連續(xù)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)學(xué) 3.1 基念 ft點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn) 點(diǎn)：空間內(nèi)的一個(gè)地點(diǎn)。 質(zhì)點(diǎn)：連續(xù)介質(zhì)內(nèi)的一個(gè)微小部分。 彖連續(xù)體的位形、變形、流動(dòng) 在任一瞬間t,連續(xù)體的體積為V,邊界表面積為S,占 據(jù)一定的物理空間R 當(dāng)連續(xù)體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)，參照適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系在時(shí)刻t, 用它所占據(jù)的空間點(diǎn)，予以表明，就規(guī)定了該瞬間時(shí)連 續(xù)體的位形。 變形：連續(xù)體初始位形和后來(lái)位形在形狀上的變化。 流動(dòng)：連續(xù)體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中顯示出連續(xù)變形的一種過(guò)程。 V位置矢量和位移矢量 1P。 u = x-X x 5 位置矢量： op。=西弓 +x2e2 +x^e3 1 1 I op = X\€\ +x^e2 +花幺3 位移矢量： —? —? . u = x-X 3.2 連續(xù)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的描述法 物質(zhì)描述法 一種方法是把所要考察的物理量（例如T、v） 表示成物質(zhì)坐標(biāo)和時(shí)間禹函數(shù)，即： T = T(X、、X2> X3> t) v = v(XP X2> X3> t) 這種方法稱(chēng)為物質(zhì)描述法，又稱(chēng)為拉格朗日 描述法，描述質(zhì)點(diǎn)X的坐標(biāo)系稱(chēng)為物質(zhì)坐標(biāo)系。 0空間描述法 另一種描述連續(xù)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的方法是觀察固 定位置處介質(zhì)的變化，亦即把所要考慮的物理 量如T、v表示成位置和時(shí)間的函數(shù)，即： v = v(xP x2> 馮、0 這種方法稱(chēng)為空間描述法，或稱(chēng)為歐拉描 述法，描述質(zhì)點(diǎn)X的坐標(biāo)系稱(chēng)為空間坐標(biāo)系。 兩種描述方法互換的條件 J = det( 例：已知一變形的拉格朗日描述 內(nèi)=X] + X3 （幺2 — 1） v 吃=X。+ X（幺2 —幺 2） 兀3 =幺欣3 1 ）判斷能否用歐拉描述表示？ 2）若能，請(qǐng)描述這一運(yùn)動(dòng)的歐拉方程? 解：J =血（等~）=孑工0 X] = X] + 七（"2 _ 1） < X?！?x? + 兀（"7 _ 1 -2 ^ai2=（^.）2+（^2）2+（^3）2 = dX、dX\ +dX2dX2 +dX3dX3 =dX dXf = dX^dX = (dX)2 t固定時(shí) dx3 & =&?(西忑曲) dX嚴(yán)學(xué)收誓 ox{ dx2 dXj J ——-dx. dxJ -衣idXj (dX)2 = dXkdXk 6x dxf dX j =c. 稱(chēng)為柯西變形張量 變形后: dXidXj 稱(chēng)為格林變形張量 |PQ|2 =（血）2 +（起）2 +（農(nóng)）2 =亦亦=dx-dx = （dx）2 dXj = （dx）2 = dXjdXj dxk dxk dXt dXf J (dx)2-(dX)2 8ij)dXldXj dX^Xj -8ljdXidXj =2EijdXidXj = 2dX^E^dX ]3x 3x 其中: ij - 2— ）稱(chēng)為拉格朗日變形公式 ize z ar：ax#、 ；??=—（Jz/ 一--——）稱(chēng)為歐拉變形公式 2 ox. ox. “ J 在物質(zhì)坐標(biāo)系下： dUj _ dxt 去j dxJ dXj _ du{ dX. dxj J %/ 將上式代入式子Eq = du 冷［（畫(huà)+站）（煞+爲(wèi)）-即 6Xj - =1（% I弘I如恥 ~YdXj dXt ax；. dXj} 血 i _ &j 8Xj _& OX： dXj dXj dXj ij dXj 生=Q._坐 ij dxJ c.|兩弘弘） iJ 2 dXj 迦. dxi dXj 若變形大（例如在彈性固體的小變形的問(wèn)題）, 盹、盹口 1 金j、6Xj 則: y 2 ax7 dx/ 丄（単+典） 在小變形彈性理論中， 7 2 dxj dx： du： _ dut dx- dX- c 丿 J OU： o應(yīng)變張量 du{ 1( du{丄 du2、 1( Oil］」du3、 ~dX{ 〒證*面)Q鬲十丙 1( Ou】丄 du2、 du2 1( du2 丄如、 dX2 1（處+ ax? 2 1 du{ du. 1 du2 du3 辦面+面)〒面+ 鬲 du- 討為正應(yīng)變，之改變物體體積大小，不改變形狀 1 (du{ | du2、 1 / 加］ du3s 1 (du2 ( du3、 刁玩*評(píng)、Q丙*丙、〒石*玩 為剪應(yīng)變，只改變物體形狀，不改變體積大小 其中: [E]= E2l E31 特征值問(wèn)題 [殆0 主應(yīng)變：epe2> e3 主應(yīng)變方向："、◎、直 0 e2 0 其中: 才+/]2? +厶2 +厶 /1=e11+e22+e33 = Eu 31 _ Eh En 耳1 爲(wèi)2 耳1 = g(E“Ejj-EijEjJ En E\2 E[3 耳］ E22 E23 *31 E32 E33 厶=  =0 稱(chēng)為第一應(yīng)變不變量 E】3 E33 耳2 耳3 稱(chēng)為第二應(yīng)變不變量 稱(chēng)為第三應(yīng)變不變量 同體積應(yīng)變 也稱(chēng)為單位體積變化率 ? 