專題62 利用三角函數(shù)值域求范圍問(wèn)題 一、單選題 1．在銳角中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知，且，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由已知條件得出，利用正弦定理結(jié)合兩角差的正弦公式得出，利用為銳角三角形，求出角的取值范圍，再利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)所求代數(shù)式，利用正弦型函數(shù)的有界性可求得的取值范圍. 【詳解】 由于且，可得， 由正弦定理可得，即， ，，可得，，即， 為銳角三角形，可得，解得， 所以，， ，可得，， 所以，. 故選：B. 【點(diǎn)睛】 思路點(diǎn)睛：解三角形的問(wèn)題中，求解與三角形內(nèi)角的代數(shù)式的取值范圍問(wèn)題時(shí)，一般利用三個(gè)內(nèi)角之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為以某角為自變量的三角函數(shù)來(lái)求解，同時(shí)不要忽略了對(duì)象角的取值范圍的求解. 2．已知點(diǎn)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若是銳角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由題意可用雙曲線參數(shù)表示，由是銳角三角形，令結(jié)合余弦定理即得，進(jìn)而可求離心率的取值范圍. 【詳解】 由題意知，若如下圖示，則，， ∴，， 令，則有， 是銳角三角形，有，得 ∴，而可知：的范圍 故選：D 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用雙曲線參數(shù)表示三角形的三邊，應(yīng)用余弦定理結(jié)合銳角三角形中內(nèi)角余弦值范圍為，雙曲線離心率求離心率范圍. 3．已知中，角、、所對(duì)應(yīng)的邊分別為、、，且，若的面積為，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由三角形的面積公式可得，由余弦定理可得，利用可求得，可得出，并求得，利用三角恒等變換思想得出，結(jié)合正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得結(jié)果. 【詳解】 由三角形的面積公式可得，可得， ，由余弦定理可得， 由，可得，解得，， ，可得，則， 所以，， ，，則， 因此，， 故選：B. 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：在解三角形的問(wèn)題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下： （1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”； （2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”； （3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”； （4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置； （5）含有面積公式的問(wèn)題，要考慮結(jié)合余弦定理求解； （6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理. 二、解答題 4．在中，分別為角所對(duì)的邊.在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，作出解答. （1）求角的值； （2）若為銳角三角形，且，求的面積的取值范圍. 【答案】條件選擇見(jiàn)解析；（1）；（2）. 【分析】 （1）選擇條件①，利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，再利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得，根據(jù)三角形內(nèi)角性質(zhì)得出且，即可求出角的值；選擇條件②，根據(jù)向量的數(shù)量積公式以及三角形的面積公式，化簡(jiǎn)得出，即可求出角的值；選擇條件③，根據(jù)兩角和的正弦公式和輔助角公式，化簡(jiǎn)的出，從而可求出角的值； （2）根據(jù)題意，利用正弦定理邊角互化得出，，再根據(jù)三角形面積公式化簡(jiǎn)得出，由為銳角三角形，求出角的范圍，從而得出的面積的取值范圍. 【詳解】 解：（1）選①， 由正弦定理得：， ∴， ∵，∴，∴， ∵，∴； 選②， ∴， ∴， ∵，∴，則， ∴； 選③， 得， ∴， ∴， ∵，∴， ∴，∴. （2）已知為銳角三角形，且， 由正弦定理得：， ∴，， ∴， ∵為銳角三角形， ∴， ∴，∴. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正弦定理的邊角互化、兩角和的正弦公式、輔助角公式、向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查三角形的面積公式以及三角形內(nèi)角的性質(zhì)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求區(qū)間內(nèi)的最值從而求出三角形的面積的取值范圍是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想和化簡(jiǎn)運(yùn)算能力. 5．在銳角中，角所對(duì)的邊分別是a，b，c，. （1）求角A的大??； （2）求的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由已知得，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，結(jié)合的范圍可求的值． （2）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求，由題意可求范圍，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解其取值范圍． 