第二章　圓錐曲線與方程 時間120分鐘，滿分150分。 一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．雙曲線x2－5y2＝5的焦距為(　B　) A．　　 B．2　 C．2　 D．4 [解析]　雙曲線方程化為標準方程為－y2＝1，∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2＋b2＝6，∴c＝.∴焦距為2c＝2. 2．頂點在原點，且過點(－4,4)的拋物線的標準方程是(　C　) A．y2＝－4x B．x2＝4y C．y2＝－4x或x2＝4y D．y2＝4x或x2＝－4y [解析]　∵拋物線過點(－4,4)， ∴設其方程為：y2＝－2px或x2＝2py(p>0)，將(－4,4)代入可得p＝2，∴拋物線方程為y2＝－4x或x2＝4y. 3．若橢圓＋＝1(m>0)的一個焦點坐標為(1,0)，則m的值為(　D　) A．5 B．3 C．2 D．2 [解析]　由題意得9－m2＝1，∴m2＝8，又m>0，∴m＝2. 4．3<m<5是方程＋＝1表示的圖形為雙曲線的(　A　) A．充分但非必要條件 B．必要但非充分條件 C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件 [解析]　當3<m<5時，m－5<0，m2－m－6>0， ∴方程＋＝1表示雙曲線． 若方程＋＝1表示雙曲線，則 (m－5)(m2－m－6)<0， ∴m<－2或3<m<5，故選A． 5．已知雙曲線－＝1的右焦點為(3,0)，則該雙曲線的離心率等于(　C　) A． B． C． D． [解析]　由條件知，a2＋5＝9，∴a2＝4，∴e＝＝. 6．如果點P(2，y0)在以點F為焦點的拋物線y2＝4x上，則|PF|＝(　C　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　根據(jù)拋物線的定義點P到點F的距離等于點P到其準線x＝－1的距離d＝|2－(－1)|＝3，故C正確． 7．雙曲線－＝1與橢圓＋＝1(a>0，m>b>0)的離心率互為倒數(shù)，那么以a、b、m為邊長的三角形一定是(　B　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形 [解析]　雙曲線的離心率e1＝，橢圓的離心率e2＝，由＝1得a2＋b2＝m2，故為直角三角形． 8．(2015全國卷Ⅰ文)已知橢圓E的中心在坐標原點，離心率為，E的右焦點與拋物線C：y2＝8x的焦點重合，A，B是C的準線與E的兩個交點，則|AB|＝(　B　) A．3 B．6 C．9 D．12 [解析]　如圖： ∵拋物線y2＝8x的焦點為(2,0)， ∴橢圓E的右焦點為(2,0)，∴c＝2， ∵＝，∴a＝4， ∴b2＝a2－c2＝12. ∵拋物線的準線為x＝－2， ∴|AB|＝＝＝6. 9．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2＝x1＋x3，則有(　C　) A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1||FP3| [解析]　∵2x2＝x1＋x3， ∴2(x2＋)＝(x1＋)＋(x2＋)， ∴2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|，故選C． 10．(2016山東濟寧高二檢測)已知F1、F2是橢圓＋＝1的兩焦點，過點F2的直線交橢圓于A、B兩點．在△AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長度為(　A　) A．6 B．5 C．4 D．3 [解析]　由橢圓方程可知，a2＝16，∴a＝4. 在△ AF1B中，由橢圓定義可知周長為4a＝16，若有兩邊之和是10，∴第三邊的長度為6. 11．已知動圓P過定點A(－3,0)，并且與定圓B：(x－3)2＋y2＝64內切，則動圓的圓心P的軌跡是(　D　) A．線段 B．直線 C．圓 D．橢圓 [解析]　如下圖，設動圓P和定圓B內切于M，則動圓的圓心P到兩點，即定點A(－3,0)和定圓的圓心B(3,0)的距離之和恰好等于定圓半徑，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8.∴點P的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，故選D． 12．若直線mx＋ny＝4與圓O：x2＋y2＝4沒有交點，則過點P(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點個數(shù)為(　B　) A．至多一個 B．2 C．1 D．0 [解析]　∵直線與圓無交點，∴>2， ∴m2＋n2<4，∴點P在⊙O內部， 又⊙O在橢圓內部，∴點P在橢圓內部， ∴過點P的直線與橢圓有兩個交點． 二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，將正確答案填在題中橫線上) 13．(2016廣東河源市高二檢測)拋物線x2＝4y上一點P到焦點的距離為3，則點P到y(tǒng)軸的距離為__2__. [解析]　如圖所示，F(xiàn)為拋物線x2＝4y的焦點，直線y＝－1為其準線，過點P作準線的垂線，垂足為A且交x軸于點B． ∵|PF|＝3，∴|PA|＝3，∴|PB|＝2. 14．已知長方形ABCD，AB＝4，BC＝3，則以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的離心率為　　. [解析]　∵AB＝2c＝4，∴c＝2. 又AC＋CB＝5＋3＝8＝2a，∴a＝4. ∴橢圓離心率為＝. 15．(2017山東文，15)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右支與焦點為F的拋物線x2＝2py(p>0)交于A，B兩點．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為　y＝x　. [解析]　設A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由 得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0， ∴y1＋y2＝. 又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|， ∴y1＋＋y2＋＝4， 即y1＋y2＝p， ∴＝p， 即＝， ∴＝， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝x. 16．(2016山東青島高二檢測)設拋物線C：y2＝2x的焦點為F，直線l過F與C交于A、B兩點，若|AF|＝3|BF|，則l的方程為　y＝(x－)　. [解析]　由題意得，拋物線y2＝2x的焦點F(，0)．