絢 Eq 匸二＞ ui “3 只有滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程▽xEx\7 = 0 , 由應(yīng)變可以求出位移。 3.4物質(zhì)導(dǎo)數(shù) 0定義： 連續(xù)體運(yùn)動(dòng) 物質(zhì)坐標(biāo)：兀=x,(X］、X2> X3、t) = xt(X,t) 空間坐標(biāo)：X. =Xz.(xp x2> 花、t) = Xt(%,t) <2>物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的表示方法 若Pij表示標(biāo)量、矢量或張量物理量 在物質(zhì)坐標(biāo)中，物質(zhì)導(dǎo)數(shù)表示為： DEj _鷗區(qū)泌2冬,巧_紹用小 萬(wàn)廠 N 一 &文固定  在空間坐標(biāo)中，物質(zhì)導(dǎo)數(shù)表示為: 質(zhì)點(diǎn)在空間的 位置變化產(chǎn)生 的變化率，即 為相對(duì)變化率 A A A A A A y 質(zhì)點(diǎn)在特定位置 的變化率，即為 X固定 局部變化率 3. 5 速度和加速度 在物質(zhì)坐標(biāo)中: dt :.dui{X^X2.X^t) X固定 在空間坐標(biāo)中: 佔(zhàn)） _ dui(xi,x2,x3,t) dt X固定 + %（"2，皿）恥*2，曲） 加速度 在物質(zhì)坐標(biāo)中: 3（x,o Cl；— dt 列（心X?，/⑴ dt x固定 在空間坐標(biāo)中: 雞（X. t） dt +%（訕 X固定 例: 已知 (西=X] = 遇 _W‘(X2+X3)|占&2-X3) _^(X2+X3)「(X2-X3) U= 2 2 求：1)物質(zhì)坐標(biāo)系中的速度分量？ 2)空間坐標(biāo)系中的速度分量？ 解: r X[ = X] _ e~r(x2 +x3) ^er(x2 -Xj) X2 ~ 丄 ’ 1 2 2 _ e~r(x2 +^) er(x2 -x3) X3 _ _ _ 位移：叫—xi — Xj 廠 = 0 _ 「（吃+七）Kg LTn 2 2 l U 一丄-刃（花+花）I R（%2 - 根據(jù)物質(zhì)坐標(biāo)中的速度公式得到: 同理，可以得到在空間坐標(biāo)中的速度表達(dá)式，結(jié)果 與在物質(zhì)坐標(biāo)中的速度表達(dá)式相同 例: 已知 求: 1 (l+o 匕亠 2 (1+0 1) q(x』) = ? 2) q(工1)= ? 解：1) C _訓(xùn)(和) =— —+ — = o (1 + 02 (1+02 同理可得到： 2x? 6xo a? = ^7 3 (1+02 Vi=~dt=(l+t) 積分得： In 西=ln(l+O+lnC 當(dāng) t = 0 時(shí)，jVj=X[,C = X] U> 西=X](i+" 同理得到：x2 =X2(1 + O2 x3 = X3(l+/)3 Wj =西 _ X] = 0 %2 =吃—X? = X?(l + f)2 — X。 .%3 =羽 _ X3 = X3 (1 + f 尸 一 X3 Q] = 0 01/2 二諾皿 3(1 + () 3. 6 速度梯度 O = dX? Vxv 如果使用V的空間描述法，這個(gè)對(duì)于’"給出 空間坐標(biāo)X 磊仏）二心+如的嚴(yán)％ = dx-Vxv 下面討論將只限于空間描述法，將寫(xiě)成▽ 在直角坐標(biāo)系下，具有下列指標(biāo)記法形式: 寫(xiě)成矩陣形式，則為: [▽小 對(duì)于一般二階張量， 分和反稱(chēng)部分之和O 我們總可以把它分解成一個(gè)對(duì)稱(chēng)部 其中: Vv = D+W D:稱(chēng)為應(yīng)變率 張量 W = [Vv]A (%) (吋 （對(duì)稱(chēng) ~ W:稱(chēng)為自 旋張量 飯對(duì)稱(chēng)部分） 展開(kāi)形式為: dx3 dx3 dx3 dV, d] + dx3 d） dx3 丄（西+些 2 dx^ d） D的幾何意義: ?證明: 解: Dt dxf D（叫八二0 Dt Dt dxf dV = dxi xdXj?dXk -qkdXidXjdXk dxf dxk A , =匕、 ： cIjCaCuc^ lJk dXx dX2 6X3 1 - = JdV0 Wv)= WO =ldv曲 Dt Dt Dt = ^(JdV0) =^dV oxi oxj 3.7 無(wú)限小應(yīng)變分量的相容性條件 若已知任意三個(gè)位移函數(shù)％1,勺，％3,則總可以在物體 所點(diǎn)據(jù)的物理空間區(qū)域內(nèi)確定六個(gè)應(yīng)變分量，另一方面，若 六個(gè)應(yīng)變分量/在某一區(qū)域中是任意給定的，則一般說(shuō)來(lái)并 不一定存在與之對(duì)應(yīng)的滿足下式的位移場(chǎng)： 1 dti 以下將證明，保證應(yīng)變張量E協(xié)調(diào)的必要條件是: VxExV=0 由于 設(shè)已給的應(yīng)變張量場(chǎng)E為協(xié)調(diào)張量場(chǎng)，即存在矢量場(chǎng)u,使 VxEx V Vx(Vw+wV)x V 二丄▽ x Vu x V + 丄 uV x V = 0 2 2 其中用到: =eijkdidjek =0 應(yīng)變張量的必要性可以得證?