74　幾何證明選講 (二)直線與圓的位置關(guān)系 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解圓周角定理，弦切角定理及其推論；2.理解圓的切線的判定及性質(zhì)定理；3.理解相交弦定理，割線定理，切割線定理；4.理解圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理及判定． 自主梳理 1．圓周角、弦切角及圓心角定理 (1)__________的度數(shù)等于其的對(duì)______的度數(shù)的一半． 推論1：________(或________)所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角__________相等． 推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的__________等于90.反之，90的圓周角所對(duì)的弧是________(或__________)． (2)弦切角的度數(shù)等于其所夾孤的度數(shù)的____． (3)圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)． 2．圓中比例線段有關(guān)定理 (1)相交弦定理：______的兩條____________，每條弦被交點(diǎn)分成的____________的積相等． (2)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的一條割線和一條切線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)的線段長(zhǎng)的____________． (3)割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條________，該點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等． 溫馨提示　相交弦定理，切割線定理，割線定理揭示了與圓有關(guān)的線段間的比例關(guān)系，在與圓有關(guān)的比例線段問題的證明、計(jì)算以及證明線段或角相等等問題中應(yīng)用甚廣． 3．切線長(zhǎng)定理 從________一點(diǎn)引圓的兩條切線，__________相等． 4．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 (1)性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角________． 推論：圓內(nèi)接四邊形的任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)角的________． (2)判定定理：如果四邊形的__________，則四邊形內(nèi)接于____． 推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的____________，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)________． 5．圓的切線的性質(zhì)及判定定理 (1)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的________． 推論1：經(jīng)過________且________與垂直的直線必經(jīng)過切點(diǎn)． 推論2：經(jīng)過________且切線與垂直的直線必經(jīng)過______________________________． (2)判定定理：過半徑________且與這條半徑________的直線是圓的切線． 自我檢測(cè) 1．如圖在Rt△ABC中，∠B＝90，D是AB上一點(diǎn)，且AD＝2DB，以D為圓心，DB為半徑的圓與AC相切，則sin A＝________. 2．(2010南京模擬)如圖，AB是圓O的直徑，EF切圓O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，則AC長(zhǎng)為________． 3．(2011湖南)如圖，A，E是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，直徑BC＝4，AD⊥BC，垂足為D，BE與AD相交于點(diǎn)F，則AF的長(zhǎng)為________． 4．如圖所示，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，AC交⊙O于點(diǎn)D，若AD＝32，CD＝18，則AB＝________. 