( 此文檔為 word 格式，下載后您可任意編輯修改！ ) 金融時間序列的多重分形分析 MULTIFRACTAL ANALYSIS OF FINANCIAL TIME SERIES 指導(dǎo)教 師： 申請學(xué)位級別：學(xué) 士 論文提交日期： 2014 年 6 月 12 日 摘 要 有效市場假說 (EMH) 是現(xiàn)代金融市場的基礎(chǔ)理論，該理論認為市場的價格 1 反映了市場的全部信息，市場價格的波動之間相互獨立而且不可預(yù)測，收益率 服從隨機游走，收益率分布服從正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布 .但是，現(xiàn)實中的種種限制因素決定著這一傳統(tǒng)的金融理論有著很大的局限性，實際的資本市場并不 是傳統(tǒng)理論所描述的線性系統(tǒng)，而是一個非線性的系統(tǒng)，這也意味著分形理論開始應(yīng)用在金融市場 . 分形理論則認為金融市場具有明顯的分形結(jié)構(gòu)和尖峰厚尾的分布特征，金融時間序列在一定的標(biāo)度范圍內(nèi)有著持續(xù)性與反持續(xù)性的特征，而且不同幅度的波動能夠表現(xiàn)出多重分形特征 .分形理論比有效市場理論更能有效揭示金融市 場的波動本質(zhì)，同時也能更有效地揭示出金融市場的基本規(guī)律 . 本文選取上證綜指（上海證券綜合指數(shù)）和深證成指（深圳證券成分指數(shù)） 2005 年 1 月 5 日至 2014 年 5 月 22 日的每日收盤價的股指收益數(shù)據(jù)位樣本，分 別采取 RS、DFA 、MF-DFA 方法對我國股市的分形及多重分形特征進行實證研究與分析 .主要驗證了兩時間序列的分形及多重分形特征；分析比較了兩時間序列的市場有效性特征，通過計算并比較的大小，得出了上海證券市場比深證證券市場有效；分析比較了兩時間序列的市場風(fēng)險，通過計算并比較多重分形譜 的寬度，得出了上海證券市場存在的風(fēng)險比深證證券市場的要大 . 關(guān)鍵詞： 分形； 多重分形； 廣義 Hurst 指數(shù)；市場有效性； 市場風(fēng)險 2 ABSTRACT Efficient Market Hypothesis (EMH) is the basis of modern finance theory, the main idea of EMH is that the financial market prices presents all information of market, fluctuation of market price are not only independent but also unpredictable, the returns follow a random walk . Yet many abnormal financial visions in reality means that the traditional financial theories , it shows that the actual capital market is not a linear system which as the traditional theory described, but a nonlinear system.This also means the appearance and development of fractal theory. The basic view of fractal theory is that the financial market a certain scale, different amplitude fluctuations can show multi fractal characteristics. So the fractal theory can reveal the volatility nature more accurately than that of traditional capital market theory, and can effectively reveal basic law of the finance market. This thesis chooses the stock return data on the day closing price between January 5, 2005 to May 22, 2014 of the Shanghai Stock Exchange Composite Index and the Partial Index of Shenzhen Stock Market as a sample. And adopt RS, DFA, MF-DFA fractal method doing empirical research and analysis of our country stock market and the multi fractal characteristics. The main work includes the validation of two time series fractal and multi fractal characteristics,by analysis the effectivenessof market of two time series, and give the result that the Shanghai stock market is more effective than the Shenzhen stock market,by analysis and compare the two time series of market risk, and give the result that the risk of Shanghai stock market is bigger than the Shenzhen stock market. Key word: Fractal; multi-fractal; generalized analysis)，簡記為 DFA 方法 . 