設l：y＝k(x－)，A(x1，y2)、B(x2，y2)，則由|AF|＝3|BF|得x1＋＝3(x2＋)，即x1＝3x2＋1；聯(lián)立， 得k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，則x1x2＝x2(3x2＋1)＝，解得x2＝，又x1＋x2＝4x2＋1＝1＋，即k2＝3，k＝，即直線l的方程為y＝(x－)． 三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本題滿分10分)求下列雙曲線的標準方程． (1)與雙曲線－＝1有公共焦點，且過點(3，2)的雙曲線； (2)以橢圓3x2＋13y2＝39的焦點為焦點，以直線y＝為漸近線的雙曲線. [解析]　(1)∵雙曲線－＝1的焦點為(2，0)， ∴設所求雙曲線方程為：－＝1(20－a2>0) 又點(3，2)在雙曲線上， ∴－＝1，解得a2＝12或30(舍去)， ∴所求雙曲線方程為－＝1. (2)橢圓3x2＋13y2＝39可化為＋＝1， 其焦點坐標為(，0)， ∴所求雙曲線的焦點為(，0)， 設雙曲線方程為：－＝1(a>0，b>0) ∵雙曲線的漸近線為y＝x， ∴＝，∴＝＝＝，∴a2＝8，b2＝2， 即所求的雙曲線方程為：－＝1. 18．(本題滿分12分)根據(jù)下列條件求拋物線的標準方程： (1)已知拋物線的焦點坐標是F(0，－2)； (2)焦點在x軸負半軸上，焦點到準線的距離是5. [解析]　(1)因為拋物線的焦點在y軸的負半軸上，且－＝－2，所以p＝4，所以，所求拋物線的標準方程是x2＝－8y. (2)由焦點到準線的距離為5，知p＝5，又焦點在x軸負半軸上，所以，所求拋物線的標準方程是y2＝－10x. 19．(本題滿分12分)已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)(x1<x2)兩點，且|AB|＝9. (1)求該拋物線的方程； (2)O為坐標原點，C為拋物線上一點，若＝＋λ，求λ的值. [解析]　(1)直線AB的方程是y＝2(x－)，與y2＝2px聯(lián)立，從而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝. 由拋物線定義得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，從而拋物線方程是y2＝8x. (2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可簡化為x2－5x＋4＝0， 從而x1＝1、x2＝4，y1＝－2、y2＝4， 從而A(1，－2)、B(4,4)． 設＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1，4λ－2)， 又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2. 20．(本題滿分12分)已知橢圓＋＝1(a>b>0)經(jīng)過點P(，1)，離心率e＝，直線l與橢圓交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，向量m＝(ax1，by1)、n＝(ax2，by2)，且m⊥n. (1)求橢圓的方程； (2)當直線l過橢圓的焦點F(0，c)(c為半焦距)時，求直線l的斜率k. [解析]　(1)由條件知，解之得. ∴橢圓的方程為＋x2＝1. (2)依題意，設l的方程為y＝kx＋， 由，消去y得(k2＋4)x2＋2kx－1＝0， 顯然Δ>0， x1＋x2＝，x1x2＝，由已知mn＝0得， a2x1x2＋b2y1y2＝4x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝(4＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋3＝(k2＋4)(－)＋k＋3＝0，解得k＝. 21．(本題滿分12分)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，過點A(0，－b)和B(a,0)的直線與原點的距離為. (1)求雙曲線C的方程； (2)直線y＝kx＋m(km≠0)與該雙曲線C交于不同的兩點C、D，且C、D兩點都在以點A為圓心的同一圓上，求m的取值范圍． [解析]　(1)依題意， 解得a2＝3，b2＝1. 所以雙曲線C的方程為－y2＝1. (2)由，消去y得， (1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0， 由已知：1－3k2≠0且Δ＝12(m2＋1－3k2)>0?m2＋1>3k2① 設C(x1，y1)、D(x2，y2)，CD的中點P(x0，y0)， 則x0＝＝， y0＝kx0＋m＝，因為AP⊥CD， 所以kAP＝＝＝－， 整理得3k2＝4m＋1② 聯(lián)立①②得m2－4m>0， 所以m<0或m>4，又3k2＝4m＋1>0， 所以m>－，因此－<m<0或m>4. 22．(本題滿分12分)(2017山東文，21)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，橢圓C截直線y＝1所得線段的長度為2. (1)求橢圓C的方程； (2)動直線l：y＝kx＋m(m≠0)交橢圓C于A，B兩點，交y軸于點M.點N是M關于O的對稱點，⊙N的半徑為|NO|.設D為AB的中點，DE，DF與⊙N分別相切于點E，F(xiàn)，求∠EDF的最小值． [解析]　(1)由橢圓的離心率為， 得a2＝2(a2－b2)， 又當y＝1時，x2＝a2－， 得a2－＝2， 所以a2＝4，b2＝2. 因此橢圓方程為＋＝1. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)． 聯(lián)立方程，得 得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－4＝0. 由Δ>0得m2<4k2＋2，(*) 且x1＋x2＝－， 因此y1＋y2＝， 所以D(－，)． 又N(0，－m)， 所以|ND|2＝(－)2＋(＋m)2， 整理得|ND|2＝. 因為|NF|＝|m|， 所以＝＝1＋. 令t＝8k2＋3，t≥3， 故2k2＋1＝. 所以＝1＋＝1＋. 令y＝t＋， 由函數(shù)單調性可知y＝t＋在[3，＋∞)上單調遞增， 因此t＋≥， 等號當且僅當t＝3時成立，此時k＝0， 所以≤1＋3＝4. 由(*)得－<m<且m≠0， 故≥. 設∠EDF＝2θ，則sin θ＝≥， 所以θ的最小值為， 從而∠EDF的最小值為， 此時直線l的斜率是0. 綜上所述，當k＝0，m∈(－，0)∪(0，)時，∠EDF取到最小值. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375