新編數(shù)學(xué)北師大版精品資料 【成才之路】高中數(shù)學(xué) 4.2.2最大值、最小值問(wèn)題第1課時(shí)練習(xí) 北師大版選修1-1 一、選擇題 1．函數(shù)y＝x－sinx，x∈的最大值是(　　) A．π－1 B．－1 C．π D．π＋1 [答案]　C [解析]　f ′(x)＝1－cosx≥0， ∴f(x)在上為增函數(shù)， ∴f(x)的最大值為f(π)＝π－sinπ＝π，故選C. 2．(2014北京東城區(qū)聯(lián)考)如圖是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的圖像，則下面判斷正確的是(　　) A．在區(qū)間(－2,1)上f(x)是增函數(shù) B．在(1,3)上f(x)是減函數(shù) C．在(4,5)上f(x)是增函數(shù) D．當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)取極大值 [答案]　C [解析]　由導(dǎo)函數(shù)y＝f ′(x)的圖像知，f(x)在(－2,1)上先減后增，在(1,3)上先增后減，在(4,5)上單調(diào)遞增，x＝4是f(x)的極小值點(diǎn)，故A、B、D錯(cuò)誤，選C. 3．(2014營(yíng)口三中期中)若a＞0，b＞0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx在x＝1處有極值，則a＋b等于(　　) A．2　　 B．3　　 C．6　　 D．9 [答案]　C [解析]　f ′(x)＝12x2－2ax－2b，由條件知x＝1是方程f ′(x)＝0的實(shí)數(shù)根，∴a＋b＝6. 4．函數(shù)f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值為(　　) A. B． C. D． [答案]　A [解析]　f ′(x)＝1－3x2＝0，得x＝∈[0,1]， ∵f＝，f(0)＝f(1)＝0. ∴f(x)max＝. 5．(2014河南淇縣一中模擬)設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝eax＋3x，x∈R有大于零的極值點(diǎn)，則(　　) A．a(chǎn)>－3 B．a(chǎn)<－3 C．a(chǎn)>－ D．a(chǎn)<－ [答案]　B [解析]　y′＝aeax＋3，由條件知，方程aeax＋3＝0有大于零的實(shí)數(shù)根，∴0<－<1，∴a<－3. 6．若函數(shù)y＝x3－2ax＋a在(0,1)內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(0,3) B．(－∞，3) C．(0，＋∞) D．(0，) [答案]　D [解析]　y′＝3x2－2a，因?yàn)楹瘮?shù)在(0,1)內(nèi)有極小值， 所以方程3x2－2a＝0較大的根在(0,1)內(nèi)， 所以2a＝3x2∈(0,3)， 所以a∈(0，)． 二、填空題 7．設(shè)函數(shù)f(x)＝－x3＋3x－1，則其極大值點(diǎn)為_(kāi)_______，極小值點(diǎn)為_(kāi)_______． [答案]　1，－1 [解析]　f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x－1)(x＋1)， 當(dāng)x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)減； 當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)增，所以f(x)極大值點(diǎn)為x＝1，極小值點(diǎn)為x＝－1. 8．若函數(shù)f(x)＝2x2－lnx在其定義域的一個(gè)子區(qū)間( t－1，t＋1)上不是單調(diào)函數(shù)，則t的取值范圍是________． [答案]　[1，) [解析]　f(x)的定義域?yàn)閧x|x>0}，f′(x)＝4x－＝＝，f(x)在其定義域的一個(gè)子區(qū)間不單調(diào)，則需0≤t－1<，1≤t<. 三、解答題 9．已知函數(shù)f(x)＝x3－4x＋4. (1)求函數(shù)的極值； (2)求函數(shù)在區(qū)間[－3,4]上的最大值和最小值． [答案]　(1)極大值9，極小值－1　(2)最大值9，最小值－1. [解析]　(1)由導(dǎo)數(shù)公式表和求導(dǎo)法則可得f′(x)＝x2－4. 解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2. x變化時(shí)，f′(x)與f(x)的變化情況如下表 x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  從上表看出，當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)有極大值．且 f(－2)＝(－2)3－4(－2)＋4＝9. 而當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)有極小值，且 f(2)＝23－42＋4＝－1. (2)f(－3)＝(－3)3－4(－3)＋4＝7， f(4)＝43－44＋4＝9. 與極值點(diǎn)的函數(shù)值比較，得已知函數(shù)在區(qū)間[－3,4]上的最大值是9，最小值是－1. 10．(2014淄博市臨淄中學(xué)學(xué)分認(rèn)定考試)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(1，f(1))處的切線方程為y＝3x＋1. (1)求a、b的值； (2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值． [答案]　(1)a＝2，b＝－4　(2)13 [解析]　(1)依題意可知點(diǎn)P(1，f(1))為切點(diǎn)，代入切線方程y＝3x＋1可得，f(1)＝31＋1＝4， ∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2， 又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，f ′(x)＝3x2＋2ax＋b， 而由切線方程y＝3x＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0， 由解得 ∴a＝2，b＝－4. (2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， f ′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)， 令f ′(x)＝0，得x＝或x＝－2. 當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f ′(x)的變化情況如下表： x －3 (－3，－2) －2 (－2，) (，1) 1 f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 8 增 極大值 減 極小值 增 4 ∴f(x)的極大值為f(－2)＝13，極小值為f()＝， 又f(－3)＝8，f(1)＝4， ∴f(x)在[－3,1]上的最大值為13. 一、選擇題 1．