《軸對(duì)稱、平移與旋轉(zhuǎn)》全章復(fù)習(xí)與鞏固--知識(shí)講解(提高)(共9頁(yè))
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《軸對(duì)稱、平移與旋轉(zhuǎn)》全章復(fù)習(xí)與鞏固--知識(shí)講解(提高)(共9頁(yè))
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《軸對(duì)稱、平移與旋轉(zhuǎn)》全章復(fù)習(xí)與鞏固--知識(shí)講解(提高)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn),探索它們的基本性質(zhì);
2.能夠按要求作出簡(jiǎn)單平面圖形經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)后的圖形,能作出簡(jiǎn)單平面圖形經(jīng)過(guò)一次或兩次軸對(duì)稱后的圖形;
3.利用軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合進(jìn)行圖案設(shè)計(jì);認(rèn)識(shí)和欣賞軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用;
4.掌握全等三角形的性質(zhì);會(huì)用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理和計(jì)算,解決某些實(shí)際問(wèn)題.
【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】
【要點(diǎn)梳理】
要點(diǎn)一、平移變換
1. 平移的概念:在平面內(nèi),將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離,這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移,平移不改變圖形的形狀和大?。?
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?
(1)平移是運(yùn)動(dòng)的一種形式,是圖形變換的一種,本講的平移是指平面圖形在同一平面內(nèi)的變換;
(2)圖形的平移有兩個(gè)要素:一是圖形平移的方向,二是圖形平移的距離,這兩個(gè)要素是圖形平移的依據(jù);
(3)圖形的平移是指圖形整體的平移,經(jīng)過(guò)平移后的圖形,與原圖形相比,只改變了位置,而不改變圖形的大小,這個(gè)特征是得出圖形平移的基本性質(zhì)的依據(jù).
2.平移的基本性質(zhì):由平移的概念知,經(jīng)過(guò)平移,圖形上的每一個(gè)點(diǎn)都沿同一個(gè)方向移動(dòng)相同的距離,平移不改變圖形的形狀和大小,因此平移具有下列性質(zhì):經(jīng)過(guò)平移,對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等,對(duì)應(yīng)角相等.
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?
(1)要注意正確找出“對(duì)應(yīng)線段,對(duì)應(yīng)角”,從而正確表達(dá)基本性質(zhì)的特征;
(2)“對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等”,這個(gè)基本性質(zhì)既可作為平移圖形之間的性質(zhì),又可作為平移作圖的依據(jù).
要點(diǎn)二、旋轉(zhuǎn)變換
1.旋轉(zhuǎn)概念:把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn).點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心,轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角.
2.旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)
圖形通過(guò)旋轉(zhuǎn),圖形中每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度,任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線都是旋轉(zhuǎn)角,對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,對(duì)應(yīng)線段相等,對(duì)應(yīng)角相等,旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,圖形的形狀、大小都沒(méi)有發(fā)生變化.
3.旋轉(zhuǎn)作圖步驟
?、俜治鲱}目要求,找出旋轉(zhuǎn)中心,確定旋轉(zhuǎn)角.
?、诜治鏊鲌D形,找出構(gòu)成圖形的關(guān)鍵點(diǎn).
③沿一定的方向,按一定的角度、旋轉(zhuǎn)各頂點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心所連線段,從而作出圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).
?、?按原圖形連結(jié)方式順次連結(jié)各對(duì)應(yīng)點(diǎn).
4.中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形
中心對(duì)稱:
把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,它能夠與另一個(gè)圖形重合,那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱,這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心,這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn).
中心對(duì)稱圖形:
把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合,那么這個(gè)圖形就叫中心對(duì)稱圖形.
5.中心對(duì)稱作圖步驟
?、?連結(jié)決定已知圖形的形狀、大小的各關(guān)鍵點(diǎn)與對(duì)稱中心,并且延長(zhǎng)至2倍,得到各點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).
② 按原圖形的連結(jié)方式順次連結(jié)對(duì)稱點(diǎn)即得所作圖形.
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?
圖形變換與圖案設(shè)計(jì)的基本步驟
①確定圖案的設(shè)計(jì)主題及要求;
②分析設(shè)計(jì)圖案所給定的基本圖案;
③利用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱對(duì)基本圖案進(jìn)行變換,實(shí)現(xiàn)由基本圖案到各部分圖案的有機(jī)組合;
④對(duì)圖案進(jìn)行修飾,完成圖案.
