課時(shí)作業(yè)41　直接證明與間接證明 一、選擇題 1．命題“對(duì)于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的證明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”過程應(yīng)用了(　　) A．分析法 B．綜合法 C．綜合法、分析法綜合使用 D．間接證明法 解析：因?yàn)樽C明過程是“從左往右”，即由條件?結(jié)論． 答案：B 2．若a、b∈R，則下面四個(gè)式子中恒成立的是(　　) A．lg(1＋a2)>0 B．a(chǎn)2＋b2≥2(a－b－1) C．a(chǎn)2＋3ab>2b2 D.< 解析：在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0.∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立． 答案：B 3．①已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2，用反證法證明時(shí)，可假設(shè)p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求證方程x2＋ax＋b＝0的兩根的絕對(duì)值都小于1，用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x1的絕對(duì)值大于或等于1，即假設(shè)|x1|≥1.以下正確的是(　　) A．①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤 B．①與②的假設(shè)都正確 C．①的假設(shè)正確，②的假設(shè)錯(cuò)誤 D．①的假設(shè)錯(cuò)誤；②的假設(shè)正確 解析：反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論，對(duì)于①，其結(jié)論的反面是p＋q>2，所以①不正確；對(duì)于②，其假設(shè)正確． 答案：D 4．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證<a”索的因應(yīng)是(　　) A．a(chǎn)－b>0 B．a(chǎn)－c>0 C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0 解析：由題意知<a?b2－ac<3a2?(a＋c)2－ac<3a2 ?a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0 ?－2a2＋ac＋c2<0?2a2－ac－c2>0 ?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0. 答案：C 5．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，則P，Q的大小關(guān)系為(　　) A．P>Q B．P＝Q C．P<Q D．由a取值決定 解析：假設(shè)P<Q，要證P<Q，只要證P2<Q2，只要證2a＋7＋2<2a＋7＋2， 只要證a2＋7a<a2＋7a＋12，只要證0<12， ∵0<12成立，∴P<Q成立． 答案：C 6．設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件： ①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1. 其中能推出：“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是(　　) A．②③ B．①②③ C．③ D．③④⑤ 解析：若a＝，b＝，則a＋b>1. 但a<1，b<1，故①推不出； 若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出； 若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2>2，故④推不出； 若a＝－2，b＝－3，則ab>1，故⑤推不出； 對(duì)于③，即a＋b>2. 則a，b中至少有一個(gè)大于1， 反證法：假設(shè)a≤1且b≤1， 則a＋b≤2與a＋b>2矛盾， 因此假設(shè)不成立，a，b中至少有一個(gè)大于1. 答案：C 二、填空題 7．設(shè)a＝＋2，b＝2＋，則a，b的大小關(guān)系為________． 解析：a＝＋2，b＝2＋兩式的兩邊分別平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，顯然，<.∴a<b. 答案：a<b 8．用反證法證明命題“若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，則a，b，c，d中至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù)”時(shí)，第一步要假設(shè)結(jié)論的否定成立，那么結(jié)論的否定是：________. 解析：“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒有”，故結(jié)論的否定是“a，b，c，d中沒有一個(gè)是非負(fù)數(shù)，即a，b，c，d全是負(fù)數(shù)”． 答案：a，b，c，d全是負(fù)數(shù) 9．若二次函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在區(qū)間[－1，1]內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使f(c)>0，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是________． 解析：令 解得p≤－3或p≥， 故滿足條件的p的范圍為. 答案： 三、解答題 10．若a>b>c>d>0且a＋d＝b＋c，求證：＋<＋. 證明：要證＋<＋，只需證(＋)2<(＋)2，即a＋d＋2<b＋c＋2，因a＋d＝b＋c，只需證<，即ad<bc，設(shè)a＋d＝b＋c＝t，則ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)<0，故ad<bc成立，從而＋<＋成立． 11．已知四棱錐S－ABCD中，底面是邊長為1的正方形，又SB＝SD＝，SA＝1. (1)求證：SA⊥平面ABCD； (2)在棱SC上是否存在異于S，C的點(diǎn)F，使得BF∥平面SAD？若存在，確定F點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解： (1)證明：由已知得SA2＋AD2＝SD2，∴SA⊥AD. 同理SA⊥AB. 又AB∩AD＝A， ∴SA⊥平面ABCD. (2)假設(shè)在棱SC上存在異于S，C的點(diǎn)F，使得BF∥平面SAD. ∵BC∥AD，BC?平面SAD. ∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B， ∴平面FBC∥平面SAD. 這與平面SBC和平面SAD有公共點(diǎn)S矛盾，∴假設(shè)不成立． ∴不存在這樣的點(diǎn)F，使得BF∥平面SAD. 1．(2016浙江卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋，x∈[0,1]，證明： (Ⅰ)f(x)≥1－x＋x2； (Ⅱ)<f(x)≤. 證明：(Ⅰ)因?yàn)?－x＋x2－x3 ＝＝， 由于x∈[0,1]，有≤， 即1－x＋x2－x3≤， 所以f(x)≥1－x＋x2. (Ⅱ)由0≤x≤1得x3≤x，故 f(x)＝x3＋≤x＋＝x＋－＋＝＋≤， 所以f(x)≤. 由(Ⅰ)得f(x)≥1－x＋x2＝(x－)2＋≥，又因?yàn)閒()＝>，所以f(x)>. 綜上，<f(x)≤. 2．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，若f(c)＝0，且0<x<c時(shí)，f(x)>0. (1)證明：是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)； (2)試用反證法證明>c. 證明：(1)∵f(x)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴f(x)＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2， ∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根， 又∵x1x2＝，∴x2＝(≠c)． ∴是f(x)＝0的一個(gè)根．即是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)． (2)假設(shè)<c，又>0，由0<x<c時(shí)，f(x)>0.知f>0與f＝0矛盾，∴≥c.又∵≠c，∴>c.