【詳解】 解：（1）∵，結(jié)合余弦定理，可得： ，∴，∴ 又∵，∴ （2）因?yàn)?，，所以，所以? 所以 ∵是銳角三角形，所以，解得 ∴, ∴ ∴, ∴ 綜上，的取值范圍是 【點(diǎn)睛】 解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”；求三角形面積的最大值也是一種常見(jiàn)類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值. 6．某高檔小區(qū)有一個(gè)池塘，其形狀為直角，，百米，百米，現(xiàn)準(zhǔn)備養(yǎng)一批觀賞魚(yú)供小區(qū)居民觀賞． （1）若在內(nèi)部取一點(diǎn)P，建造APC連廊供居民觀賞，如圖①，使得點(diǎn)P是等腰三角形PBC的頂點(diǎn)，且，求連廊的長(zhǎng)； （2）若分別在AB，BC，CA上取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，建造連廊供居民觀賞，如圖②，使得為正三角形，求連廊長(zhǎng)的最小值． 【答案】（1）百米；（2）百米． 【分析】 （1）先在三角形PBC中利用已知條件求出PC的長(zhǎng)度，再在三角形PAC中利用余弦定理求出PA的長(zhǎng)度，即可求解； （2）設(shè)出等腰三角形的邊長(zhǎng)以及角CEF，則可求出CF的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得AF的長(zhǎng)度，再利用角的關(guān)系求出角ADF的大小，然后在三角形ADF中利用正弦定理化簡(jiǎn)出a的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)的最值即可求出a的最小值，進(jìn)而可以求解． 【詳解】 解：（1）因?yàn)镻是等腰三角形PBC的頂點(diǎn)，且， 又，所以，，又因?yàn)?，所以? 則在三角形PAC中，由余弦定理可得： ，解得， 所以連廊百米； （2）設(shè)正三角形DEF的邊長(zhǎng)為a，， 則，，且，所以， 在三角形ADF中，由正弦定理可得： ，即， 即，化簡(jiǎn)可得， 所以（其中為銳角，且）， 即邊長(zhǎng)的最小值為百米， 所以三角形DEF連廊長(zhǎng)的最小值為百米． 【點(diǎn)評(píng)】 方法點(diǎn)睛：在求三角形邊長(zhǎng)以及最值的問(wèn)題時(shí)，常常設(shè)出角度，將長(zhǎng)度表示成角度的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的值域求最值. 7．如圖，在平面四邊形中，，，，是等邊三角形. （1）求（用含的式子表示）﹔ （2）求的取值范圍. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）在中，利用正弦定理即可求解. （2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，過(guò)垂直與為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，從而可得，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解. 【詳解】 （1）在中，，，， 所以, 由正弦定理可得, 即. （2）由，是等邊三角形， 所以，，由（1）知， ， 以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，過(guò)垂直與為軸， 建立平面直角坐標(biāo)系，如圖： 過(guò)點(diǎn)作，垂足為， 由題意可得, 所以， ， 所以， 由，， 所以， 所以， 所以 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，得出關(guān)系式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，借助于三角函數(shù)進(jìn)行求解，考查了運(yùn)算能力、轉(zhuǎn)化能力以及分析能力. 8．如圖，在平面四邊形中，， （1）若，求 （2）若，求的最大值 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用正弦定理可求的長(zhǎng). （2）設(shè)，利用正弦定理和余弦定理可得關(guān)于的表達(dá)式，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)可求其最大值. 【詳解】 解：（1）因?yàn)椋? 所以， 則， 在中，，，， 由正弦定理可得：， 則. （2）設(shè)，則 在中，，， 由正弦定理可得， 則， 在中，，，， 由余弦定理可得：， 則 ， 當(dāng)即， ， 故的最大值為. 【點(diǎn)睛】 思路點(diǎn)睛：解三角形中，注意三角形中共有七個(gè)幾何量（三邊三角以及外接圓的半徑），一般地，知道兩角及一邊，用正弦定理，知道兩邊及一邊所對(duì)的角，可以用余弦定理，也可以用正弦定理（結(jié)合要求解的目標(biāo)確定方法）. 9．在①，②，③的面積，三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并作答.(如果選擇多個(gè)條件作答，則按所選的第一個(gè)條件給分） 在三角形中，角所對(duì)的邊分別是，且角為銳角. （1）求角； （2）若，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）若選①：利用同角三角函數(shù)關(guān)系和正弦定理可化簡(jiǎn)已知等式求得，進(jìn)而得到； 若選②：利用正弦定理角化邊求得，結(jié)合為銳角得到； 若選③：根據(jù)三角形面積公式和向量數(shù)量積定義可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到； （2）利用正弦定理將化為，利用兩角和差正弦公式和輔助角公式化簡(jiǎn)可知，利用正弦型函數(shù)值域的求法可求得所求范圍. 