第二章　2.3　 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 2.3.3 平面向量的坐標(biāo)運算 A級　基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1．已知＝(2,3)，則點N位于(　D　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．不確定 [解析]　因為點M的位置不確定，則點N的位置也不確定． 2．設(shè)A(1,2)，B(4,3)，若向量a＝(x＋y，x－y)與相等，則(　C　) A．x＝1，y＝2 B．x＝1，y＝1 C．x＝2，y＝1 D．x＝2，y＝2 [解析]?。?3,1)與a＝(x＋y，x－y)相等，則.∴x＝2，y＝1． 3．向量＝(2x，x－1)，O為坐標(biāo)原點，則點A在第四象限時，x的取值范圍是(　D　) A．x>0 B．x<1 C．x<0或x>1 D．0<x<1 [解析]　由A點在第四象限，所以，解得0<x<1． 4．已知向量a，b滿足a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，則a，b的坐標(biāo)分別為(　C　) A．(4,0)，(－2,6) B．(－2,6)，(4,0) C．(2,0)，(－1,3) D．(－1,3)，(2,0) [解析]　2a＝(a＋b)＋(a－b)＝(4,0)，于是a＝(2,0)，所以b＝(－1,3)． 5．已知＝a，且A，B，又λ＝，則λa等于(　A　) A． B． C． D． [解析]　a＝＝－ ＝，λa＝a＝，故選A． 6．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，若c＝ka＋lb，則k、l的值為(　D　) A．－2,3 B．－2，－3 C．2，－3 D．2,3 [解析]　利用相等向量的定義求解． ∵a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)， ∴(11,7)＝k(1,2)＋l(3,1)， 即，解得：k＝2，l＝3． 二、填空題 7．若O(0,0)、A(1,2)且＝2，則A′的坐標(biāo)為__(2,4)__． [解析]　A′(x，y)，＝(x，y)，＝(1,2)，∴(x，y)＝2(1,2)＝(2,4)． 8．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若＝(2,4)，＝(1,3)，則＝__(－3，－5)__． [解析]　∵＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)． 三、解答題 9．已知O是坐標(biāo)原點，點A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60． (1)求向量的坐標(biāo)． (2)若B(，－1)，求的坐標(biāo)． [解析]　(1)設(shè)點A(x，y)，則x＝4cos60＝2，y＝4sin60＝6，即A(2，6)， ＝(2，6)． (2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7)． 10．已知點O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t． (1)t為何值時，點P在x軸上？點P在y軸上？點P在第二象限？ (2)四邊形OABP能成為平行四邊形嗎？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請說明理由． [解析]　(1)＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)． 若點P在x軸上，則2＋3t＝0?t＝－； 若點P在y軸上，則1＋3t＝0?t＝－； 若點P在第二象限，則 解得－<t<－． (2)＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)． 若四邊形OABP為平行四邊形，需＝， 于是此方程組無解． 故四邊形OABP不能成為平行四邊形． B級　素養(yǎng)提升 一、選擇題 1．若向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，則向量a＋b滿足(　C　) A．平行于x軸 B．平行于第一、三象限角的平分線 C．平行于y軸 D．平行于第二、四象限角的平分線 [解析]　∵a＋b＝(0，x2＋1)， ∴向量a＋b滿足平行于y軸． 2．已知i、j分別是方向與x軸正方向、y軸正方向相同的單位向量，O為原點，設(shè)＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，則點A位于(　D　) A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 [解析]　∵x2＋x＋1>0，－(x2－x＋1)<0，∴點A位于第四象限，故選D． 3．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量d為(　D　) A．(2,6) B．(－2,6) C．(2，－6) D．(－2，－6) [解析]　由題意，得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0， 則d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a－4b＋4c＝(－2，－6)． 4．在△ABC中，已知A(2,3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中線AD上一點，且||＝2||，那么點C的坐標(biāo)為(　C　) A．(－4,2) B．(－4，－2) C．(4，－2) D．(4,2) [解析]　由題意，知點G是△ABC的重心，設(shè)C(x，y)，則有解得故C(4，－2)． 二、填空題 5．已知兩點M(3，－2)，N(－5，－1)，點P滿足＝，則點P的坐標(biāo)是　(－1，－)　． [解析]　設(shè)P(x，y)，則＝(x－3，y＋2)， ＝(－8,1)． ∵＝，∴(x－3，y＋2)＝(－8,1)． 即，解得，∴P(－1，－)． 6．設(shè)向量繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得向量，且2＋＝(7,9)，且向量＝　　． [解析]　設(shè)＝(m，n)，則＝(－n，m)，所以2＋＝(2m－n,2n＋m)＝(7,9)，即 解得因此，＝． 三、解答題 7．已知點A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)及＝＋λ(λ∈R)． (1)λ為何值時，點P在第一、三象限的角平分線上？ (2)若點P在第三象限內(nèi)，求λ的取值范圍． (3)四邊形ABCD能成為平行四邊形嗎？若能，求出相應(yīng)的λ的值；若不能，請說明理由． [解析]　設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(x－2，y－3)，＝(3,1)，＝(5,7)． ∵＝＋λ， ∴(x－2，y－3)＝(3,1)＋λ(5,7)， 即 ∴P(5λ＋5,7λ＋4)． (1)當(dāng)點P在第一、三象限的角平分線上時，由5λ＋5＝7λ＋4得λ＝． (2)當(dāng)點P在第三象限時，由得λ<－1． (3)＝(3,1)，＝(2－5λ，6－7λ)． 若四邊形ABCP為平行四邊形，需＝， 于是方程組無解，故四邊形ABCP不能成為平行四邊形． 8．已知點A(－1,2)，B(2,8)，及＝，＝－，求點C、D和的坐標(biāo)． [解析]　設(shè)點C、D的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 則＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)， ＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)． ∵＝，＝－， ∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)， (－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)， 即(x1＋1，y1－2)＝(1,2)，(－1－x2,2－y2)＝(1,2)． ∴∴ ∴點C、D的坐標(biāo)分別為(0,4)和(－2,0)． 因此＝(－2，－4)． C級　能力拔高 已知向量u＝(x，y)與向量ν＝(y,2y－x)的對應(yīng)關(guān)系用ν＝f(u)表示． (1)求證：對于任意向量a、b及常數(shù)m、n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立； (2)設(shè)a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐標(biāo)； (3)求使f(c)＝(p，q)(p、q為常數(shù))的向量c的坐標(biāo)． [解析]　(1)證明：設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，∴f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，mf(a)＋nf(b)＝m(a2,2a2－a1)＋n(b2,2b2－b1)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)． ∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立． (2)f(a)＝(1,21－1)＝(1,1)，f(b)＝(0,20－1)＝(0，－1)． (3)設(shè)c＝(x，y)，則f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)． ∴y＝p,2y－x＝q.∴x＝2p－q． ∴向量c＝(2p－q，p)． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375