單分形相關(guān)的國內(nèi)文獻綜述 國內(nèi)的一些學(xué)者對單分形理論也有了一定程度的分析研究，牛淑珍運用了RS（重標(biāo)極差）分析方法，來研究深圳和上海兩地的股票市場的每周的收盤指 數(shù)的時間序列 [4]，其結(jié)果顯示，我國的股票市場的波動性呈現(xiàn)出非線性的特征 . 莊新田用上海證券綜合指數(shù)（上證綜指）和深圳證券成分指數(shù)（深圳成指）每 日的收盤價格為樣本，來研究上海和深圳兩地的股票交易市場的分形特征 [5]， 并認為兩地的金融市場并不具有有效市場的特征，它們的股價指數(shù)顯示出有偏 [11]. [8]. 隨機游走而非正態(tài)的特征，同時時間序列具有長記憶的特征 . 多重分形相關(guān)的國外文獻綜述 在金融股票市場上通過對分形理論的深入研究，分形理論不斷取得新的成 果，并且學(xué)者們已經(jīng)開始了從研究單分形理論過渡到多重分形理論的分析研究 階段 .Muniandy 通過研究馬來西亞外匯的分形行為，用 RS 分析方法、 DFA 方 法和相關(guān)系數(shù)的二階矩等方法計算了全局的 Hurst 指數(shù)，并用多重分形的布朗 運動來分析金融時間序列的多重分形特征性 [6] .Norouzzdeh 用 MF-DFA 分析方 法研究了伊朗的銀幣對美元的匯率波動的多重分形特征，他通過對廣義 Hurst 指數(shù)、標(biāo)度指數(shù)、廣義分形維以及奇異譜的研究， 發(fā)現(xiàn)了產(chǎn)生多重分形的原因， 這一原因是與尖峰厚尾的分布特征和長程相關(guān)性相關(guān)的 [7].Sadegh Movahed 運 用了分形分析的 MF-DFA 方法來研究河流流量的波動， 結(jié)果表示，存在著兩個 相互交叉的時間標(biāo)度，河流流量的 Hurst 指數(shù)顯示出了長程相關(guān)性的特征，并 逐漸發(fā)現(xiàn)了多重分形的特性是因為概率密度函數(shù)的厚尾這一分布所造成的 多重分形相關(guān)的國內(nèi)文獻綜述 張永東和畢秋香在 《 中國股票市場多標(biāo)度行為的實證分析》 一文 [9]中， 通過研究中國股指的時間序列，并分析研究不同時間跨度的指數(shù)增量序列和收益 率序列、廣義的累積絕對收益序列的標(biāo)準(zhǔn)差，發(fā)現(xiàn)了標(biāo)準(zhǔn)差 s 與時間跨度 t 之 間滿足一種冪律關(guān)系， 而且冪指數(shù)并不是唯一的，它具有明顯的多標(biāo)度的特征 . 常松和何建敏，他們運用多重分形特征理論來分析中國的股票市場 [10]，驗證了中國股票市場的多重分形游走特征，而且通過進一步研究多重分形過程局部的尺度特性，將這種局部尺度和多尺度之間的相關(guān)性聯(lián)合建立了小波和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 相互結(jié)合的對于股票價格的一種預(yù)測模型 .莊新田和苑瑩通過運用 MF-DFA 方 法（消除波動趨勢的分析方法）對上證綜指的日收益率進行多重分形特征的分析，發(fā)現(xiàn)了出現(xiàn)多重分形的原因，這是由于非線性的長程相關(guān)性和概率分布函數(shù)的尖峰厚尾分布所導(dǎo)致的，隨后繼續(xù)研究了股票價格的指數(shù)波動特征，發(fā)現(xiàn) 了當(dāng)股票價格的指數(shù)波動相對較大時，廣義 Hurst 指數(shù)具有非常顯著的波動特征，由此他提出了基于廣義 Hurst 指數(shù)的兩種不同的風(fēng)險指標(biāo) 文獻綜述總結(jié) 從以上研究來看，現(xiàn)階段，將分形理論應(yīng)用到金融領(lǐng)域仍是一個熱門的課題，但卻還不夠完善，仍存在著大量的缺陷 .目前來說，國內(nèi)外對待金融市場中 多重分形理論的分析研究以及應(yīng)用都還處于初級階段，都還不成熟，很大部分的相關(guān)研究成果都只是停留在對金融時間序列的多重分形特性的檢驗階段，而沒有繼續(xù)深入 .盡管部分學(xué)者已經(jīng)證明了多重分形譜的形態(tài)特征對金融時間序列的波動、金融風(fēng)險的預(yù)測及考察都具有一定的指示效果，但研究結(jié)果終究比 較零碎，不完善，現(xiàn)在還沒有形成一個比較完整的體系 .比如說實證方法和技術(shù) 多樣缺乏標(biāo)準(zhǔn)的判別指標(biāo)，對于分形結(jié)構(gòu)存在的原因的分析各有不同，至于分形及多重分形理論在金融市場上的預(yù)測等應(yīng)用還在探索中，具體的應(yīng)用還有待 于進一步研究，需要不斷改進 . 1.3 研究內(nèi)容 研究思路及框架 基本思路： 本文將先介紹分形理論的一些基本知識點，簡單介紹分形市場理論，然后將分形理論應(yīng)用到中國上證綜指和深證綜指的金融時間序列中，通過計算廣義 Hurst 指數(shù)，研究市場的長程相關(guān)性和波動行為， 判斷金融時間序列是否符合分形及多重分形行為，并度量市場的風(fēng)險和市場效率 . 基本框架： 1.引言，包括：研究背景及意義、國內(nèi)外文獻綜述、研究內(nèi)容簡述； 2.