曲線的導(dǎo)數(shù)值、切線對應(yīng)的y值等于曲線對應(yīng)的函數(shù)值；（2）構(gòu)造函數(shù)求解最值時， 注意分析新函數(shù)的單調(diào)性以及定義域，然后分析最值即可^ 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分. 13 .已知圓柱的底面半徑為2,高為3,垂直于圓柱底面的平面截圓柱所得截面為矩形ABCD（如圖）.若底面 圓的弦AB所對的圓心角為一，則圓柱被分成兩部分中較大部分的體積為3 【答案】10 3,3 【解析】 【分析】 據(jù)題意：較大部分的底面積可以看成是一個三角形加上圓的 分的底面積，然后直接柱體體積公式求解即可 ^ 5 -,且兩部分枉體同局，因此可求解出較大部 3 【詳解】 1 5 .2 2 2 3 因為弦AB所對的圓心角為一， 3 1 22 sin- 2 3 10 3 所以圓柱截掉后剩余部分的底面面積為 所以剩余部分的體積為 V 10 3 3. 故答案為：103%3. 【點睛】本題考查柱體體積的計算，難度較易 .對于被切割的幾何體體積或者表面積的計算，注意借助未切 割之前幾何體的幾何特征去分析. 14 .某項羽毛球單打比賽規(guī)則是3局2勝制，運動員甲和乙進人了男子羽毛球單打決賽，假設(shè)甲每局獲勝的 2 概率為2,則由此估計甲獲得冠軍的概率為. 3 20 【答案】20 27 【解析】 【分析】 分析甲獲勝的方式：（1）前兩局甲都獲勝；（2）前兩局甲獲勝一局，第三局甲獲勝，由此計算出甲獲得冠軍的概率. 【詳解】因為甲獲勝的方式有2:0和2:1兩種, 所以甲獲得冠軍的概率p-c221220. 333327 一，20 故答案為：20. 27 【點睛】本題考查獨立事件的概率計算，對問題分析的能力要求較高，難度一般.若事件A,B互相獨立，則 PABPAPB. 15 .已知函數(shù)fxexx2e,則滿足不等式fm21的m取值范圍是. 【答案】1m3 【解析】 【分析】 先用偶函數(shù)的定義得函數(shù)為偶函數(shù)，可彳導(dǎo)f(x)f(|x|),再利用x.0時,函數(shù)為增函數(shù)，可將不等式化為 |m2|1,從而可解得結(jié)果. 【詳解】因為fxexx2e,所以f(x)e|x|(x)2ee|x|x2ef(x), 所以f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)f(|x|), 當(dāng)x0時，f(x)exx2e為增函數(shù)， 所以fm21等價于f(|m2|)1f(1), 所以|m2|1, 所以1m3, 故答案為：1m3 【點睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，利用f(x)f(|x|)將不等式化為 f(|m2|)1f(1)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題. 16 .某企業(yè)在“精準(zhǔn)扶貧”行動中，決定幫助一貧困山區(qū)將水果運出銷售.現(xiàn)有8輛甲型車和4輛乙型車，甲 型車每次最多能運6噸且每天能運4次，乙型車每次最多能運10噸且每天能運3次，甲型車每天費用320元，乙型車每天費用504元.若需要一天內(nèi)把180噸水果運輸?shù)交疖囌荆瑒t通過合理調(diào)配車輛運送這批水果的費用最少為元. 【答案】2560 【解析】 【分析】 根據(jù)題意設(shè)出關(guān)于車輛數(shù)的未知數(shù)，得到對應(yīng)的不等式組，由此作出可行域，利用平移直線法分析運送費 用的最小值. 46x310y-180, 0蒯x 【詳解】設(shè)安排甲型車x輛，乙型車y輛，由題意有為 0軟fy x,y 8, 4,N, 4x5y…30, 0轟女8, 00蒯y4, x,y N, 4x5y30, 0蒯x 目標(biāo)函數(shù)z320x504y,作出不等式組初 0您 x,y 8, 4,N, 所表示的平面區(qū)域為四點 2.5,4,8,4, 7.5,0 圍成的梯形及其內(nèi)部，如下圖所示: 包含整點有8,0, 6,3,7,3,8,3 3,4,4,4,5,4 6,4 7,4,8,4. 作直線 320x504y 0并平移，分析可得當(dāng)直線過點8,0時z最小，即 zmin 83202560（元）. 故答案 :2560. 【點睛】本題考查線性規(guī)劃的實際應(yīng)用，難度一般.計算線性目標(biāo)函數(shù)的最值，采用平移直線法，將目標(biāo)函 數(shù)的最值與直線的斜率聯(lián)系在一起，從而利用可行域解決問題 三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答. (一)必考題：共60分. 17 .已知數(shù)列an的前n項和為Sn,首項為a1，且4,an,Sn成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列an的通項公式； (2)若a22b1,求數(shù)列bn的前n項和Tn. 