第12課時(shí)　函數(shù)的奇偶性 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(水平一) 1.偶函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-4,-1]是增函數(shù),下列不等式成立的是(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.f(-2)<f(3)　　　 B.f(-π)<f(π) C.f(1)<f(-3) D.f(-2)>f(3) 【解析】∵f(x)在[-4,-1]上為增函數(shù),-4<-3<-2<-1,∴f(-2)>f(-3). ∵f(x)為偶函數(shù),∴f(-2)>f(3). 【答案】D 2.函數(shù)y=x|x|的圖象大致是(　　). 【解析】顯然y=x|x|為奇函數(shù),奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 【答案】A 3.下列函數(shù)中是奇函數(shù)且在(0,1)上單調(diào)遞增的函數(shù)是(　　). A.f(x)=x+1x B.f(x)=x2-1x C.f(x)=1-x2 D.f(x)=x3 【解析】∵對(duì)于A,f(-x)=(-x)+1(-x)=-x+1x=-f(x);對(duì)于D,f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),∴A、D選項(xiàng)都是奇函數(shù).易知f(x)=x3在(0,1)上單調(diào)遞增. 【答案】D 4.若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),且在(0,+∞)上是減函數(shù),又f(3)=0,則f(x)+f(-x)x<0的解集為(　　). A.(-3,3) B.(-∞,-3)∪(3,+∞) C.(-3,0)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) 【解析】∵f(x)為偶函數(shù),∴f(-x)=f(x), ∴原不等式等價(jià)于f(x)x<0. 當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0=f(3), ∵f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),∴x>3; 當(dāng)x<0時(shí),f(x)>0=f(-3), ∵f(x)在(-∞,0)上是增函數(shù), ∴-3<x<0.綜上選C. 【答案】C 5.若函數(shù)f(x)=x(2x+1)(x-a)為奇函數(shù),則a=　　　　. 【解析】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤x≠-12,且x≠a. 又f(x)為奇函數(shù),定義域應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,∴a=12. 【答案】12 6.已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),若g(x)=f(x)+3,且g(3)=4,則g(-3)=　　　　. 【解析】∵g(x)=f(x)+3,∴g(3)=f(3)+3. 又g(3)=4,∴f(3)=g(3)-3=1. ∵y=f(x)是偶函數(shù),∴f(-3)=f(3)=1, 從而g(-3)=f(-3)+3=4. 【答案】4 7.已知函數(shù)f(x)=1x2+1,令g(x)=f1x. (1)已知f(x)在區(qū)間[0,+∞)的圖象如圖所示,請(qǐng)?jiān)谠撟鴺?biāo)系中補(bǔ)齊函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的圖象,并說(shuō)明你的作圖依據(jù). (2)求證:f(x)+g(x)=1(x≠0). 【解析】(1)∵f(x)=1x2+1,∴f(x)的定義域?yàn)镽.對(duì)于任意x∈R,都有f(-x)=1(-x)2+1=1x2+1=f(x),∴f(x)為偶函數(shù). 故f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,其圖象如圖所示. (2)∵g(x)=f1x=11x2+1=x21+x2(x≠0), ∴g(x)+f(x)=11+x2+x21+x2=1+x21+x2=1, 即g(x)+f(x)=1(x≠0). 拓展提升(水平二) 8.已知函數(shù)f(x)=x2+ax-b,x>0,0,x=0,g(x),x<0在區(qū)間a+4a,-b2+4b上滿足f(-x)+f(x)=0,則g(-2)的值為(　　). A.-22 B.22 C.-2 D.2 【解析】由題意知f(x)是區(qū)間a+4a,-b2+4b上的奇函數(shù), ∴a+4a-b2+4b=0,且a<0,∴(b-2)2+-a-2-a2=0,解得b=2,a=-2. ∴g(-2)=-f(2)=-(2)2-2a+b=22. 【答案】B 9.已知f(x)和g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且f(x)-g(x)=x3+x2+1,則f(1)+g(1)=(　　). A.-3 B.-1 C.1 D.3 【解析】當(dāng)x=-1時(shí),f(-1)-g(-1)=1,由題意得f(-1)=f(1),-g(-1)=g(1),故f(1)+g(1)=1,選C. 【答案】C 10.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=2,則奇函數(shù)f(x)的值域是　　　　. 【解析】因?yàn)槠婧瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-2.又函數(shù)的定義域?yàn)镽,所以f(0)=0,因此函數(shù)的值域?yàn)閧-2,0,2}. 【答案】{-2,0,2} 11.已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-2x. (1)求出函數(shù)f(x)在R上的解析式; (2)畫出函數(shù)f(x)的圖象. 【解析】(1)由于函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),則f(0)=0,此時(shí)適合f(x)=x2-2x. 當(dāng)x<0時(shí),-x>0,∵f(x)是奇函數(shù), ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x. 綜上所述,f(x)= x2-2x,x≥0,-x2-2x,x<0. (2)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.