專題突破三　離心率的求法 一、以漸近線為指向求離心率 例1　已知雙曲線兩漸近線的夾角為60，則雙曲線的離心率為________． 思維切入　雙曲線的兩漸近線有兩種情況，焦點(diǎn)位置也有兩種情況，分別討論即可． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　2或 解析　由題意知，雙曲線的漸近線存在兩種情況． 當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，若其中一條漸近線的傾斜角為60，如圖1所示； 若其中一條漸近線的傾斜角為30，如圖2所示． 　　 所以雙曲線的一條漸近線的斜率k＝或k＝， 即＝或. 又b2＝c2－a2，所以＝3或， 所以e2＝4或，所以e＝2或. 同理，當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，則有＝或， 所以＝或，亦可得到e＝或2. 綜上可得，雙曲線的離心率為2或. 點(diǎn)評　雙曲線的離心率與漸近線方程之間有著密切的聯(lián)系，可以借助＝進(jìn)行互求．一般地，如果已知雙曲線離心率的值求漸近線方程，或者已知漸近線方程，求離心率的值，都會有兩解(焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上兩種情況)，不能忘記分類討論． 跟蹤訓(xùn)練1　中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(4，－2)，則它的離心率為(　　) A.B.C.D. 考點(diǎn)　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　求雙曲線的離心率 答案　D 解析　由題意知，過點(diǎn)(4，－2)的漸近線的方程為 y＝－x，∴－2＝－4，∴a＝2b. 方法一　設(shè)b＝k(k>0)，則a＝2k，c＝k， ∴e＝＝＝. 方法二　e2＝＋1＝＋1＝，故e＝. 二、以焦點(diǎn)三角形為指向求離心率 例2　如圖，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，A和B是以O(shè)為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為________． 思維切入　連接AF1，在△F1AF2中利用雙曲線的定義可求解． 考點(diǎn)　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　求雙曲線的離心率 答案　＋1 解析　方法一　如圖，連接AF1，由△F2AB是等邊三角形，知∠AF2F1＝30. 易知△AF1F2為直角三角形， 則|AF1|＝|F1F2|＝c， |AF2|＝c，∴2a＝(－1)c， 從而雙曲線的離心率e＝＝1＋. 方法二　如圖，連接AF1，易得∠F1AF2＝90， β＝∠F1F2A＝30，α＝∠F2F1A＝60， 于是離心率 e＝＝＝ ＝＝＋1. 點(diǎn)評　涉及到焦點(diǎn)三角形的題目往往利用圓錐曲線的定義求得的值． 跟蹤訓(xùn)練2　橢圓＋＝1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為________． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案?。? 解析　方法一　如圖， ∵△DF1F2為正三角形，N為DF2的中點(diǎn)， ∴F1N⊥F2N， ∵|NF2|＝|OF2|＝c， ∴|NF1|＝＝＝c， 由橢圓的定義可知|NF1|＋|NF2|＝2a， ∴c＋c＝2a，∴a＝， ∴e＝＝＝－1. 方法二　注意到焦點(diǎn)三角形NF1F2中， ∠NF1F2＝30，∠NF2F1＝60，∠F1NF2＝90， 則由離心率的三角形式， 可得e＝ ＝＝＝－1. 三、尋求齊次方程求離心率 例3　已知雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2|AB|＝3|BC|，則E的離心率是________． 思維切入　通過2|AB|＝3|BC|，得到a，b，c的關(guān)系式，再由b2＝c2－a2，得到a和c的關(guān)系式，同時(shí)除以a2，即可得到關(guān)于e的一元二次方程，求得e. 考點(diǎn)　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　求雙曲線的離心率 答案　2 解析　如圖，由題意知|AB|＝， |BC|＝2c. 又2|AB|＝3|BC|， ∴2＝32c， 即2b2＝3ac， ∴2(c2－a2)＝3ac， 兩邊同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0， 解得e＝2(負(fù)值舍去)． 點(diǎn)評　求圓錐曲線的離心率，就是求a和c的值或a和c的關(guān)系，然后根據(jù)離心率的定義求得．但在多數(shù)情況下，由于受到題目已知條件的限制，很難或不可能求出a和c的值，只能將條件整理成關(guān)于a和c的關(guān)系式，進(jìn)而求得的值，其關(guān)鍵是善于利用定義以及圖形中的幾何關(guān)系來建立關(guān)于參數(shù)a，b，c的關(guān)系式，結(jié)合c2＝a2＋b2，化簡為參數(shù)a，c的關(guān)系式進(jìn)行求解． 