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高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程學業(yè)質量標準檢測 新人教A版選修11

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高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程學業(yè)質量標準檢測 新人教A版選修11

第二章 圓錐曲線與方程 時間120分鐘,滿分150分。 一、選擇題(本大題共12個小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.雙曲線x2-5y2=5的焦距為( B ) A.   B.2  C.2  D.4 [解析] 雙曲線方程化為標準方程為-y2=1,∴a2=5,b2=1,c2=a2+b2=6,∴c=.∴焦距為2c=2. 2.頂點在原點,且過點(-4,4)的拋物線的標準方程是( C ) A.y2=-4x B.x2=4y C.y2=-4x或x2=4y D.y2=4x或x2=-4y [解析] ∵拋物線過點(-4,4), ∴設其方程為:y2=-2px或x2=2py(p>0),將(-4,4)代入可得p=2,∴拋物線方程為y2=-4x或x2=4y. 3.若橢圓+=1(m>0)的一個焦點坐標為(1,0),則m的值為( D ) A.5 B.3 C.2 D.2 [解析] 由題意得9-m2=1,∴m2=8,又m>0,∴m=2. 4.3<m<5是方程+=1表示的圖形為雙曲線的( A ) A.充分但非必要條件 B.必要但非充分條件 C.充分必要條件 D.既非充分又非必要條件 [解析] 當3<m<5時,m-5<0,m2-m-6>0, ∴方程+=1表示雙曲線. 若方程+=1表示雙曲線,則 (m-5)(m2-m-6)<0, ∴m<-2或3<m<5,故選A. 5.已知雙曲線-=1的右焦點為(3,0),則該雙曲線的離心率等于( C ) A. B. C. D. [解析] 由條件知,a2+5=9,∴a2=4,∴e==. 6.如果點P(2,y0)在以點F為焦點的拋物線y2=4x上,則|PF|=( C ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 根據(jù)拋物線的定義點P到點F的距離等于點P到其準線x=-1的距離d=|2-(-1)|=3,故C正確. 7.雙曲線-=1與橢圓+=1(a>0,m>b>0)的離心率互為倒數(shù),那么以a、b、m為邊長的三角形一定是( B ) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形 [解析] 雙曲線的離心率e1=,橢圓的離心率e2=,由=1得a2+b2=m2,故為直角三角形. 8.(2015全國卷Ⅰ文)已知橢圓E的中心在坐標原點,離心率為,E的右焦點與拋物線C:y2=8x的焦點重合,A,B是C的準線與E的兩個交點,則|AB|=( B ) A.3 B.6 C.9 D.12 [解析] 如圖: ∵拋物線y2=8x的焦點為(2,0), ∴橢圓E的右焦點為(2,0),∴c=2, ∵=,∴a=4, ∴b2=a2-c2=12. ∵拋物線的準線為x=-2, ∴|AB|===6. 9.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3)在拋物線上,且2x2=x1+x3,則有( C ) A.|FP1|+|FP2|=|FP3| B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2 C.2|FP2|=|FP1|+|FP3| D.|FP2|2=|FP1||FP3| [解析] ∵2x2=x1+x3, ∴2(x2+)=(x1+)+(x2+), ∴2|FP2|=|FP1|+|FP3|,故選C. 10.(2016山東濟寧高二檢測)已知F1、F2是橢圓+=1的兩焦點,過點F2的直線交橢圓于A、B兩點.在△AF1B中,若有兩邊之和是10,則第三邊的長度為( A ) A.6 B.5 C.4 D.3 [解析] 由橢圓方程可知,a2=16,∴a=4. 在△ AF1B中,由橢圓定義可知周長為4a=16,若有兩邊之和是10,∴第三邊的長度為6. 11.已知動圓P過定點A(-3,0),并且與定圓B:(x-3)2+y2=64內切,則動圓的圓心P的軌跡是( D ) A.線段 B.直線 C.圓 D.