【答案】(1)an2n1nN；(2)Tnn23n. 【解析】 【分析】 一，an (1)根據(jù)4,an，Sn成等差數(shù)列，可得2anSn4,再利用anSnSn1可得2,從而可得數(shù)列an是 an1 以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，由此可得數(shù)列an的通項公式； (2)由a22bl可得bn2n2,再根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式可得結(jié)果. 【詳解】(1)由題意有2anSn4, 當(dāng)n1時，2a1a〔4,所以44, 當(dāng)n2時，Sn2an4,&12an14, 一一一一an. 兩式相減得anSnSn12an2an1,整理得2, an1 所以數(shù)列an是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列， 所以數(shù)列an的通項公式an42n12n1nN. (2)由2bla222n2,所以bn2n2, 所以數(shù)列bn是以4為首項，2為公差的等差數(shù)列， nn12 所以Tn4n2n3n. 2 【點睛】本題考查了等差中項的應(yīng)用，考查了用an和Sn的遞推關(guān)系求通項公式，考查了等比數(shù)列的通項公式 考查了等差數(shù)列的前n項和的公式，屬于中檔題. (1)求角 A的大小; 1 . b , c ,且 a cosC - c b . 2 18.在ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a, (2)若a (1)A(2)273 3 (1)利用正弦定理完成邊化角，然后根據(jù) ABC 得出對應(yīng)的等式，從而計算出 A的值; (2)根據(jù)正弦定理 sin A sin B sin C ,將b,c表不為 sinB,sin C的形式，然后根據(jù)B C的結(jié)果將 示為關(guān)于C的三角函數(shù)，根據(jù)C的范圍求解出bc的最大值即可. 另解：根據(jù)余弦定理以及基本不等式求解出bc的最大值，注意取等號的條件 11 【詳斛】(1)由acosC-cb,根據(jù)正弦定理有：sinAcosC-sinCsinB. 22 cosAsin C. —,-1-- 所以sinAcosCsinCsinAC 2 1.八 sinAcosCcosAsinC,所以一sinC2 1 「，，右」右~ ， -,因為A為三角形內(nèi)角，所以 2 因為C為三角形內(nèi)角，所以sinC0,所以cosA (2)由a33,A一,根據(jù)正弦定理有: 3 sinB sinCsinA 2, 所以b2sinB,c2sinC. _ _ 2 所以 b c 2sin B 2sin C 2sin 一 3 C 2sin C 、,3cosC 3sin C 2\3sin 2 n. 一時，等號成立.所以bc的最大值為2忖3 另解: (2)由 a J3, A 一,根據(jù)余弦定理有： J3 3 b2 2bccos—, 3 b2 c2 2 2 2 bc .因為 b c bc b c 3bc …b 所以 .即b c, 2>/3,當(dāng)且僅當(dāng)b c J3時, 所以bc的最大值為2J3. 【點睛】本題考查解三角形的綜合問題，難度一般.（1）解三角形時注意隱含條件ABC的使用；（2） 利用正弦定理求解邊之和的最值，主要利用三角函數(shù)的有界性進行計算；利用余弦定理計算邊之和的最值， 主要利用余弦定理以及基本不等式進行計算^ 19.已知某地區(qū)某種昆蟲產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān).現(xiàn)收集了一只該品種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y（個）和溫度x（oc）的7組 觀測數(shù)據(jù)，其散點圖如所示： 根據(jù)散點圖，結(jié)合函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x可用方程yebxa來擬合，令zlny,結(jié)合樣本 數(shù)據(jù)可知z與溫度x可用線性回歸方程來擬合.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計算得到如下值： x y z 7_2 xix i1 7 _2 zz i1 7 為x4Ei1 27 74 3.537 182 11.9 46.418 表中Zilnyi,z1Zi. 7ii （1）求Z和溫度x的回歸方程（回歸系數(shù)結(jié)果精確到0.001）; （2）求產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于溫度x的回歸方程；若該地區(qū)一段時間內(nèi)的氣溫在26oC?36oC之間（包才26oC與 36oC）,估計該品種一只昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)的范圍.