跟蹤訓(xùn)練3　已知橢圓＋＝1(a>b>0)，A，B分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，且AB⊥BF，則橢圓的離心率為________． 考點(diǎn)　橢圓的離心率問題 題點(diǎn)　求a，b，c的齊次關(guān)系式得離心率 答案　 解析　在△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a， |AF|＝a＋c. 由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2， 將b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0， 即e2＋e－1＝0，解得e＝. 因?yàn)?<e<1，所以e＝. 四、利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求離心率的取值范圍 例4　已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60的直線l與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線的離心率e的取值范圍是________． 思維切入　畫圖，通過圖像找出直線l與雙曲線漸近線斜率的關(guān)系，利用e＝求解． 考點(diǎn)　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　求雙曲線的離心率 答案　[2，＋∞) 解析　由題意知≥，即2≥3， ∴e＝≥2， 故離心率e的取值范圍是[2，＋∞)． 點(diǎn)評　(1)當(dāng)直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，利用數(shù)形結(jié)合思想得到已知直線與漸近線斜率的關(guān)系，得到的范圍，再利用e＝得到離心率的取值范圍． (2)當(dāng)直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，可聯(lián)立方程組應(yīng)用判別式Δ>0，從而可得的范圍，再利用e＝即可得離心率的取值范圍． 跟蹤訓(xùn)練4　設(shè)雙曲線C：－y2＝1(a>0)與直線l：x＋y＝1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則雙曲線C的離心率e的取值范圍為(　　) A. B．(，＋∞) C. D.∪(，＋∞) 考點(diǎn)　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　求雙曲線的離心率 答案　D 解析　由消去y并整理得 (1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0. 由于直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)， 則1－a2≠0?a2≠1，且此時(shí)Δ＝4a2(2－a2)>0?a2<2， 所以a2∈(0,1)∪(1,2)． 另一方面，e＝，則a2＝， 從而e∈∪(，＋∞)． 五、利用焦半徑的性質(zhì)求離心率的取值范圍 例5　已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)．若橢圓上存在點(diǎn)P使＝，則該橢圓的離心率的取值范圍為________． 思維切入　 → 答案　(－1,1) 解析　在△PF1F2中，由正弦定理知 ＝， 因?yàn)椋剑? 所以＝＝，即|PF1|＝e|PF2|.① 又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a. 將①代入得|PF2|＝， 又a－c<|PF2|<a＋c， 同除以a得，1－e<<1＋e， 又0<e<1，解得－1<e<1. 點(diǎn)評　圓錐曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離叫做該點(diǎn)的焦半徑． (1)橢圓焦半徑的取值范圍為[a－c，a＋c]． (2)雙曲線的焦半徑： ①點(diǎn)P與焦點(diǎn)F位于y軸同側(cè)時(shí)，其取值范圍為[c－a，＋∞)； ②點(diǎn)P與焦點(diǎn)F位于y軸異側(cè)時(shí)，其取值范圍為[c＋a，＋∞)． 跟蹤訓(xùn)練5　已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為(　　) A.B.C．2D. 考點(diǎn)　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　求雙曲線的離心率 答案　B 解析　∵P在雙曲線的右支上， ∴由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝2a， ∵|PF1|＝4|PF2|， ∴4|PF2|－|PF2|＝2a， 即|PF2|＝a， 根據(jù)點(diǎn)P在雙曲線的右支上， 可得|PF2|＝a≥c－a， ∴a≥c，又∵e>1，∴1<e≤， ∴此雙曲線的離心率e的最大值為. 