介紹金融時間序列的相關(guān)分形理論與方法，包括： 3.介紹各種研究方法，包括 RS分析， MF-DFA 方法、 MF-DMA 方法等； 4.用數(shù)據(jù)進行實證分析，做個各種方法的對比； 5.得出結(jié)論，并作出評價 . 研究方式與方法 研究方式： 本論文通過查閱相關(guān)文獻充分理解基本理論知識及方法，如 RS分析， MF-DFA 方法、 MF-DMA 方法等，主動請教指導(dǎo)老師，之后根據(jù)自己的想法及 思路，在 matlab上實現(xiàn)相關(guān)程序，根據(jù)圖形得出結(jié)論，最后總結(jié)、評價，找到不足，并指出自己的一些展望 . 具體研究方法有： 1. 在圖書館查閱相關(guān)書籍，進行相關(guān)方面知識的研究和探討 . 2. 借助網(wǎng)絡(luò)媒介進行相關(guān)資料的搜索 . 3. 查閱國內(nèi)外期刊中與課題相關(guān)的文章，加以分析研究 . 4. 就本課題向老師和同學(xué)們討教，聽取他們的意見和觀點. 2 金融時間序列的相關(guān)分形理論與方法 2.1 分形理論 分形理論的形成 分形理論是由 Mandelbrot 首先提出來的，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展為一種系 統(tǒng)的理論，它起源于對海岸線長度測量的研究問題 .Mandelbrot 在研究英國的海岸線的復(fù)雜邊界時，發(fā)現(xiàn)了不同比例的地圖上測量出來的海岸線長度是 不同的，這也正是歐幾里德幾何所無法解釋的一點 .大家都知道， 海岸線是彎彎曲曲的， 不規(guī)則且極不光滑的一條曲線 .如果要對它的長度進行測量， 就必 須要選取一定的測量單位才可以 .如果選作 “公里” 作為測量單位來測量海岸 線，很顯然從幾米直到幾十米的彎曲程度就都被隨之忽略掉了，此時測量的 結(jié)果我們記為 M1 ；如果選取“米”作為測量單位，測量的結(jié)果很明顯要比 上一次的準(zhǔn)確一些，幾米直到幾十米的彎曲程度都可以被包括在測量的范圍 內(nèi)，然而厘米量級的這樣小的彎曲，卻仍然被排除在計量長度范圍之外，這 時的測量結(jié)果我們記為 M2 ，則一定有關(guān)系式 M2>M1 ；如果繼續(xù)用更小的 “毫米”為單位來測量，其結(jié)果顯然要比前兩次精確的多了，但是仍存在微 米量級的小的彎曲被忽略掉了，此時的測量結(jié)果記為 M3 ，且存在關(guān)系式 M3>M2>M1. 繼續(xù)設(shè)想，如果繼續(xù)把海岸線分解到“分子” 、“原子”這樣的 尺度標(biāo)準(zhǔn)， 很顯然測量得到的長度 L4 會大到天文數(shù)字的級別 .追究其原因則 是因為海岸線是一種具有各種層次且無窮多的細節(jié)的非常復(fù)雜的幾何對象 . 自然界中存在很多類似于海岸線這樣的幾何對象，它們都是一些極其不 規(guī)則而且支離破碎的片段的集合，如河流、山脈、血管、云團、樹枝等 等 .Mandelbrot 用“分形”這一概念，來描述這些十分復(fù)雜的幾何對象 .在研 究過程中，他將測量長度和放大尺度（比例）分別取其對數(shù)，發(fā)現(xiàn)所對應(yīng)坐 標(biāo)點之間存在著一種線性的關(guān)系，這表示，這類十分復(fù)雜的集合體都具有一 種共同的特征，即自相似性的特征，也就是說局部的形態(tài)與整體的形態(tài)是相 似的 .后來，通過研究， Mandelbrot 更進一步發(fā)展了分形幾何理論，這一理 論不僅可以產(chǎn)生許多分形集曲線和圖形，如 Mandelbrot 集、 Koch 曲線、 Cantor 集、 Sierpinski 墊片等等，而且還可以用來描述復(fù)雜對象的幾何特 性 .Mandelbrot 用“分形理論”這一定義，來反映這種表示這些復(fù)雜的圖形特征和復(fù)雜過程規(guī)律的性質(zhì) . 分形理論的定義及特征 盡管至今為止，分形理論還是沒有形成一個比較嚴(yán)格的定義，但是很多研 究者都根據(jù)自己的理解做出了自己的定義 . 最開始的時候，分形定義是由 Mandelbrot 提出來的， 他指出分形是這樣的一種集合： 它的維數(shù)嚴(yán)格意義上是大于其拓撲維數(shù)的 .但是這個定義還是不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模?而且比較抽象， 不能夠被人們所理解 .接著他指出另一個定義， 部分以某種形式與整體相似的這樣的一種形狀叫“分形” ，但是這個定義是仍然不夠全面的，仍然不能夠被大家 所認可 .直到 1990 年， Edger 指出，分形集合是這樣的一種集合，它比傳統(tǒng)的幾何學(xué)所研究的所有的集合還要更加不規(guī)則，不管是將它放大多少倍還是縮小多少倍，甚至是更進一步地進行縮小，這種集合的不規(guī)則程度性仍然是 十分明顯的 .緊接著，英國數(shù)學(xué)家 Kenneth J. Falconer 出版了《 Fractal Geometry》一本書，對分形定義做了如下比較詳盡的描述 . 集合 F 如果滿足以下條件，則認為它是是分形的： （ 1）集合 F 具有很精細的結(jié)構(gòu) .即它在任意小的尺度之下，它總是具有復(fù)雜的細節(jié)的； （ 2）集合 F 通常具有某種自相似性特征，這種自相似性可以有時是嚴(yán)格相似的，但也可能是統(tǒng)計意義上的相似； （ 3）傳統(tǒng)意義上的的幾何語言是無法對不規(guī)則的集合 F 進行局部與全局 特征的描述的； （ 4）集合 F 的分形維數(shù)大多部分都是大于它的拓撲維數(shù)的；分形集合總的來說是有以下的特征的： （ 1）自相似性 .