（參考數(shù)據(jù)：e3.28227,e3.79244,e5.832341, 6.0876.342 e440,e568.） 附：對于一組數(shù)據(jù)i,Vi,2,V2,…，n,vn，其回歸直線v???的斜率和截距的最小二乘估 i - Vi v 計分別為？ j . _ 2 i 1 【答案】(1) ? 0.255x 3.348; (2) y e°-255x 3.348, 27.341 . 【解析】 【分析】 （1）根據(jù)公式計算出b?和3,可得2 °.255x 3.348; （2）根據(jù)z In y可得In y °.255x 3.348，再根據(jù)函數(shù)y e°.255x 3.348為增函數(shù)可得答案 【詳解】（1）因為z與溫度x可以用線性回歸方程來擬合，設(shè) ？鄉(xiāng) 政. 7 x x 4 z i 1 7 2 為 x i 1 46.418 182 0.255 , 所以？ z bx 3.537 0.255 27 3.348， 故z關(guān)于x的線性回歸方程為？°.255x3.348. （2）由（1）可得m丫°.255x3.348, 于是產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于溫度x的回歸方程為ye°.255x3.348 0.255263.3483.282o_, 當(dāng)x26時，yee27； 當(dāng)x36時，ye0.255363.348e5.832341; 因為函數(shù)ye0.255x3.348為增函數(shù)， 所以，氣溫在26oC?36oC之間時，一只該品種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)的估計范圍是27.341內(nèi)的正整數(shù). 【點睛】本題考查了求線性回歸方程，考查了利用線性回歸方程對變量進行分析，屬于中檔題. 20.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，PA底面ABCD,PAAB,E為線段PB的中點，若F為線段BC上的動點（不含B）. n (1)平面AEF與平面PBC是否互相垂直？如果是，請證明；如果不是，請說明理由; ⑵0,1 (2)求二面角BAFE的余弦值的取值范圍 【答案】(1)平面AEF平面PBC,理由見解析; (1)利用線面垂直的判定定理證明AE±平面PBC,根據(jù)線面關(guān)系即可證明平面AEF與平面PBC垂直; (2)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面BAF與平面AEF法向量的夾角的余弦的取值范圍，計算出二面角 BAFE的余弦值的取值范圍. 【詳解】⑴因為PAAB,E為線段PB的中點.所以AEPB. 因為PA底面ABCD,BC平面ABCD,所以BCPA, 又因為底面ABCD為正方形，所以BCAB,PAIABA,所以BC，平面PAB, 因為AE平面PAB,所以AEBC.因為PBBCB,所以AE±平面PBC, 因為AE平面AEF,所以平面AEF平面PBC. (2)由題意，以AB,AD所在直線分別為x,y軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，令PA2, 則A0,0,0,B2,0,0,E1,0,1,F2,t,0（其中0t,2）.易知平面BAF的一個法向量 ir m0,0,1. r 設(shè)平面AEF的法向量n vuuv 4vAF0,口口2xty0, x,y,z,由vuuv即 nAE0.xz0. 是平面AEF的一個法向 ir r cos i m, n 量.' ur r m n ir m 由0 t, 2 ,所以『21 百, ,所以 2t2 E的余弦值的取值范圍是0,專 故若F為線段BC上的動點(不含B),二面角BAF .(1)面面垂直的證明可通過線 【點睛】本題考查空間中的面面垂直關(guān)系的證明以及二面角余弦值的取值范圍面垂直的證明來完成；(2)利用空間向量計算二面角的余弦值時，可根據(jù)平面法向量的夾角余弦值以及幾何圖形中面與面夾角是鈍角還是銳角，確定出二面角的余弦值大小 x 21.已知函數(shù)fxxealnxaxae. (1)若fx為單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍; (2)若函數(shù)fx僅一個零點，求a的取值范圍 【答案】(1),0；(2)a,。或ae. 【解析】 【分析】 (1)對f(x)求導(dǎo)得f(x),因為f(x)為單調(diào)函數(shù)，故f(x)??0或fx0恒成立， (2)因為f10,所以1是f(x)的一個零點，由(1)可知，當(dāng)a,0時，f(x)為(0,)上的增函數(shù)，所以f(x) 僅有一個零點，滿足題意， 當(dāng)a0時，令fx0得xexa0,由(1)可知，u(x)xex在(0,)上為單調(diào)遞增，且u(x)(0,), 故存在唯一的x0,使得xexa0成立，即axoex0,故最小值點就是零點. 