橢圓 [解析] 如下圖,設動圓P和定圓B內切于M,則動圓的圓心P到兩點,即定點A(-3,0)和定圓的圓心B(3,0)的距離之和恰好等于定圓半徑,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8.∴點P的軌跡是以A、B為焦點的橢圓,故選D. 12.若直線mx+ny=4與圓O:x2+y2=4沒有交點,則過點P(m,n)的直線與橢圓+=1的交點個數(shù)為( B ) A.至多一個 B.2 C.1 D.0 [解析] ∵直線與圓無交點,∴>2, ∴m2+n2<4,∴點P在⊙O內部, 又⊙O在橢圓內部,∴點P在橢圓內部, ∴過點P的直線與橢圓有兩個交點. 二、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分,將正確答案填在題中橫線上) 13.(2016廣東河源市高二檢測)拋物線x2=4y上一點P到焦點的距離為3,則點P到y(tǒng)軸的距離為__2__. [解析] 如圖所示,F(xiàn)為拋物線x2=4y的焦點,直線y=-1為其準線,過點P作準線的垂線,垂足為A且交x軸于點B. ∵|PF|=3,∴|PA|=3,∴|PB|=2. 14.已知長方形ABCD,AB=4,BC=3,則以A、B為焦點,且過C、D兩點的橢圓的離心率為  . [解析] ∵AB=2c=4,∴c=2. 又AC+CB=5+3=8=2a,∴a=4. ∴橢圓離心率為=. 15.(2017山東文,15)在平面直角坐標系xOy中,雙曲線-=1(a>0,b>0)的右支與焦點為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點.若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為 y=x . [解析] 設A(x1,y1),B(x2,y2). 由 得a2y2-2pb2y+a2b2=0, ∴y1+y2=. 又∵|AF|+|BF|=4|OF|, ∴y1++y2+=4, 即y1+y2=p, ∴=p, 即=, ∴=, ∴雙曲線的漸近線方程為y=x. 16.(2016山東青島高二檢測)設拋物線C:y2=2x的焦點為F,直線l過F與C交于A、B兩點,若|AF|=3|BF|,則l的方程為 y=(x-) . [解析] 由題意得,拋物線y2=2x的焦點F(,0).設l:y=k(x-),A(x1,y2)、B(x2,y2),則由|AF|=3|BF|得x1+=3(x2+),即x1=3x2+1;聯(lián)立, 得k2x2-(k2+2)x+k2=0,則x1x2=x2(3x2+1)=,解得x2=,又x1+x2=4x2+1=1+,即k2=3,k=,即直線l的方程為y=(x-). 三、解答題(本大題共6個小題,共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17.(本題滿分10分)求下列雙曲線的標準方程. (1)與雙曲線-=1有公共焦點,且過點(3,2)的雙曲線; (2)以橢圓3x2+13y2=39的焦點為焦點,以直線y=為漸近線的雙曲線. [解析] (1)∵雙曲線-=1的焦點為(2,0), ∴設所求雙曲線方程為:-=1(20-a2>0) 又點(3,2)在雙曲線上, ∴-=1,解得a2=12或30(舍去), ∴所求雙曲線方程為-=1. (2)橢圓3x2+13y2=39可化為+=1, 其焦點坐標為(,0), ∴所求雙曲線的焦點為(,0), 設雙曲線方程為:-=1(a>0,b>0) ∵雙曲線的漸近線為y=x, ∴=,∴===,∴a2=8,b2=2, 即所求的雙曲線方程為:-=1. 18.(本題滿分12分)根據(jù)下列條件求拋物線的標準方程: (1)已知拋物線的焦點坐標是F(0,-2); (2)焦點在x軸負半軸上,焦點到準線的距離是5. [解析] (1)因為拋物線的焦點在y軸的負半軸上,且-=-2,所以p=4,所以,所求拋物線的標準方程是x2=-8y. (2)由焦點到準線的距離為5,知p=5,又焦點在x軸負半軸上,所以,所求拋物線的標準方程是y2=-10x. 19.(本題滿分12分)已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點,斜率為2的直線交拋物線于A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1<x2)兩點,且|AB|=9. (1)求該拋物線的方程; (2)O為坐標原點,C為拋物線上一點,若=+λ,求λ的值. [解析] (1)直線AB的方程是y=2(x-),與y2=2px聯(lián)立,從而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=. 