也就是說，局部和整體之間是相似的，這既包括嚴(yán)格意義上的自相似，還包括在一定的尺度范圍內(nèi)的近似意義上的自相似以及存在于統(tǒng)計意義上的自相似性 . （ 2）標(biāo)度不變性 .也就是說無論放大多少倍或者是縮小多少倍，集合的不 規(guī)則特征、形態(tài)結(jié)構(gòu)及其復(fù)雜程度等是都不會發(fā)生變化的 .而且存在這種關(guān) 系：具有標(biāo)度不變性特征的集合體一定具有自相似性的特征 . （ 3）分?jǐn)?shù)維 .即分形維數(shù)不是以整數(shù)表示的，而是以分?jǐn)?shù)的形式表示的， 而且一般來說分形維數(shù)是大于它的拓撲維數(shù)的.維數(shù)是空間理論和幾何學(xué)里 的一個基本概念 .我們現(xiàn)在已經(jīng)習(xí)慣于歐幾里德幾何的整數(shù)維數(shù)了，比如：點 是零維的，線是一維的，面是二維的，而體積是三維的 .在歐氏空間之中，物體被認為是連續(xù)且光滑的，對稱的而且同質(zhì)的，因此我們通?？梢杂谜麛?shù)維 對其進行系統(tǒng)的描述 .但是對于描述分形體，這種既不規(guī)則也不光滑的對象， 傳統(tǒng)的歐氏維數(shù)是幾乎無法做出回答的 .分形維數(shù)是對幾何體的不規(guī)則性程 度，復(fù)雜的程度，粗糙程度等性質(zhì)的一個有效地測度 . （ 4）自放射性 .自放射變換指的是整體的各個方向的變換比率是基本不一 樣的，但是局部的隨機性與整體的確定性是同時存在的. 最后，分形集其實可以說是這樣的一類集合體，他的局部和整體之間存在著結(jié)構(gòu)、形態(tài)等方面的自相似性，而且這種相似性是不會隨著測量尺度的 變化而改變的，同時觀測尺度和相似比例之間滿足著一定的指數(shù)關(guān)系形式 . 所以說，分形能夠從不同的標(biāo)度指數(shù)來描述出集合的特征，能用分形維數(shù)的 概念來刻畫分形結(jié)構(gòu)的特征 . 2.2 多重分形理論 多重分形定義 多重分形 (Multi-fractal) ，這一概念是定義在分形結(jié)構(gòu)上的， 它是由多個 不同的標(biāo)度和標(biāo)度指數(shù)的分形測度來組成的這樣的一個無限的集合 .多重分 形理論是從集合的局部出發(fā)來進行研究整體特征的一種方法，它在直觀上可 將多重分形很形象地看作是由眾多的維數(shù)不同的單一分形進行交錯疊加而 形成的 .從幾何的角度來看， 組成分形集合的許多若干個子集的標(biāo)度 q 及分形 維數(shù)都是互相不相同的， 多重分形也被稱為是稱多標(biāo)度分形 .可以表征多重分 形的主要方法有： 廣義 Hurst 指數(shù)，或者可以使用奇異譜函數(shù) .奇異譜可以定 量地刻畫出來分形體在各個不同的局部條件下對應(yīng)的概率分布特征，其中奇 異標(biāo)度指數(shù)規(guī)定了奇異性的強度，而則描述了分布的稠密程度 . 多重分形過程 Mandelbrot 通過運用增量矩的尺度特性，來定義了多重分形過程： 如果一個連續(xù)的時間過程具有一個平穩(wěn)的增量，并且滿足： E X t  t  X t  q  c q  t  q 1  （2-1） 則稱為多重分形過程 .其中為時間增量， T 和 Q 是實軸上的區(qū)間，它們長度非零， 并且，和均是 Q 域上的函數(shù) . 上式表示了多重分形過程的矩的一個冪律關(guān)系的性質(zhì) .函數(shù)是多重分形過 程中的尺度函數(shù)，通過運用序列增量的矩特性，從而刻畫出來不同幅度的增量 的尺度特征， 進而可以刻畫出各個不同時點上的分形特征 .其中，當(dāng)為 q 的線性 函數(shù)時，這一過程是單分形過程， 比如當(dāng)時，是由 H 唯一決定的一個線性函數(shù)； 而當(dāng)為 q 的非線性函數(shù)時，這時就稱這一過程是多重分形的過程 . 通過對不同幅度的波動進行冪次方處理，這就相當(dāng)于對波動的波幅放大幾 倍或縮小幾倍 .所以，不同的 q 值對應(yīng)的尺度函數(shù)對應(yīng)著不同的波動， 從而反映出了不同程度大小的價格波動信息，而且隨著時間標(biāo)度的取值變化，還可以觀 察在不同時間標(biāo)度上的價格波動信息 .總之，多重分形分析能夠更加清晰地分析研究金融市場上的不同時間的標(biāo)度，不同幅度變化的價格或者收益波動的相關(guān)特征 . 多重分形能夠定量地刻畫出十分復(fù)雜的幾何對象在不同的層次的一個分形 特征，并且可以用多重分形譜的形式表達出來 .因此，我們可以知道，通過運用 多重分形的相關(guān)理論去分析研究金融市場，能夠更準(zhǔn)確地對金融市場的波動性 進行更加細致的剖析和描述，進而可以得到有關(guān)于金融時間序列在不同的時間 標(biāo)度以及不同幅度程度的波動信息 . 廣義 Hurst 指數(shù) 對于時間序列，根據(jù)公式 (2-1)，來定義廣義 Hurst 指數(shù)， 1 E X tt X t q q c q t H q （ 2-2） 函數(shù)描述了時間增量在下的廣義平均波動的相關(guān)信息 .特別地，當(dāng) 時，即為前面單分形中的指數(shù)，也稱為全局 H 指數(shù)，當(dāng)時，序列表現(xiàn)持續(xù)性， 時，表現(xiàn)反持續(xù)性，時，即為隨機的布朗運動 . 廣義 Hurst 指數(shù)與尺度函數(shù)之間的關(guān)系為： （2-3） 2.3 分形市場理論 分形時間序列 對于一個時間序列來說，只有在它受到許多等可能性事件的共同影響時才是隨機的 .