函數(shù)y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分別是(　　) A．12；－8 B．1；－8 C．12；－15 D．5；－16 [答案]　A [解析]　y′＝6x2－6x－12，由y′＝0?x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2時(shí)y＝1，x＝－1時(shí)y＝12，x＝1時(shí)y＝－8. ∴ymax＝12，ymin＝－8.故選A. 2．(2014開(kāi)灤二中期中)若函數(shù)f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是(　　) A．(0,1) B．(－∞，1) C．(0，＋∞) D．(0，) [答案]　D [解析]　f ′(x)＝3x2－6b，∵f(x)在(0,1)內(nèi)有極小值， ∴在(0,1)內(nèi)存在點(diǎn)x0，使得在(0，x0)內(nèi)f ′(x)<0，在(x0,1)內(nèi)f ′(x)>0，由f ′(x)＝0得，x2＝2b>0， ∴∴0<b<. 3．(2014棗莊市期中)若1、3為函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx(b，c∈R)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(－1，f(－1))處的切線的斜率為(　　) A．8　　 B．6　　 C．4　　 D．0 [答案]　A [解析]　f ′(x)＝x2＋2bx＋c，由條件知，1,3是方程f ′(x)＝0的兩個(gè)實(shí)根，∴b＝－2，c＝3，∴f ′(－1)＝8，故選A. 4．(2014安徽程集中學(xué)期中)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f ′(x)＞f(x)，則(　　) A．f(2)<e2f(0) B．f(2)≤e2f(0) C．f(2)＝e2f(0) D．f(2)>e2f(0) [答案]　D [解析]　設(shè)F(x)＝，則F′(x)＝>0， ∴F(x)在R上為增函數(shù)，故F(2)>F(0)， ∴>， 即f(2)>e2f(0)． 二、填空題 5．若函數(shù)f(x)＝在x＝1處取得極值，則a＝________. [答案]　3 [解析]　考查分式函數(shù)求導(dǎo)法則、極值點(diǎn)的性質(zhì)． f ′(x)＝＝， f ′(1)＝0?＝0?a＝3. 6．(2014衡陽(yáng)六校聯(lián)考)在區(qū)間[－a，a](a>0)內(nèi)圖像不間斷的函數(shù)f(x)滿足f(－x)－f(x)＝0，函數(shù)g(x)＝exf(x)，且g(0)g(a)<0，又當(dāng)0<x<a時(shí)，有f ′(x)＋f(x)>0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[－a，a]內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是________． [答案]　2 [解析]　∵f(－x)－f(x)＝0，∴f(x)為偶函數(shù)， ∵g(x)＝exf(x)，∴g′(x)＝ex[f ′(x)＋f(x)]>0， ∴g(x)在[0，a]上為單調(diào)增函數(shù)， 又∵g(0)g(a)<0， ∴函數(shù)g(x)＝exf(x)在[0，a]上只有一個(gè)零點(diǎn)， 又∵ex≠0， ∴f(x)在[0，a]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)， ∵f(x)是偶函數(shù)，且f(0)≠0，∴f(x)在[－a，a]上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)． 三、解答題 7．已知函數(shù)f(x)＝ex－f(0)x＋x2(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))． (1)求f(x)的解析式和單調(diào)區(qū)間； (2)若函數(shù)g(x)＝x2＋a與函數(shù)f(x)的圖像在區(qū)間[－1,2]上恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [答案]　(1)f(x)＝ex－x＋x2　f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)，單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)　(2)(1,1＋] [解析]　(1)由已知得f′(x)＝ex－f(0)＋x， ∴f′(1)＝f′(1)－f(0)＋1，即f(0)＝1. 又f(0)＝，∴f′(1)＝e. 從而f(x)＝ex－x＋x2. 顯然f′(x)＝ex－1＋x在R上單調(diào)遞增且f′(0)＝0，故當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0. ∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)，單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)． (2)由f(x)＝g(x)得a＝ex－x，令h(x)＝ex－x， 則h′(x)＝ex－1. 由h′(x)＝0得x＝0. 當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，h′(x)<0；當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，h′(x)>0. ∴h(x)在(－1,0)上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增． 又h(0)＝1，h(－1)＝1＋，h(2)＝e2－2且h(－1)<h(2)，∴兩個(gè)圖像恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,1＋]． 8．(2014唐山市二模)已知函數(shù)f(x)＝x2－lnx－ax，a∈R. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)的最小值； (2)若f(x)>x，求a的取值范圍． [答案]　(1)0　(2)(－∞，0) [解析]　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x2－lnx－x，f′(x)＝. 當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0. ∵f(x)的極小值為f(1)＝0， 又∵f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)， ∴f(x)的最小值為f(1)＝0. (2)f(x)＞x，即f(x)－x＝x2－lnx－(a＋1)x＞0. 由于x＞0，所以f(x)＞x等價(jià)于x－＞a＋1. 令g(x)＝x－，則g′(x)＝. 當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)＜0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)＞0. g(x)有最小值g(1)＝1. 故a＋1＜1，a的取值范圍是(－∞，0)．