5．(2010揭陽模擬)如圖，已知P是⊙O外一點(diǎn)，PD為⊙O的切線，D為切點(diǎn)，割線PEF經(jīng)過圓心O，PF＝12，PD＝4，則圓O的半徑長(zhǎng)為________、∠EFD的度數(shù)為________. 探究點(diǎn)一　與圓有關(guān)的等角、等弧、等弦的判定 例1 如圖，⊙O的兩條弦AC，BD互相垂直，OE⊥AB，垂足為點(diǎn)E.求證：OE＝CD. 變式遷移1 在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分線，△AMC的外接圓O交BC于點(diǎn)N；若AC＝AB，求證：BN＝3MN. 探究點(diǎn)二　四點(diǎn)共圓的判定 例2 如圖，四邊形ABCD中，AB、DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AD，BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，∠AED，∠AFB的角平分線交于點(diǎn)M，且EM⊥FM.求證：四邊形ABCD內(nèi)接于圓． 變式遷移2 如圖，已知AP是⊙O的切線，P為切點(diǎn)，AC是⊙O的割線，與⊙O交于B、C兩點(diǎn)，圓心O在∠PAC的內(nèi)部，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)． (1)證明：A，P，O，M四點(diǎn)共圓； (2)求∠OAM＋∠APM的大?。? 探究點(diǎn)三　與圓有關(guān)的比例線段的證明 例3 如圖，PA切⊙O于點(diǎn)A，割線PBC交⊙O于點(diǎn)B，C，∠APC的角平分線分別與AB，AC相交于點(diǎn)D，E，求證： (1)AD＝AE； (2)AD2＝DBEC. 變式遷移3 (2010全國(guó)) 如圖，已知圓上的弧＝，過C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，證明： (1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BECD. 1．圓周角定理與圓心角定理在證明角相等時(shí)有較普遍的應(yīng)用，尤其是利用定理進(jìn)行等角代換與傳遞． 2．要注意一些常用的添加輔助線的方法，若證明直線與圓相切，則連結(jié)直線與圓的公共點(diǎn)和圓心證垂直；遇到直徑時(shí)，一般要引直徑所對(duì)的圓周角，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角解決有關(guān)問題． 3．判斷兩線段是否相等，除一般方法(通過三角形全等)外，也可用等線段代換，或用圓心角定理及其推論證明． 4．證明多點(diǎn)共圓的常用方法： (1)證明幾個(gè)點(diǎn)與某個(gè)定點(diǎn)距離相等； (2)如果某兩點(diǎn)在某條線段的同旁，證明這兩點(diǎn)對(duì)這條線段的張角相等； (3)證明凸四邊形內(nèi)對(duì)角互補(bǔ)(或外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角)． 5．圓中比例線段有關(guān)定理常與圓周角、弦切角聯(lián)合應(yīng)用，要注意在題中找相等的角，找相似三角形，從而得到線段的比． (滿分：75分) 一、填空題(每小題5分，共40分) 1．如圖，已知AB，CD是⊙O的兩條弦，且AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別是E，F(xiàn)，則結(jié)論①＝，②∠AOB＝∠COD，③OE＝OF，④＝中，正確的有________個(gè)． 2．(2010湖南)如圖所示，過⊙O外一點(diǎn)P作一條直線與⊙O交于A、B兩點(diǎn)．已知PA＝2，點(diǎn)P到⊙O的切線長(zhǎng)PT＝4，則弦AB的長(zhǎng)為________． 3．(2010陜西) 如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長(zhǎng)分別為3 cm,4 cm，以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則＝________. 4．(2009廣東)如圖，點(diǎn)A，B，C是圓O上的點(diǎn)，且AB＝4，∠ACB＝45，則圓O的面積為________． 5．已知PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，PA＝2，AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點(diǎn)B，PB＝1，則圓O的半徑R＝________. 