1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0)到一條漸近線的距離為c，則其離心率的值是(　　) A.B．3C．2D．4 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　C 解析　不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線的方程為y＝x， 所以＝b＝c， 所以b2＝c2－a2＝c2，得c＝2a， 所以雙曲線的離心率e＝＝2. 2．若雙曲線－＝1(a>0，b>0)與直線y＝2x無交點(diǎn)，則離心率e的取值范圍是(　　) A．(1,2) B．(1,2] C．(1，) D．(1，] 考點(diǎn)　雙曲線的離心率與漸近線 題點(diǎn)　雙曲線離心率的取值范圍 答案　D 解析　由題意可得，雙曲線漸近線的斜率≤2，所以e＝≤.又e>1，所以離心率e的取值范圍是(1，]． 3.如圖，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，現(xiàn)以F2為圓心作一個(gè)圓恰好經(jīng)過橢圓中心并且交橢圓于點(diǎn)M，N，若過F1的直線MF1是圓F2的切線，則橢圓的離心率為(　　) A.－1B．2－C.D. 考點(diǎn)　橢圓的離心率問題 題點(diǎn)　由a與c的關(guān)系式得離心率 答案　A 解析　∵過F1的直線MF1是圓F2的切線， ∴∠F1MF2＝90，|MF2|＝c，∵|F1F2|＝2c， ∴|MF1|＝c，由橢圓定義可得|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a， ∴橢圓離心率e＝＝－1. 4．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF2為鈍角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為(　　) A．(1，＋∞) B．(＋1，＋∞) C．(1，＋1) D．(1，) 考點(diǎn)　雙曲線的幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　求雙曲線離心率的取值范圍 答案　B 解析　由題設(shè)條件可知△ABF2為等腰三角形，且AF2＝BF2， 只要∠AF2B為鈍角即可． 由題設(shè)可得AF1＝， 所以有>2c，即2ac<c2－a2， 解得e∈(1＋，＋∞)． 故選B. 5．過雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線，交C于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a，則C的離心率為________． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　2＋ 解析　由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)直線方程為y＝(x－c)． 由得x＝.由＝2a，e＝， 解得e＝2＋(e＝2－舍去)． 6．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M在雙曲線的左支上，且|MF2|＝7|MF1|，則此雙曲線的離心率的最大值為________． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　 解析　因?yàn)閨MF2|＝7|MF1|，所以|MF2|－|MF1|＝6|MF1|， 即2a＝6|MF1|≥6(c－a)，故8a≥6c， 即e＝≤， 當(dāng)且僅當(dāng)M為雙曲線的左頂點(diǎn)時(shí)，等號成立． 故此雙曲線離心率的最大值為. 7．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF2與圓：x2＋y2＝b2相切于點(diǎn)Q，若Q是線段PF2的中點(diǎn)，e為C的離心率，則的最小值是________． 考點(diǎn)　直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn)　橢圓中的定點(diǎn)、定值、取值范圍問題 答案　 解析　如圖，連接PF1，OQ， 由OQ為△PF1F2的中位線，可得OQ∥PF1，|OQ|＝|PF1|. 由圓x2＋y2＝b2， 可得|OQ|＝b，則|PF1|＝2b. 由橢圓的定義可得|PF1|＋|PF2|＝2a，即|PF2|＝2a－2b. 又OQ⊥PF2，所以PF1⊥PF2， 即(2b)2＋(2a－2b)2＝(2c)2， 即b2＋a2－2ab＋b2＝c2＝a2－b2， 化簡得2a＝3b，即b＝a. ∴c＝＝a，則e＝＝. ∴＝＝≥2＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝，即a＝時(shí)等號成立， 所以的最小值為.