由拋物線定義得:|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4,從而拋物線方程是y2=8x. (2)由p=4,4x2-5px+p2=0可簡化為x2-5x+4=0, 從而x1=1、x2=4,y1=-2、y2=4, 從而A(1,-2)、B(4,4). 設=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2), 又y=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1), 即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2. 20.(本題滿分12分)已知橢圓+=1(a>b>0)經(jīng)過點P(,1),離心率e=,直線l與橢圓交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點,向量m=(ax1,by1)、n=(ax2,by2),且m⊥n. (1)求橢圓的方程; (2)當直線l過橢圓的焦點F(0,c)(c為半焦距)時,求直線l的斜率k. [解析] (1)由條件知,解之得. ∴橢圓的方程為+x2=1. (2)依題意,設l的方程為y=kx+, 由,消去y得(k2+4)x2+2kx-1=0, 顯然Δ>0, x1+x2=,x1x2=,由已知mn=0得, a2x1x2+b2y1y2=4x1x2+(kx1+)(kx2+)=(4+k2)x1x2+k(x1+x2)+3=(k2+4)(-)+k+3=0,解得k=. 21.(本題滿分12分)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,過點A(0,-b)和B(a,0)的直線與原點的距離為. (1)求雙曲線C的方程; (2)直線y=kx+m(km≠0)與該雙曲線C交于不同的兩點C、D,且C、D兩點都在以點A為圓心的同一圓上,求m的取值范圍. [解析] (1)依題意, 解得a2=3,b2=1. 所以雙曲線C的方程為-y2=1. (2)由,消去y得, (1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0, 由已知:1-3k2≠0且Δ=12(m2+1-3k2)>0?m2+1>3k2① 設C(x1,y1)、D(x2,y2),CD的中點P(x0,y0), 則x0==, y0=kx0+m=,因為AP⊥CD, 所以kAP===-, 整理得3k2=4m+1② 聯(lián)立①②得m2-4m>0, 所以m<0或m>4,又3k2=4m+1>0, 所以m>-,因此-<m<0或m>4. 22.(本題滿分12分)(2017山東文,21)在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,橢圓C截直線y=1所得線段的長度為2. (1)求橢圓C的方程; (2)動直線l:y=kx+m(m≠0)交橢圓C于A,B兩點,交y軸于點M.點N是M關于O的對稱點,⊙N的半徑為|NO|.設D為AB的中點,DE,DF與⊙N分別相切于點E,F(xiàn),求∠EDF的最小值. [解析] (1)由橢圓的離心率為, 得a2=2(a2-b2), 又當y=1時,x2=a2-, 得a2-=2, 所以a2=4,b2=2. 因此橢圓方程為+=1. (2)設A(x1,y1),B(x2,y2). 聯(lián)立方程,得 得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0. 由Δ>0得m2<4k2+2,(*) 且x1+x2=-, 因此y1+y2=, 所以D(-,). 又N(0,-m), 所以|ND|2=(-)2+(+m)2, 整理得|ND|2=. 因為|NF|=|m|, 所以==1+. 令t=8k2+3,t≥3, 故2k2+1=. 所以=1+=1+. 令y=t+, 由函數(shù)單調性可知y=t+在[3,+∞)上單調遞增, 因此t+≥, 等號當且僅當t=3時成立,此時k=0, 所以≤1+3=4. 由(*)得-<m<且m≠0, 故≥. 設∠EDF=2θ,則sin θ=≥, 所以θ的最小值為, 從而∠EDF的最小值為, 此時直線l的斜率是0. 綜上所述,當k=0,m∈(-,0)∪(0,)時,∠EDF取到最小值. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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