而且對于一個非隨機的時間序列， 構(gòu)成序列的數(shù)據(jù)之間是具有內(nèi)在相關(guān)性的，也就是說時間序列是分形的 .分形吋間序列也通常被稱為是有偏隨機的游動，曼德勃羅特（ Mandelbrot ）把這種隨機游動稱為是分?jǐn)?shù)布朗運動 .它表示了時間序列的非隨機特征， 序列具有趨勢疊加上噪聲的這樣的一種特性 .趨勢的存在也導(dǎo)致了測出的觀測值之間不是相互獨立的，這個時候，序列的觀測值 就具有長記憶性的特征 . 通常來講，分形時間序列具有下列的一些特點： （ 1）分形時間序列具有著無限的精細結(jié)構(gòu) .當(dāng)觀測的對象， 即股票收益率序列的尺度從年收益率改變到周收益率，繼續(xù)改變到日收益率，再到分時這樣的 逐漸變化時，大量結(jié)果表明，股票收益率序列的復(fù)雜細節(jié)是不會隨尺度改變而發(fā)生變化的 . （ 2）分形時間序列具有分形維數(shù) .分形維數(shù)是描述時間序列如何填充空間的這樣的一個參數(shù) .它表征了分形幾何體的復(fù)雜程度以及粗糙程度 . （ 3）分形時間序列具有自相似性特征 .復(fù)雜分形系統(tǒng)的整體與部分以及部分與部分內(nèi)部之間的精細的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)是具有相似牲的或者是具有統(tǒng)計意義上 的相似性的 . 分形市場理論 Peters在 1994 年開始將分形理論引入到了復(fù)雜的經(jīng)濟系統(tǒng)，提出了分形 市場理論，分形市場理論是分形理論在金融市場分析研究中的一個具體運用 . 傳統(tǒng)的有效市場理論認為市場的收益序列具有線性、獨立以及有限方差的這些特征，并且其分布是服從正態(tài)分布的，有效市場理論展現(xiàn)了一種理想的市場結(jié)構(gòu) .Peters則根據(jù)非線性的觀點，在實際的金融市場中，提出了更符合資本市場實際的基本理論，這一理論揭示出了不同的證券市場信息接受程度和不同的投資時間尺度對不同投資者的投資決策所產(chǎn)生的不同影響，認為資本市場都具有分形結(jié)構(gòu)的特征，其收益率的分布也并不是服從正態(tài)分布的，而是具有明顯的尖峰厚尾特征，沒有方差或方差無限大 . 由于在資本市場中， 存在許多偏好不同的投資者， 加上投資者的理性有限，投資者對信息的理解能力互不相同， 導(dǎo)致投資者做出不同的投資決策 .由于上述實際資本市場的種種因素，決定了資產(chǎn)價格的變化不是隨機游動的，而是具有 持續(xù)相關(guān)性的 . 分形市場的特征有： （1）標(biāo)度不變性，也就是指不同的時間標(biāo)度下具有相似的統(tǒng)計規(guī)律 . （2）長程相關(guān)性，即過去的相關(guān)信息對現(xiàn)在以及未來的事件不是相互獨 立的，而且是能夠產(chǎn)生著長期性影響的 . （3）如果預(yù)測的時間越長，那么預(yù)測的結(jié)果是越不可信的，不能夠進行長期準(zhǔn)確地預(yù)測 . 3 幾種分形方法理論研究 3.1 單分形方法 方法分析 RS 分析法，即重標(biāo)極差分析法，它廣泛用于研究時間序列的分形特征和 分析長期記憶過程，該方法最初是英國水文學(xué)家赫斯特 (Hurst)在 1951 年研究尼羅河水壩工程時經(jīng)過研究提出來的， 他發(fā)現(xiàn)了一個更一般的冪率形式 （式 3-1） 并同時提出來一個新的非參數(shù)統(tǒng)量，被稱為 Hurst 指數(shù)，簡稱為 H 指數(shù) .此后， RS 分析法被用在各種時間序列的分析當(dāng)中 . (3-1) 其中，對于一個時間序列， RS 是重標(biāo)極差， S 指序列每段的方差， n 表示 每段區(qū)間的長度， C 為常數(shù) . RS 分析方法的基本步驟如下： （1）對一個時間序列，把它分為 k 個長度為 n 的等長子區(qū)間，對于每一 個子區(qū)間，依次計算下面第 2至第 5步. （2）計算各段數(shù)據(jù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，以第 j 段的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為例： ， S j 1 n x j 1 n i E j 2 （3-2） n i 1 （3）計算各段數(shù)據(jù)的累計離差和極差， 以第 j 段的累積離差序列和極差為 例： r （ 3-3） D j r x j 1 n i E j ， i 1 （4）計算各段的重標(biāo)極差，以第 j 段為例： （3-4） （5）計算整個 k 段序列的平均重標(biāo)極差： （3-5） （6）改變每段長度 n，使 n 取值為從 2 到之間改變，對不同的 n，重復(fù)上述（ 2）-（ 5）步，得到散點對 （7）繪制圖形，并用最小二乘法進行線性擬合，如滿足下式，則說明序 列是單分形，且所得到的直線的斜率就是 Hurst 指數(shù) . log R S n ~ log n H log n （ 3-6） 通過分析 Hurst 指數(shù)結(jié)果，可得出：當(dāng)時，說明序列具有持續(xù)性；時，序列具有反持續(xù)性；時，序列符合隨機游走 . RS 分析法對短期記憶性比較敏感，因而由其不足，而消除趨勢波動分析方法（ DFA）可以消去短期相關(guān)性并反映長記憶性及分形特征 . 