要點(diǎn)三、軸對(duì)稱變換
1.軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形
軸對(duì)稱:把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊,如果能夠與另一個(gè)圖形重合,那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱,也叫做這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱,這條直線叫做對(duì)稱軸,折疊后重合的對(duì)應(yīng)點(diǎn),叫做對(duì)稱點(diǎn).
軸對(duì)稱圖形:把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形.
2.軸對(duì)稱變換的性質(zhì)
?、訇P(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形.
②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱,對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線.
?、蹆蓚€(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱,如果它們對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交,那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.
④如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一直線垂直平分,那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱.
3.軸對(duì)稱作圖步驟
①找出已知圖形的關(guān)鍵點(diǎn),過(guò)關(guān)鍵點(diǎn)作對(duì)稱軸的垂線,并延長(zhǎng)至2倍,得到各點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).
②按原圖形的連結(jié)方式順次連結(jié)對(duì)稱點(diǎn)即得所作圖形.
4.平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)三種變換的關(guān)系:
圖形經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱的變換后,雖然對(duì)應(yīng)位置改變了,但大小和形狀沒(méi)有改變,即兩個(gè)圖形是全等的.
要點(diǎn)四、圖形的全等
1. 全等圖形
形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等圖形.
要點(diǎn)詮釋?zhuān)阂粋€(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后,位置變化了,但形狀、大小都沒(méi)有改變,即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.兩個(gè)全等形的周長(zhǎng)相等,面積相等.
2. 全等多邊形
(1)定義:能夠完全重合的兩個(gè)多邊形叫做全等多邊形.相互重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn),相互重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊,相互重合的角叫做對(duì)應(yīng)角.
(2)性質(zhì):全等多邊形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等.
(3)判定:邊、角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)多邊形全等.
3. 全等三角形
能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.
(1)全等三角形的性質(zhì)
全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等.
要點(diǎn)詮釋?zhuān)喝热切螌?duì)應(yīng)邊上的高相等,對(duì)應(yīng)邊上的中線相等,周長(zhǎng)相等,面積相等.全等三角形的性質(zhì)是今后研究其它全等圖形的重要工具.
(2)全等三角形的判定
如果兩個(gè)全等三角形的邊、角分別對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)全等三角形全等.
【典型例題】
類(lèi)型一、平移變換
1. 閱讀理解題.
(1)兩條直線a,b相交于一點(diǎn)O,如圖①,有兩對(duì)不同的對(duì)頂角;
(2)三條直線a,b,c相交于點(diǎn)O,如圖②,則把直線平移成如圖③所示的圖形,可數(shù)出6對(duì)不同的對(duì)頂角;
(3)四條直線a,b,c,d相交于一點(diǎn)O,如圖④,用(2)的方法把直線c平移,可數(shù)出 對(duì)不同的對(duì)頂角;
(4)n條直線相交于一點(diǎn)O,用同樣的方法把直線平移后,有 對(duì)不同的對(duì)頂角;
(5)2013條直線相交于一點(diǎn)O,用同樣的方法把直線平移后,有 對(duì)不同的對(duì)頂角.
【思路點(diǎn)撥】
(3)畫(huà)出圖形,根據(jù)圖形得出即可;
(4)根據(jù)以上能得出規(guī)律,有n(n-1)對(duì)不同的對(duì)頂角;
(5)把n=2013代入求出即可.
【答案與解析】
解:(3)
如圖有12對(duì)不同的對(duì)頂角,
故答案為:12.
(4)有n(n-1)對(duì)不同的對(duì)頂角,
故答案為:n(n-1);
(5)把n=2013代入得:2013×(2013-1)=,
故答案為:.
【總結(jié)升華】本題考查了平移與對(duì)頂角的應(yīng)用,關(guān)鍵是能根據(jù)題意得出規(guī)律.
2.操作與探究:
對(duì)數(shù)軸上的點(diǎn)P進(jìn)行如下操作:先把點(diǎn)P表示的數(shù)乘以,再把所得數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向右平移1個(gè)單位,得到點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′.點(diǎn)A,B在數(shù)軸上,對(duì)線段AB上的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行上述操作后得到線段A′B′,其中點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′,B′.如圖1,若點(diǎn)A表示的數(shù)是-3,則點(diǎn)A′表示的數(shù)是________;若點(diǎn)B′表示的數(shù)是2,則點(diǎn)B表示的數(shù)是_____;已知線段AB上的點(diǎn)E經(jīng)過(guò)上述操作后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E′與點(diǎn)E重合,則點(diǎn)E表示的數(shù)是__________.