6．如圖，圓O是△ABC的外接圓，過點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CD＝2，AB＝3.則BD的長(zhǎng)為________． 7．(2011天津)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)F，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長(zhǎng)為________． 8．(2010天津)如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)AB和DC相交于點(diǎn)P.若＝，＝，則的值為________． 二、解答題(共35分) 9．(11分)如圖，三角形ABC中，AB＝AC，⊙O經(jīng)過點(diǎn)A，與BC相切于B，與AC相交于D，若AD＝CD＝1，求⊙O的半徑r. 10．(12分)(2009江蘇)如圖，在四邊形ABCD中，△ABC≌△BAD.求證：AB∥CD. 11．(12分)(2011江蘇)如圖，圓O1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A，其半徑分別為r1與r2(r1>r2)．圓O1的弦AB交圓O2于點(diǎn)C(O1不在AB上)．求證：AB∶AC為定值． 74　幾何證明選講 (二)直線與圓的位置關(guān)系 自主梳理 1．(1)圓周角　弧　同弧　等弧　所對(duì)的弧　圓周角　半圓　弦為直徑　(2)一半　 2.(1)圓　相交弦　兩條線段長(zhǎng) (2)等比中項(xiàng)　(3)割線　3.圓外　切線長(zhǎng)　4.(1)互補(bǔ)　對(duì)角　(2)對(duì)角互補(bǔ)　圓　內(nèi)角的對(duì)角　共圓 5．(1)半徑　圓心　切線　切點(diǎn)　圓心　(2)外端　垂直 自我檢測(cè) 1. 解析　設(shè)切點(diǎn)為T，則DT⊥AC，AD＝2DB＝2DT， ∴∠A＝30，sin A＝. 2．2 解析　連接CB，則∠DCA＝∠CBA， 又∠ADC＝∠ACB＝90， ∴△ADC∽△ACB. ∴＝. ∴AC2＝ABAD＝26＝12. ∴AC＝2. 3. 解析　如圖，連接CE，AO，AB.根據(jù)A，E是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，BC為直徑，可得∠CEB＝90，∠CBE＝30，∠AOB＝60，故△AOB為等邊三角形，AD＝，OD＝BD＝1，∴DF＝，∴AF＝AD－DF＝. 4．40 解析　如圖，連接BD，則BD⊥AC，由射影定理知， AB2＝ADAC＝3250＝1 600，故AB＝40. 5．4　30 解析　由切割線定理得PD2＝PEPF， ∴PE＝＝＝4，∴EF＝8，OD＝4. 又∵OD⊥PD，OD＝PO，∠P＝30， ∠POD＝60＝2∠EFD，∴∠EFD＝30. 課堂活動(dòng)區(qū) 例1 解題導(dǎo)引　(1)借用等弦或等弧所對(duì)圓周角相等，所對(duì)的圓心角相等，進(jìn)行角的等量代換；同時(shí)也可借在同圓或等圓中，相等的圓周角(或圓心角)所對(duì)的弧相等，進(jìn)行弧(或弦)的等量代換． (2)本題的證法是證明一條線段等于另一條線段的一半的常用方法． 證明　作直徑AF，連接BF，CF，則∠ABF＝∠ACF＝90. 又OE⊥AB，O為AF的中點(diǎn)， 則OE＝BF. ∵AC⊥BD， ∴∠DBC＋∠ACB＝90， 又∵AF為直徑，∠BAF＋∠BFA＝90， ∵∠AFB＝∠ACB， ∴∠DBC＝∠BAF，即有CD＝BF. 從而得OE＝CD. 變式遷移1 證明　∵CM是∠ACB的平分線， ∴＝， 即BC＝AC， 又由割線定理得BMBA＝BNBC， ∴BNAC＝BMBA， 又∵AC＝AB，∴BN＝3AM， ∵在圓O內(nèi)∠ACM＝∠MCN， ∴AM＝MN，∴BN＝3MN. 例2 解題導(dǎo)引　證明多點(diǎn)共圓，當(dāng)它們?cè)谝粭l線段同側(cè)時(shí)，可證它們對(duì)此線段張角相等，也可以證明它們與某一定點(diǎn)距離相等；如兩點(diǎn)在一條線段異側(cè)，則證明它們與線段兩端點(diǎn)連成的凸四邊形對(duì)角互補(bǔ)． 證明　連接EF， 因?yàn)镋M是∠AEC的角平分線， 所以∠FEC＋∠FEA＝2∠FEM. 同理，∠EFC＋∠EFA＝2∠EFM. 而∠BCD＋∠BAD＝∠ECF＋∠BAD ＝(180－∠FEC－∠EFC)＋(180－∠FEA－∠EFA) ＝360－2(∠FEM＋∠EFM) ＝360－2(180－∠EMF)＝2∠EMF＝180， 即∠BCD與∠BAD互補(bǔ)． 