方法分析 等物理學(xué)家和生物學(xué)家在 1994 年研究 DNA 分子的時候，發(fā)現(xiàn) NDA 分子順序在其分子個數(shù)大于時，會呈現(xiàn)出一種長記憶性的、冪指數(shù)分布， 之后他們提出了 DFA(de-trended fluctuation analysis)方法 .DFA 方法可以消除短期的波動趨勢， 用來檢測非平穩(wěn)時間序列的長記憶性， 并且得到 Hurst 指數(shù) . DFA 方法的步驟如下： （1）根據(jù)時間序列，得出累積離差序列： k y k xi x , k 1,2,..., N （ 3-7） i 1 其中，是序列的平均值， （2）將（ 1）中得到的序列分成個連續(xù)的不重復(fù)的區(qū)間段，其中 s 為每個區(qū)間段的長度 .因為 N 不一定被 s 整除，為了防止末尾數(shù)據(jù)丟失， 可以從序列末 端開始反方向再重復(fù)分割一次，這樣子就會得到一共個長度為 s 的區(qū)間段 . （3）在每個區(qū)間段內(nèi)，如第 j 段，用最小二乘法回歸擬合趨勢多項式： Pjm k b j 0 b j1k bj m 1 k m 1 b jmk m, m 1,2,..., （ 3-8） 其中， m 稱為回歸趨勢階數(shù) .不同的階 DFA 的比較結(jié)果能夠估計時間序列里的趨勢的強度 .于是計算出各個區(qū)間段消除趨勢后的序列， 并分別對這個區(qū)間段計算出方差： 1 s 2 F 2 j 1 s i Pjm i , j 1,2,..., N s （3-9） j , s y s i 1 F 2 j , s 1 s y N j N s i Pm i 2 , j N s 1, . .2.N, s （3-10） s i 1 j （4）對所有區(qū)間段的方差求平均值，再計算方根得到 DFA 波動函數(shù)： （ 3-11） （5）對不同 s，重復(fù)上述（ 2）-（ 4）步，并計算出相對應(yīng)的 .如果與 s 的對數(shù)函數(shù)之間存在存在線性關(guān)系： （3-12） 則存在冪率形式的波動： （ 3-13） 其中， H 即為 Hurst 指數(shù) . 3.2 MF-DFA 方法 Kantelhardt 等人 2002 年在原來 DFA 方法的基礎(chǔ)上，提出了 MF-DFA 方 法，也就是多重分形消除趨勢分析方法， 它是在驗證單分形的方法 DFA 的基礎(chǔ) 上提出來的，用來驗證一個非平穩(wěn)時間序列是否具有多重分形特征的有效方法 . 基本步驟如下： MF-DFA 方法的前三步與 DFA 分析方法步驟的（ 1）-（ 3）步是基本一樣 的 . 第四步：對所有區(qū)間段的方差求平均值，給定（任意實數(shù)） ，計算得到階消除趨勢波動函數(shù)： q 1 1 2k q 2 j , s 2 （3-14） Fq s F ， 2k j 1 1 2N s 2 j , s ；特別的，時，即為標(biāo)準(zhǔn)的 DFA 方 當(dāng)時， Fq s exp ln F 4N s j 1 法 . 第五步：當(dāng)分割的長度取遍中的各個整數(shù)后，根據(jù)冪律關(guān)系 （3-15） 對的散點圖做線性回歸擬合，斜率即為對應(yīng)于 q 的 . 第六步：改變 q 的值，重復(fù)上述前五步，得到關(guān)于 q 的函數(shù)，我們稱為廣 義 Hurst 指數(shù) . 第七步：分析的關(guān)系及圖形，并判斷出序列是否符合多重分形特征 . 當(dāng) h(q)數(shù)值大小與階數(shù) q 無關(guān)時，即為一常數(shù)，則時間序列是單分形的； 當(dāng) h(q)與 q 有關(guān)時，此時時間序列是多重分形的 .當(dāng)時，的大小主要取決于小波 動偏差的大小，描述了小幅度波動的標(biāo)度行為，當(dāng)時，大小主要取決于大波動 偏差的大小， 此時描述了大幅度波動的標(biāo)度行為 .于是，不同的值也就描述了不同程度的波動對波動函數(shù)的影響 . 4 滬深股指分形特征的實例分析 4.1 滬深股指的分形特征分析 本文以中國上海證券市場綜合指數(shù) (上證綜指 )和深圳證券市場成分指數(shù) （深證成指）為代表研究中國金融時間序列的分形特征 .選取了上證綜指和深圳成指 2001 年 5 月 10 日至 2014 年 5 月 22 日每日的收盤價格作為樣本，樣本數(shù) 都是 3160 個，通過對數(shù)差分計算，得到相應(yīng)的收益率序列而作為研究對象 . 也就是說，為了消除原始數(shù)據(jù)自相關(guān)的影響，我們需要對原始數(shù)據(jù)事先做處理，用于消除或者有效降低線性依賴性程度 .由于我們選取的原始數(shù)據(jù)所構(gòu)成的時間序列以表示，則得到的對數(shù)收益序列為： ， （4-1） 其中，表示 t 時的對數(shù)收益，表示 t 時刻的股價指數(shù) . 以作為自變量，作為因變量，進行回歸分析，得到的殘差序列 （4-2） 這時的長度為 N-1，那么問題就轉(zhuǎn)化為對序列進行分析 . 4.2 Hurst 指數(shù)分析 Hurst 指數(shù)主要應(yīng)用于單分形時間序列，它的的大小可以度量金融時間序 列的持續(xù)性和反持續(xù)性特征 .當(dāng)時，這就表明了時間序列具有持續(xù)性，而且 H 的值越接近 1，則此時表示序列持續(xù)性程度越強；當(dāng)時，這時就表示時間序列具有反持續(xù)的特征，而且 H 越接近 0 的時候反持續(xù)性程度就會越強；當(dāng)時，此時時間序列既不表現(xiàn)持續(xù)性也不表現(xiàn)反持續(xù)性， 處于一種隨機狀態(tài)， 而且 H 越接近 0.5 時，隨機游走特征就會越明顯 . 