【詳解】解：(1)由fxxexalnxaxaex0, xa1xxea xe1x1x， xx 因為 fx為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)x0時fx??0,由于x11,于是只需a,xex對于x0恒成立, xxex,則uxx1ex,當(dāng)x0時，ux0,所以uxxex為增函數(shù)， uxu00. 當(dāng)a,u0,即a,0時，a,xex恒成立， 所以，fx為單調(diào)遞增函數(shù)時，a的取值范圍是,0. (2)因為f10,所以x1是fx的一個零點.由(1)知，當(dāng)a0時，fx為0,的增函數(shù)， 此時關(guān)于x的方程fx0僅一解x1,即函數(shù)fx僅一個零點，滿足條件. 當(dāng)a0時，由f10得ae, x,xexe人x (i)當(dāng)ae時，fxxeelnxex,貝Ufx1x，令vxxee,x 易知vx為0,增函數(shù)，且v10, 所以當(dāng)0x1時，vx0,即fx0,fx為減函數(shù)， 當(dāng)x1時，vx0,即fx0,fx為增函數(shù)，  (近)當(dāng)0ae時，則vxxexa在1,為增函數(shù),又v0a0,v1ea0, 所以存在0X01,使得vX。0,也就使得fX00, 當(dāng)0,X0時，fX00,當(dāng)X0,1時，fX00, 所以fx0f10,且當(dāng)x0時，fx. 于是在0,%時存在fx0的另一解，不符合題意，舍去 綜上，a的取值范圍為a,0或ae. 【點睛】本題考查了函數(shù)圖象和性質(zhì)，函數(shù)零點，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用等基本知識，屬于綜合題. (二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做則按所做的第一題記 分. x 2cos 22.已知曲線C的參數(shù)方程為 (為參數(shù) y sin 極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求曲線C的極坐標(biāo)方程； (2) p, Q是曲線C上兩點，若OP OQ ,求臣 OP 、 x2 o 4 【答案】(1) L y2 1 ； (2)—. 4 5 【解析】 【分析】 (1)先消去參數(shù)將參數(shù)方程化成普通方程 ，再利用x 得到； (2)設(shè)點P的極坐標(biāo)為 1,,則點Q的極坐標(biāo)為 2 4 .一 ——2 即可得到答案. 3sin 1 ),以平面直角坐標(biāo)系的原點 O為極點，x的正半軸為 2 2 OQ … 一, 2的值. 'OQ cos , y sin將普通方程化成極坐標(biāo)方程即可 冗 方OP2 OQ2 一.將——2 2化成 1 1，利用 2 OP2 OQ2 1 0 1 2  x 2cos 【詳解】(1)由 ( y sin 2 為參數(shù))，得曲線的普通方程為 — y2 1, 4 將 x cos , y sin 代入，得 4 2 sin2 2 2 cos 4, 2, 4 3sin2 1 3sin1 所以曲線C的極坐標(biāo)方程為 區(qū)"13.21 (2)由(1)知工-sin一 44 設(shè)點P的極坐標(biāo)為1,, _71 因為OPOQ,則點Q的極坐標(biāo)為2,一 2 OP2OQ211 所以O(shè)P2OQ2±_X_11 OP2OQ222 114 3.21~~3~~21315. -sincos 444442 【點睛】本題考查了參數(shù)方程化普通方程，考查了直角坐標(biāo)方程化極坐標(biāo)方程，考查了極坐標(biāo)的幾何意義，考查了同角公式，屬于中檔題 23.已知正實數(shù)a,b滿足ab3. (1)求J2a1J2b1最大值； ——一一一14一一 (2)右不等式x2mx1——對任意xR恒成立，求m的取值氾圍.ab 【答案】(1)4;(2)2,1. 【解析】 【分析】 (1)平方后用基本不等式即可得到答案； 14 (2)利用基本不等式求得一一的最小值為3,利用絕對值三角不等式求得x2mx1的最大值為 ab |2m1|,然后將恒成立轉(zhuǎn)化為|2m1|3,解絕對值不等式即可得到答案 2 【詳解】(1)因為J2a1J2b12a1 2bi2\2a~^,2n 2a12b1 2a1 3 2b14ab116,當(dāng)且僅當(dāng)ab一時取等號. 2 所以J2a172b7最大值為4. ~14 (2)因為一一ab 1b4a —5—— 3ab b4a 當(dāng)且僅當(dāng)ab,即a1,b2取等號， ab3 …14.. 所以一一的最小值為3, ab 又|x2mx1||x2mx1112m1|, 所以x2mx1|2m1|, 所以不等式x2m 14一..一 x1——對任意xR恒成立，只需12m1|3,ab 所以32m13,解得2m1, 即實數(shù)m的取值范圍是2,1 【點睛】本題考查了基本不等式求積的最大值 ，和的最小值，考查了絕對值三角不等式，考查了不等式恒成立問 題，屬于中檔題