所以四邊形ABCD內(nèi)接于圓． 變式遷移2 (1)證明　連接OP，OM， 因?yàn)锳P與⊙O相切于點(diǎn)P， 所以O(shè)P⊥AP. 因?yàn)镸是⊙O的弦BC的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥BC. 于是∠OPA＋∠OMA＝180， 由圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對(duì)角互補(bǔ)， 所以A，P，O，M四點(diǎn)共圓． (2)解　由(1)得A，P，O，M四點(diǎn)共圓， 所以∠OAM＝∠OPM. 由(1)得OP⊥AP. 由圓心O在∠PAC的內(nèi)部， 可知∠OPM＋∠APM＝90， 所以∠OAM＋∠APM＝90. 例3 解題導(dǎo)引　尋找適當(dāng)?shù)南嗨迫切?，把幾條要證的線段集中到這些相似三角形中，再用圓中角、與圓有關(guān)的比例線段的定理找到需要的比例式，使問題得證． 證明　(1)∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE＝∠APD＋∠PAB. 因PE是∠APC的角平分線，故∠EPC＝∠APD，PA是⊙O的切線，故∠C＝∠PAB. 所以∠AED＝∠ADE.故AD＝AE. (2)?△PCE∽△PAD?＝； ?△PAE∽△PBD?＝. 又PA是切線，PBC是割線?PA2＝PBPC?＝. 故＝，又AD＝AE，故AD2＝DBEC. 變式遷移3 證明　(1)因?yàn)椋?，所以∠BCD＝∠ABC. 又因?yàn)镋C與圓相切于點(diǎn)C，故∠ACE＝∠ABC， 所以∠ACE＝∠BCD. (2)因?yàn)椤螮CB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， 所以△BDC∽△ECB，故＝，即BC2＝BECD. 課后練習(xí)區(qū) 1．4 解析　∵在同圓或等圓中，等弦所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等，所對(duì)弦心距相等，故①②③成立，又由＝，得＝，∴④正確． 2．6 解析　連接BT，由切割線定理， 得PT2＝PAPB， 所以PB＝8，故AB＝6. 3. 解析?。?＝?AD＝?BD＝(cm)，＝. 4．8π 解析　連接OA，OB， ∵∠BCA＝45， ∴∠AOB＝90. 設(shè)圓O的半徑為R，在Rt△AOB中，R2＋R2＝AB2＝16，∴R2＝8. ∴圓O的面積為8π. 5. 解析　如圖，依題意，AO⊥PA，AB⊥PC，PA＝2，PB＝1，∠P＝60， 在Rt△CAP中，有2OA＝2R＝2tan 60＝2， ∴R＝. 6．4 解析　由切割線定理得：DBDA＝DC2，即DB(DB＋BA)＝DC2，∴DB2＋3DB－28＝0，∴DB＝4. 7. 解析　設(shè)BE＝a，則AF＝4a，F(xiàn)B＝2a. ∵AFFB＝DFFC，∴8a2＝2，∴a＝， ∴AF＝2，F(xiàn)B＝1，BE＝，∴AE＝. 又∵CE為圓的切線，∴CE2＝EBEA＝＝. ∴CE＝. 8. 解析　∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD， ∴△PCB∽△PAD.∴＝＝. ∵＝，＝，∴＝. 9. 解　過B點(diǎn)作BE∥AC交圓于點(diǎn)E，連接AE，BO并延長(zhǎng)交AE于F， 由題意∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，(2分) 又BE∥AC，∴∠CAB＝∠ABE，則AB＝AC知，∠ABC＝∠ACB＝∠AEB＝∠BAE，(4分) 則AE∥BC，四邊形ACBE為平行四邊形． ∴BF⊥AE.又BC2＝CDAC＝2， ∴BC＝，BF＝＝.(8分) 設(shè)OF＝x，則 解得r＝.(11分) 10．證明　由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，(3分) 故A、B、C、D四點(diǎn)共圓，(5分) 從而∠CAB＝∠CDB.(7分) 再由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA， 因此∠DBA＝∠CDB，(10分) 所以AB∥CD.(12分) 11. 證明　如圖，連接AO1并延長(zhǎng)，分別交兩圓于點(diǎn)E和點(diǎn)D.連接BD，CE.因?yàn)閳AO1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A，所以點(diǎn)O2在AD上，故AD，AE分別為圓O1，圓O2的直徑．(5分) 從而∠ABD＝∠ACE＝.(7分) 所以BD∥CE，于是＝＝＝.(10分) 所以AB∶AC為定值．(12分) 12