【詳解】 （1）若選①：由得： ， 由正弦定理得：，即，， 又為銳角，. 若選②：由正弦定理得：， ，，， 又為銳角，. 若選③：，又， ， 為銳角，，，. （2）由正弦定理得：， ， ， ， ，，，， 即的取值范圍為. 【點(diǎn)睛】 思路點(diǎn)睛：解三角形問(wèn)題中，求解邊長(zhǎng)之和的范圍類問(wèn)題的基本思路是利用正弦定理將邊化角，結(jié)合三角恒等變換公式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域的求解問(wèn)題，利用三角函數(shù)值域的求解方法求得范圍. 10．已知向量，，，其中A是的內(nèi)角. （1）求角A的大?。? （2）若角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由和三角恒等變換可得答案； （2）由和可得，然后由正弦定理可得，然后利用三角函數(shù)的知識(shí)可得答案. 【詳解】 （1）因?yàn)椋? 即有，（），，（）， 又A為的內(nèi)角，所以； （2）由，得為鈍角，從而 由正弦定理，得 所以，， 則 又，所以， 則 11．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、.已知. （1）若，求. （2）求的取值范圍. 【答案】（1）；（2） 【分析】 (1)已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用誘導(dǎo)公式變形，根據(jù)不為0求出的值，即可確定出A的度數(shù)； (2)由第一問(wèn)得到，代入原式，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)題意求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可確定出范圍. 【詳解】 （1）由正弦定理得， ， ， 即， ， ，， ，； （2）由（1）得， ， 又， ，， ，， ，， 則的取值范圍. 【點(diǎn)睛】 此題考查了正弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,以及正弦函數(shù)的定義域與值域,熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵. 12．已知銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且. （1）求的值； （2）若，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根據(jù)誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)平方關(guān)系和正弦定理邊化角，可整理已知等式求得，進(jìn)而得到結(jié)果； （2）利用正弦定理、兩角和差正弦公式和輔助角公式可將轉(zhuǎn)化為，由正弦型函數(shù)值域的求解方法可求得結(jié)果. 【詳解】 （1）由題意得：， ， 由正弦定理得：，， ，. （2）由正弦定理得：，, , ，, . 為銳角三角形，，即，解得：， ，，， 即的取值范圍為. 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：解三角形問(wèn)題中，已知一邊及其所對(duì)角，求解與另外兩邊長(zhǎng)有關(guān)的取值范圍問(wèn)題的常用方法是利用正弦定理將邊化角，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)值域的求解問(wèn)題. 13．的內(nèi)角，，對(duì)應(yīng)邊分別為，，，且． （1）求的大??； （2）若為銳角三角形，求的取值范圍． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由，利用余弦定理化簡(jiǎn)得，再結(jié)合余弦定理，即可求解； （2）由（1）和為銳角三角形，求得，利用三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解. 【詳解】 （1）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ?，可得? 整理得，又由， 因?yàn)?，所? （2）因?yàn)闉殇J角三角形，可得，， 因?yàn)椋?，可得? 又由 ， 因?yàn)?，可得? 所以的取值范圍為. 【點(diǎn)睛】 對(duì)于解三角形問(wèn)題，通常利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值. 利用正、余弦定理解三角形問(wèn)題是高考高頻考點(diǎn)，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合正、余弦定理求解. 14．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知. （1）求角的大?。? （2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及正弦定理將角化邊，再利用余弦定理計(jì)算可得； （2）利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得； 【詳解】 解：（1）由題意知， 即. 由正弦定理，可得. 則由余弦定理，可得. 又因?yàn)?，所? （2）由正弦定理，， 所以，. 則的周長(zhǎng) . 因?yàn)?，所以，所以? 所以， 所以周長(zhǎng)的取值范圍是. 【點(diǎn)睛】 解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”；求三角形面積的最大值也是一種常見(jiàn)類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值. 15．在銳角中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知的面積. （1）求； （2）作角的平分線交邊于點(diǎn)，記和的面積分別為，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由結(jié)合整理可得，問(wèn)題得解； （2）整理可得，結(jié)合正弦定理得，由銳角三角形問(wèn)題得解. 