【思路點(diǎn)撥】(根據(jù)題目規(guī)定,以及數(shù)軸上的數(shù)向右平移用加計(jì)算即可求出點(diǎn)A′,設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)為a,根據(jù)題意列出方程求解即可得到點(diǎn)B表示的數(shù),設(shè)點(diǎn)E表示的數(shù)為b,根據(jù)題意列出方程計(jì)算即可得解;
【答案】0;3;.
【解析】
解:點(diǎn)A′:-3×+1=-1+1=0,
設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)為a,則a+1=2,解得a=3,
設(shè)點(diǎn)E表示的數(shù)為b,則b+1=b,解得b=;
故答案為:0;3;.
【總結(jié)升華】耐心細(xì)致的讀懂題目信息是解答本題的關(guān)鍵.
舉一反三:
【變式】如圖,面積為12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置,平移距離是邊BC長(zhǎng)的兩倍,則圖中四邊形ACED的面積為( )
A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.無(wú)法確定
【答案】B.
四邊形ABED是平行四邊形且S四邊形ABED=S四邊形ACFD,而S四邊形ACED=S四邊形ABED-S△ABC.
類(lèi)型二、旋轉(zhuǎn)變換
3.正方形ABCD中對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,E是AC上一點(diǎn),F(xiàn)是OB上一點(diǎn),且OE=OF,回答下列問(wèn)題:
(1)在圖中1,可以通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、翻折中的哪一種方法,使△OAF變到△OBE的位置.請(qǐng)說(shuō)出其變化過(guò)程.
(2)指出圖(1)中AF和BE之間的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(3)若點(diǎn)E、F分別運(yùn)動(dòng)到OB、OC的延長(zhǎng)線上,且OE=OF(如圖2),則(2)中的結(jié)論仍然成立嗎?若成立,請(qǐng)證明你的結(jié)論;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明你的理由.
【思路點(diǎn)撥】
(1)根據(jù)圖形特點(diǎn)即可得到答案;
(2)延長(zhǎng)AF交BE于M,根據(jù)正方形性質(zhì)求出AB=BC,∠AOB=∠BOC,證△AOF≌△BOE,推出AF=BE,∠FAO=∠EBO,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證出即可;
(3)延長(zhǎng)EB交AF于N,根據(jù)正方形性質(zhì)推出∠ABD=∠ACB=45°,AB=BC,得到∠ABF=∠BCE,同法可證△ABF≌△BCE,推出AF=BE,∠F=∠E,∠FAB=∠EBC,得到∠E+∠FAB+∠BAO=90°即可.
【答案與解析】
解:(1)旋轉(zhuǎn),以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度.
(2)圖(1)中AF和BE之間的關(guān)系:AF=BE;AF⊥BE.
證明:延長(zhǎng)AF交BE于M,
∵正方形ABCD,
∴AC⊥BD,OA=OB,
∴∠AOB=∠BOC=90°,
在△AOF和△BOE中
∴△AOF≌△BOE(SAS),
∴AF=BE,∠FAO=∠EBO,
∵∠EBO+∠OEB=90°,
∴∠FAO+∠OEB=90°,
∴∠AME=90°,
∴AF⊥BE,
即AF=BE,AF⊥BE.
(3)成立;
證明:延長(zhǎng)EB交AF于N,
∵正方形ABCD,
∴∠ABD=∠ACB=45°,AB=BC,
∵∠ABF+∠ABD=180°,∠BCE+∠ACB=180°,
∴∠ABF=∠BCE,
∵AB=BC,BF=CE,
∴△ABF≌△BCE,
∴AF=BE,∠F=∠E,∠FAB=∠EBC,
∵∠F+∠FAB=∠ABD=45°,
∴∠E+∠FAB=45°,
∴∠E+∠FAB+∠BAO=45°+45°=90°,
∴∠ANE=180°-90°=90°,
∴AF⊥BE,
即AF=BE,AF⊥BE.
【總結(jié)升華】本題主要考查對(duì)正方形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定,三角形的內(nèi)角和定理,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的連接和掌握,綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.
4. 如圖,在正方形ABCD中,F(xiàn)是AD的中點(diǎn),E是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且AE=AB.
①你認(rèn)為可以通過(guò)平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)中的哪一種方法使△ABF變到△ADE的位置?若是旋轉(zhuǎn),指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角.
②線段BF和DE之間有何數(shù)量關(guān)系?并證明.
【思路點(diǎn)撥】
(1)把△ABF以A點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到△ADE;
(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=AD,∠BAF=∠EAD,又F是AD的中點(diǎn),AE=AB,則AE=AF,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得到△ABF以A點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí),AB旋轉(zhuǎn)到AD,AF旋轉(zhuǎn)到AE,于是有BF=DE.