下面兩圖是分別運用 RS 分析方法和 DFA 分析方法，以上證指數(shù)和深證成指 2001 年 5 月 10 日至 2014 年 5 月 22 日每日的收盤價格（分別為 3160 個數(shù)據(jù)）作為樣本，在 Matlab 軟件上進行擬合而成的，主要用來計算 Hurst 指數(shù) . (a) (b) 圖 4-1 上證綜指 (a)和深證成指 (b) 的 RS 分析圖 (c)  (d) 圖  4-2  上證綜指  (c)和深證成指  (d) 的  DFA  分析圖 各方法的結(jié)果顯示： 表 4-1 Hurst 指數(shù)數(shù)值比較 方法 上證綜指 深證成指 RS 0.6176 0.6219 DFA 0.6790 0.6850 該結(jié)果表明了， 雖然兩種方法計算后所得到 H 指數(shù)互不不同， 但都是明顯大于 0.5 的，由此可以知道，我們所研究得到的滬深指數(shù)收益序列的波動特征 是明顯不同于布朗運動的，而且兩種波動均呈現(xiàn)出持續(xù)性的特征，并且深證證券市場的持續(xù)性強度較大 . 這就表示，這兩個序列是具有分形特征的 . 4.3 滬深股指的多重分形特征的測度 下面是運用 MF-DFA 分析方法得到的擬合圖形： (e) (f) 圖 4-3 上證綜指的 MF-DFA 分析圖 ,(e)圖表示 q 值分別取 -5,0,5 時，波動函數(shù)的圖形， （f）圖表示的圖形 (g) ( and [2] Przekota G. Estimation and Interpretation of Hursts Index For Stock-Exchange Data [D]. [3] C.K. Peng , S.V. Budyrev, M. Simons, H. E. Stanley, A. L Golclberger, Mosaic organization of [5] 莊 新 田 , 莊 新 路 , 田 瑩 .Hurst 指 數(shù) 及 股 市 的 分 形 結(jié) 構(gòu) [J]. 東 北 大 學(xué) 學(xué) 報 ( 自 然 科 學(xué) 版 ),2003(9):862 一 865. 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[16] 李道葉 .論證券市場的分形與混沌伍海華[J].世界經(jīng)濟 .2001.N7 ： 32-37. 致 謝 本論文的工作是在我的指導(dǎo)教師老師的悉心教導(dǎo)下完成的，從論文的選 題，到資料的收集以及最終的定稿，王老師給予了我無私的指導(dǎo)和幫助 . 王洪 武老師在工作中的嚴(yán)格要求也使我對科學(xué)的態(tài)度有了更深層次的認識 .因此，我要對導(dǎo)師的辛勤工作表示由衷的感謝和敬意！ 感謝院里的所有領(lǐng)導(dǎo)和老師，感謝你們給予我?guī)椭完P(guān)懷，感謝你們?yōu)槲以谔旖蚩萍即髮W(xué)學(xué)習(xí)和生活提供了良好的環(huán)境 . 還要感謝我的同窗好友，感謝你們的支持和陪伴，因為你們，我的學(xué)生生活才會如此的豐富多彩！ 最后，我還要深深地感謝我的父母，感謝你們二十多年的養(yǎng)育之情，并為我無私的付出！我會用自己的優(yōu)異的成績，回報父母，讓父母為我驕傲！ 由于本人學(xué)識有限，文中不免有錯誤和待改進之處，真誠歡迎各位師長提出寶貴的意見與指導(dǎo) .同時還要感謝老師在百忙之中審閱我的論文，謝謝！ 附 錄 上證綜指和深證成指日收益價的部分?jǐn)?shù)據(jù)： 日收盤價 日收盤價日收盤價 日期 日收盤價 (深證成 日期 (上證綜 ( 深證成指 ) ( 上證綜指 ) 指 ) 指 ) 2001510 2147.283 4838.473 20131015 2233.412 8700.345 2001511 2155.405 4854.299 20131016 2193.074 8542.866 2001514 2178.466 4899.723 20131017 2188.542 8521.199 2001515 2191.064 4899.249 20131018 2193.78 8584.866 2001516 2199.505 4911.667 20131021 2229.237 8739.52 2001517 2194.647 4862.154 20131022 2210.652 8619.636 2001518 2203.372 4865.729 20131023 2183.107 8512.958 2001521 2213.595 4841.435 20131024 2164.322 8486.524 2001522 2210.337 4846.094 20131025 2132.955 8379.613 2001523 2197.595 4845.446 20131028 2133.869 8336.682 2001524 2198.297 4831.94 20131029 2128.864 8398.922 2001525 2193.576 4831.989 20131030 2160.463 8553.366 2001528 2179.699 4813.505 20131031 2141.614 8444.405 2001529 2180.276 4796.509 2013111 2149.562 8451.72 2001530 2211.201 4879.6 2013114 2149.634 8416.932 2001531 2214.257 4857.468 2013115 2157.24 8451.728 200161 2219.591 4851.045 2013116 2139.607 8287.86 200164 2226.779 4804.672 2013117 2129.4 8240.252 