【詳解】 （1），整理得， 因此，又，所以； （2）， 由正弦定理得：， 因?yàn)?，? 所以. 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：本題主要考查了三角形面積公式及正、余弦定理，關(guān)鍵點(diǎn)是利用已知和余弦定理得到，考查方程思想及轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題． 16．已知函數(shù) （1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間 （2）若銳角三角形ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，求面積S的取值范圍 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）先利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)解析式得到，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性，列出不等式求解，即可得出結(jié)果； （2）由（1）先求出，由正弦定理得：，再根據(jù)銳角三角形求出B的取值范圍，進(jìn)而求出c的取值范圍，從而得到面積的取值范圍. 【詳解】 （1） 由 解得：， 故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為． （2），， 又，，，又， 在中，由正弦定理得：，得 又為銳角三角形，且，故，解得 ，即 面積S的取值范圍是： 【點(diǎn)睛】 易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查利用正弦定理求三角形邊長(zhǎng)范圍的最值，解本題時(shí)要注意的事項(xiàng)：求角的范圍時(shí)，是在為銳角三角形的前提下，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力與運(yùn)算解能力，屬于中檔題. 17．已知中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且滿足. （1）求角的大??； （2）若邊長(zhǎng)，求的周長(zhǎng)最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用正弦定理邊角互化可得出，利用余弦定理求出的值，再結(jié)合角的取值范圍可求得角的值； （2）利用正弦定理結(jié)合三角函數(shù)可得，由可得，結(jié)合正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的周長(zhǎng)最大值. 【詳解】 （1），根據(jù)正弦定理得，， 即，由余弦定理得. 又，所以； （2），，，由正弦定理得， 可得：，， ， 由可得，可得. . 因此，的周長(zhǎng)的最大值為. 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛： 1.解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”； （2）利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”； 2.求三角形周長(zhǎng)的最值也是解三角形中一種常見(jiàn)類型的問(wèn)題，主要方法有兩類： （1）找到邊與邊的關(guān)系，利用余弦定理列等式，結(jié)合基本不等式求最值； （2）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角為自變量的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想的求最值. 18．的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，面積為.設(shè). （1）求角的大??； （2）設(shè)，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用余弦定理結(jié)合三角形的面積公式可求得的值，結(jié)合可求得角的值； （2）由正弦定理得出，，利用三角形的內(nèi)角和定理以及三角恒等變換思想得出，求出角的取值范圍，利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍. 【詳解】 （1）由余弦定理得， 由，可得，所以. 因?yàn)椋裕? （2）由正弦定理得，，， 因此 . 因?yàn)?，所以，所以，所以? 所以. 因此，的取值范圍是. 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”； （2）利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”. 求三角形有關(guān)代數(shù)式的取值范圍也是一種常見(jiàn)的類型，主要方法有兩類： （1）找到邊與邊之間的關(guān)系，利用基本不等式來(lái)求解； （2）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解. 19．從①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并加以解答.已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且______，求的最大值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分. 【答案】答案見(jiàn)解析 【分析】 分別選①②③，由正弦定理和三角恒等變換的公式，求得，進(jìn)而得到，化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解. 【詳解】 若選①，因?yàn)椋? 由正弦定理得， 整理得，可得， 又由，則有， 又因?yàn)?，所以，所? 所以 ， 因?yàn)椋傻茫? 所以當(dāng)時(shí)，有最大值. 