【答案與解析】
解:(1)可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)使△ABF變到△ADE的位置,即把△ABF以A點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到△ADE;
(2)線段BF和DE的數(shù)量關(guān)系是相等.理由如下:
∵四邊形ABCD為正方形,
∴AB=AD,∠BAF=∠EAD,
∵F是AD的中點(diǎn),AE=AB,
∴AE=AF,
∴△ABF以A點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí),AB旋轉(zhuǎn)到AD,AF旋轉(zhuǎn)到AE,即F點(diǎn)與E點(diǎn)重合,B點(diǎn)與D點(diǎn)重合,
∴BF與DE為對(duì)應(yīng)線段,
∴BF=DE.
【總結(jié)升華】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.也考查了正方形的性質(zhì).
舉一反三:
【變式】如下圖,等邊△ABC經(jīng)過(guò)平移后成為△BDE,則其平移的方向是 ;平移的距離是 ;△ABC經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后成為△BDE,則其旋轉(zhuǎn)中心是 ;旋轉(zhuǎn)角度是 度.
【答案】
解:等邊△ABC經(jīng)過(guò)平移后成為△BDE,則其平移的方向是水平向右;平移的距離是AB或BD;
△ABC經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后成為△BDE,則其旋轉(zhuǎn)中心是B;旋轉(zhuǎn)角度是120度.
類(lèi)型三、軸對(duì)稱變換
5.現(xiàn)有如圖①的瓷磚若干塊.
(l)用兩塊這樣的瓷磚拼成一個(gè)長(zhǎng)方形,使拼成的圖案呈軸對(duì)稱圖形,請(qǐng)?jiān)趫D②的兩
個(gè)長(zhǎng)方形中各畫(huà)出一種拼法(要求兩種拼法不同,所畫(huà)圖案中的陰影部分用斜線表示);
(2)用四塊如圖①的瓷磚拼成一個(gè)正方形,使拼成的圖案成軸對(duì)稱圖形,請(qǐng)你在圖③的三個(gè)正方形中各畫(huà)出一種拼法,要求同(1);
(3)在第(1)題中,請(qǐng)你計(jì)算用如圖①的瓷磚拼成的所有長(zhǎng)方形中,是軸對(duì)稱圖形的成功率是多少?
【思路點(diǎn)撥】
(1)根據(jù)用兩塊這樣的瓷磚拼成一個(gè)長(zhǎng)方形,使拼成的圖案呈軸對(duì)稱圖形,利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)拼湊即可;
(2)利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)拼湊即可;
(3)根據(jù)所有是軸對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù),以及拼湊總數(shù)即可求出是軸對(duì)稱圖形的成功率.
【答案與解析】
解:(1)如圖所示:
(2)如圖所示:
(3)∵所有拼湊圖形是16種,是軸對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)是4種,
∴是軸對(duì)稱圖形的成功率為:.
【總結(jié)升華】此題考查了利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案的知識(shí),同時(shí)考查了學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力和邏輯思維能力.趣味性強(qiáng),便于操作,是一道好題.
舉一反三:
【變式】(2015秋?睢寧縣期中)如圖,是4×4正方形網(wǎng)格,其中已有4個(gè)小方格涂成了黑色.現(xiàn)在要從其余白色小方格中選出一個(gè)也涂成黑色,使整個(gè)黑色部分圖形構(gòu)成軸對(duì)稱圖形,這樣的白色小方格有( ?。?
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
【答案】C.
解:如圖所示:藍(lán)色正方形位置都能使此圖形是軸對(duì)稱圖形,
類(lèi)型四、圖形的全等
6. (2016春?藍(lán)田縣期中)如圖,在下列4個(gè)正方形圖案中,與左邊正方形圖案全等的圖案是( )
A. B. C. D.
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)全等形是能夠完全重合的兩個(gè)圖形進(jìn)行分析判斷,對(duì)選擇項(xiàng)逐個(gè)與原圖對(duì)比驗(yàn)證.
【答案】C.
【解析】
解:能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.
A、B、D圖案均與題干中的圖形不重合,所以不屬于全等的圖案,
C中的圖案旋轉(zhuǎn)180°后與題干中的圖形重合.
故選C.
【總結(jié)升華】本題考查的是全等圖形的識(shí)別,主要根據(jù)全等圖形的定義做題.
專(zhuān)心---專(zhuān)注---專(zhuān)業(yè)