200165 2234.987 4810.068 2013118 2106.127 8155.397 200166 2238.501 4829.434 20131111 2109.471 8168.674 200167 2229.812 4785.077 20131112 2126.772 8279.308 200168 2223.068 4782.008 20131113 2087.941 8110.995 2001611 2214.623 4735.023 20131114 2100.506 8156.535 2001612 2222.959 4744.729 20131115 2135.827 8305.906 2001613 2242.423 4793.544 20131118 2197.219 8523.754 2001614 2202.398 4735.043 20131119 2193.125 8461.21 2001615 2210.97 4745.375 20131120 2206.613 8510.682 2001618 2167.647 4665.461 20131121 2205.766 8472.023 2001619 2170.454 4674.412 20131122 2196.378 8413.344 2001620 2163.123 4646.41 20131125 2186.115 8379.55 2001621 2189.145 4675.93 20131126 2183.073 8365.349 2001622 2206.067 4723.97 20131127 2201.07 8447.457 2001625 2230.197 4757.796 20131128 2219.372 8548.367 2001626 2233.591 4753.903 20131129 2220.504 8542.608 2001627 2229.828 4740.726 2013122 2207.371 8376.644 2001628 2219.25 4713.29 2013123 2222.67 8492.523 2001629 2218.029 4716.896 2013124 2251.762 8600.818 200172 2205.985 4690.65 2013125 2247.063 8560.79 200173 2211.83 4700.83 2013126 2237.108 8526.681 200174 2202.058 4707.2 2013129 2238.2 8519.675 200175 2181.663 4675.68 20131210 2237.492 8554.172 200176 2170.521 4648.19 20131211 2204.166 8409.798 200179 2169.655 4642.6 20131212 2202.796 8400.646 2001710 2189.785 4687.11 20131213 2196.075 8429.817 2001711 2168.74 4638.59 20131216 2160.861 8272.668 2001712 2165.491 4644.68 20131217 2151.079 8213.432 2001713 2161.34 4634.497 20131218 2148.285 8236.948 2001716 2146.236 4609.08 20131219 2127.792 8147.705 2001717 2140.981 4574.56 20131220 2084.794 7966.718 2001718 2146.541 4608.3 20131223 2089.707 7989.512 2001719 2150.265 4585.144 20131224 2092.905 8027.43 2001720 2179.624 4634.88 20131225 2106.354 8096.37 2001723 2169.007 4588.34 20131226 2073.099 7897.325 2001724 2136.454 4499.38 20131227 2101.251 8048.854 2001725 2112.256 4453.59 20131230 2097.529 7999.301 2001726 2094.009 4411.4 20131231 2115.978 8121.788 2001727 2065.728 4340.25 201412 2109.387 8114.388 2001730 1956.823 4113.94 201413 2083.136 8028.33 2001731 1920.318 4059.01 201416 2045.709 7818.458 200181 1986.928 4173.41 201417 2047.317 7806.312 200182 1957.023 4089.8 201418 2044.34 7802.143 200183 1958.692 4071.31 201419 2027.622 7746.737 200186 1882.126 3893.15 2014110 2013.298 7648.043 200187 1903.932 3949.78 2014113 2009.564 7572.56 200188 1895.169 3924.79 2014114 2026.842 7665.771 200189 1924.59 3995.26 2014115 2023.348 7668.802 2001810 1955.036 4068.65 2014116 2023.701 7667.219 2001813 1955.1 4