若選②，因?yàn)椋? 由正弦定理知， 整理得，即. 又因?yàn)?，可得，所以，即? 所以， 所以 ， 因?yàn)?，可得? 所以當(dāng)時(shí)，有最大值. 若選③，因?yàn)椋? 由正弦定理知，∴. 由余弦定理知， 因?yàn)?，所以，所以? 所以 ， 因?yàn)?，可得? 所以當(dāng)時(shí)，有最大值. 【點(diǎn)睛】 解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更合適，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí)，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理. 20．已知在中，. （1）求角的大?。? （2）若與的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)，的外接圓半徑為4，求周長(zhǎng)的最大值. 【答案】（1）；（2）最大值為. 【分析】 （1）先用三角形內(nèi)角和定理?誘導(dǎo)公式?同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)已知等式，得到關(guān)于的方程，解方程可得的值，再結(jié)合角的范圍即可求出角； （2）由的外接圓半徑為4，利用正弦定理求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和為，，得，則，可求出，設(shè)，在中根據(jù)正弦定理將邊用表示，可得周長(zhǎng)的表達(dá)式，根據(jù)三角函數(shù)的有界性可求得周長(zhǎng)的最大值. 【詳解】 解：（1）∵，∴，∴， 又， ∴， 即，解得. 又，∴. （2）∵的外接圓半徑為4，所以由正弦定理得 ∵，∴，， 又與的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)，∴. ∴ 設(shè)，則，， 在中，由正弦定理得， 得，， ∴的周長(zhǎng)為. ∵，∴， ∴當(dāng)，即時(shí)，的周長(zhǎng)取得最大值，為， ∴周長(zhǎng)的最大值為. 【點(diǎn)睛】 結(jié)論點(diǎn)睛：解決解三角形問(wèn)題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用正弦定理?余弦定理求邊和角，如果給出的等式中既有邊又有角，則可考慮利用正弦定理將已知等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于邊或關(guān)于角的關(guān)系式進(jìn)行求解，若給出的等式是關(guān)于邊的二次式，則一般需利用余弦定理求解. 21．已知在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，，. （1）求外接圓的半徑； （2）求周長(zhǎng)的取值范圍. 【答案】（1）2；（2）. 【分析】 （1）由，利用正弦定理、和差公式可得，再利用正弦定理即可得出外接圓的半徑． （2）由，可得：，．可得．，利用和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出． 【詳解】 （1）因?yàn)? 所以 所以 所以 又因?yàn)? 所以 又 所以 又因?yàn)? 所以 又因?yàn)? 所以外接圓半徑 （2）據(jù)題設(shè)知， 所以， 又， 所以 因?yàn)槭卿J角三角形，且 所以 解得 所以 所以 即周長(zhǎng)的取值范圍是 【點(diǎn)睛】 解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”；求三角形面積的最大值也是一種常見(jiàn)類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值. 22．已知a，b，c是的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且的面積. （1）記，，若. （i）求角C， （ii）求的值； （2）求的取值范圍. 【答案】（1）；或.（2） 【分析】 （1）（i）由，利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可得，再利用正弦定理邊化角得，借助 ，即可求得角C （ii）由，得，由余弦定理得： ，兩邊同除以可得，，解方程即可求解. （2）由，得，由余弦定理得： ，兩邊同除以可得，，分離取值范圍已知的量： 由，則，即，解不等式即可得到答案. 【詳解】 （1）（i），，， ，即 利用正弦定理得：， 即，化簡(jiǎn)得 又，， 又， （ii）由，得，即，化簡(jiǎn)得 由余弦定理得：， 即，兩邊同除以可得， 令，得，解得 所以的值為或 （2）由，得，即 由余弦定理得：， 即，兩邊同除以可得， 令，得， 即 由，則，即， 解不等式得： 所以的取值范圍為： 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用： （1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”； （2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”； （3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”； （4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置； （5）含有面積公式的問(wèn)題，要考慮結(jié)合余弦定理使用； （6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到. 23．近年來(lái)國(guó)家大力加強(qiáng)生態(tài)環(huán)境保護(hù)，某山區(qū)違建拆除以后，當(dāng)?shù)卣疄榱司窘逃笕耍瑳Q定在一處空地上建立一個(gè)如圖所示的綜合教育基地，其中ABC為正三角形，在ACD中，DC＝2百米，DA＝1百米，建成后BCD將作為人們觀看警示教育區(qū)域，ABD作為環(huán)境保護(hù)知識(shí)普及學(xué)習(xí)區(qū)域． （1）當(dāng)∠ADC＝時(shí)，求環(huán)境保護(hù)知識(shí)普及學(xué)習(xí)區(qū)域的面積(單位：百米)； （2）設(shè)∠ADC＝θ，則當(dāng)θ多大時(shí)，觀看警示教育區(qū)域的面積(單位：百米)最大． 【答案】（1）百米2；（2）． 【分析】 （1）求出百米，百米，即得環(huán)境保護(hù)知識(shí)普及學(xué)習(xí)區(qū)域的面積； （2）設(shè)，求出，再求出，即得解. 【詳解】 （1）在中，， 所以百米， 所以，所以，從而， 因?yàn)闉檎切?，所以百米? 百米2， （2）設(shè)，則在中，由正弦定理得， 由余弦定理得， 因?yàn)闉檎切?，所以，又百米? 所以 ， 所以當(dāng)即時(shí)，取得最大值百米2， 綜上可得，當(dāng)觀看警示教育區(qū)域的面積最大. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是求出的函數(shù)解析式，其中用到了正弦定理和余弦定理求三角函數(shù).遇到解三角形的問(wèn)題，要熟練運(yùn)用正弦定理余弦定理完成解題目標(biāo). 24．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，為的面積，滿足. （1）求角的大?。? （2）若，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用三角形的面積公式以及余弦定理即可求解. （2）利用正弦定理可得，再根據(jù)兩角差的正弦公式以及輔助角公式即可求解. 【詳解】 （1）由三角形面積公式得： （2）在中，由正弦定理得，又， 所以，， 故， 因?yàn)楣?，所以，? 故的取值范圍是. 25．在中，角所過(guò)的邊分別為，且，． （1）求面積的最大值； （2）若為銳角三角形，求周長(zhǎng)的取值范圍． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根據(jù)條件利用余弦定理求出，再由基本不等式求出，即可求出面積最大值； （2）由正弦定理可得，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可求出取值范圍. 【詳解】 解（1）， ， ，即，， ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，， ，即，； （3）由正弦定理可知， ， 為銳角三角形，且， ， ，即的取值范圍為. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)睛：第一問(wèn)關(guān)鍵是利用基本不等式求出；第二問(wèn)需要利用正弦定理化邊為角得到，再結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求解. 26．設(shè)函數(shù). （1）求的最小正周期和值域； （2）在銳角中，設(shè)角，，的對(duì)邊長(zhǎng)分別為，，．若，，求周長(zhǎng)的取值范圍． 【答案】（1）；；（2）. 【分析】 （1）根據(jù)二倍角公式和兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)得，再根據(jù)周期公式可得周期，根據(jù)余弦函數(shù)的值域可得值域； （2）由，得，根據(jù)正弦定理將用表示，用兩角和的正弦公式將周長(zhǎng)表示為的三角函數(shù)，利用銳角三角形求出的范圍，利用三角函數(shù)的圖象求出周長(zhǎng)的取值范圍. 【詳解】 （1）因?yàn)? 所以的最小正周期為. 因?yàn)椋? 所以. 所以，函數(shù)的值域?yàn)? （2）由，得. 因?yàn)闉殇J角，所以，所以，即. 因?yàn)?，所? 由正弦定理，得，， 所以 . 因?yàn)闉殇J角三角形，所以，， 即，解得. 所以，所以，即. 所以周長(zhǎng)的取值范圍為區(qū)間. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用正弦定理將邊化角，利用三角函數(shù)的圖象求取值范圍是解題關(guān)鍵，屬于中檔題. 27．設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知且，. （1）求角； （2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由向量垂直有，結(jié)合其坐標(biāo)表示可得，應(yīng)用余弦定理即可求角； （2）應(yīng)用正弦定理有，進(jìn)而得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)及周長(zhǎng)公式即可求周長(zhǎng)的取值范圍. 【詳解】 (1)∵， ∴ ∴，即， ∴. ∵B∈(0,π)， ∴. （2）由正弦定理，得，又因?yàn)? 所以 又因?yàn)?，所? 所以 所以△ABC周長(zhǎng)的取值范圍 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查了向量垂直的坐標(biāo)表示、正余弦定理的應(yīng)用，注意觀察正弦定理中邊角互化、余弦公式形式的辨析，以及應(yīng)用三角恒等變換化簡(jiǎn)三角函數(shù)式并結(jié)合三角形的內(nèi)角性質(zhì)求周長(zhǎng)范圍. 28．在中，，，分別是角，，所對(duì)的邊，已知，，且. （1）求角的大小； （2）求周長(zhǎng)的取值范圍. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）由題意得出，從而求得的值； （1）由正弦定理表示出，，利用三角恒等變換與三角形內(nèi)角和定理，即可求出的取值范圍． 【詳解】 解：（1）由，，且， 得， ； 又， ； （2）由（1）知，，則， ，，，； ， 又，， ，， ， 周長(zhǎng)的取值范圍． 【點(diǎn)睛】 解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”；求三角形面積的最大值也是一種常見(jiàn)類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.