考點規(guī)范練51　用樣本估計總體 一、基礎(chǔ)鞏固 1.(2018貴州黔東南一模改編)如圖統(tǒng)計了黔東南州從2010年到2017年的旅游總?cè)藬?shù)(單位:萬人次)的變化情況,從一個側(cè)面展示了大美黔東南的魅力所在.根據(jù)這個圖表,在下列給出的黔東南州從2010年到2017年的旅游總?cè)藬?shù)的四個判斷中,錯誤的是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.旅游總?cè)藬?shù)逐年增加 B.2017年旅游總?cè)藬?shù)超過2015,2016兩年的旅游總?cè)藬?shù)的和 C.年份與旅游總?cè)藬?shù)成正相關(guān) D.從2014年起,旅游總?cè)藬?shù)增長加快 答案B 解析從圖表中看出,旅游總?cè)藬?shù)逐年增加是正確的;年份與旅游總?cè)藬?shù)成正相關(guān),是正確的;從2014年起旅游總?cè)藬?shù)增長加快是正確的;選項B明顯錯誤,故選B. 2. 某中學(xué)高三(2)班甲、乙兩名學(xué)生自高中以來每次考試成績的莖葉圖如圖,下列說法正確的是(　　) A.乙學(xué)生比甲學(xué)生發(fā)揮穩(wěn)定,且平均成績也比甲學(xué)生高 B.乙學(xué)生比甲學(xué)生發(fā)揮穩(wěn)定,但平均成績不如甲學(xué)生高 C.甲學(xué)生比乙學(xué)生發(fā)揮穩(wěn)定,且平均成績比乙學(xué)生高 D.甲學(xué)生比乙學(xué)生發(fā)揮穩(wěn)定,但平均成績不如乙學(xué)生高 答案A 3. 某儀器廠從新生產(chǎn)的一批零件中隨機(jī)抽取40個檢測,如圖是根據(jù)抽樣檢測后零件的質(zhì)量(單位:克)繪制的頻率分布直方圖,樣本數(shù)據(jù)分8組,分別為[80,82),[82,84),[84,86),[86,88),[88,90),[90,92),[92,94),[94,96],則樣本的中位數(shù)在(　　) A.第3組 B.第4組 C.第5組 D.第6組 答案B 解析由題圖可得,前第四組的頻率為(0.0375+0.0625+0.075+0.1)2=0.55, 則其頻數(shù)為400.55=22,且第四組的頻數(shù)為400.12=8,即中位數(shù)落在第4組,故選B. 4. 從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué),將他們的身高(單位:cm)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖).若要從身高在[120,130),[130,140),[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生中,用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動,則從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案B 解析依題意可得10(0.005+0.01+0.02+a+0.035)=1, 則a=0.03. 所以身高在[120,130),[130,140),[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)比例為3∶2∶1. 所以從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為 13+2+118=3. 5.某校甲、乙兩個班級各有5名編號為1,2,3,4,5的學(xué)生進(jìn)行投籃練習(xí),每人投10次,投中的次數(shù)如下表: 學(xué)生 1號 2號 3號 4號 5號 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個為s2,則s2=(　　) A.25 B.725 C.35 D.2 答案A 解析由題意,得x甲=6+7+7+8+75=7, x乙=6+7+6+7+95=7, s甲2=15[(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2]=25, s乙2=15[(6-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(9-7)2]=65, 所以兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個s2=25. 6.若數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為x,方差為s2,則2x1+3,2x2+3,…,2xn+3的平均數(shù)和方差分別為(　　) A.x和s2 B.2x+3和4s2 C.2x+3和s2 D.2x+3和4s2+12s+9 答案B 解析原數(shù)據(jù)乘以2加上3得到一組新數(shù)據(jù),則由平均數(shù)、方差的性質(zhì)可知得到的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差分別是2x+3和4s2. 7.容量為20的樣本數(shù)據(jù),分組后的頻數(shù)如下表: 分組 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] 頻數(shù) 2 3 4 5 4 2 則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為　　　　　. 答案0.45 解析樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻數(shù)為2+3+4=9,樣本容量是20,所以所求頻率為920=0.45. 8. 一個容量為200的樣本的頻率分布直方圖如圖,則樣本數(shù)據(jù)落在[5,9)內(nèi)的頻率和頻數(shù)分別為　　　　　. 答案0.2,40 解析由頻率=小長方形的面積=小長方形的高組距,可得樣本數(shù)據(jù)落在[5,9)內(nèi)的頻率為0.054=0.2.又頻率=頻數(shù)樣本容量,已知樣本容量為200,所以所求頻數(shù)為2000.2=40. 9.某地有甲、乙兩名航模運(yùn)動員參加了國家隊集訓(xùn),現(xiàn)分別從他們在集訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機(jī)抽取8次,記錄如下: 甲:82　81　79　78　95　88　93　84 乙:92　95　80　75　83　80　90　85 (1)畫出甲、乙兩名航模運(yùn)動員成績的莖葉圖,指出乙航模運(yùn)動員成績的中位數(shù); (2)現(xiàn)要從中派一人參加國際比賽,從平均成績和方差的角度考慮,你認(rèn)為派哪名航模運(yùn)動員參加合適?請說明理由. 解(1)莖葉圖如下. 乙航模運(yùn)動員成績的中位數(shù)為84. (2)派甲參加比較合適,理由如下: x甲=18(702+804+902+9+8+8+4+2+1+5+3)=85, x乙=18(701+804+903+5+3+5+2+5)=85, s甲2=18[(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(95-85)2+(93-85)2]=35.5, s乙2=18[(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2+(95-85)2]=41. 因為x甲=x乙,s甲2<s乙2, 所以甲的成績比較穩(wěn)定,派甲參加比較合適. 二、能力提升 10.若一組數(shù)據(jù)2,4,6,8的中位數(shù)、方差分別為m,n,且ma+nb=1(a>0,b>0),則1a+1b的最小值為(　　) A.6+23 B.4+35 C.9+45 D.20 答案D 解析∵數(shù)據(jù)2,4,6,8的中位數(shù)是5, 方差是14(9+1+1+9)=5,∴m=5,n=5. ∴ma+nb=5a+5b=1(a>0,b>0). ∴1a+1b(5a+5b)=52+ba+ab≥20(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立),故選D. 11. 某校進(jìn)行了一次創(chuàng)新作文大賽,共有100名同學(xué)參賽,經(jīng)過評判,這100名參賽者的得分都在[40,90]之間,其得分的頻率分布直方圖如圖,則下列結(jié)論錯誤的是(　　) A.得分在[40,60)之間的共有40人 B.從這100名參賽者中隨機(jī)抽取1人,其得分在[60,80)的概率為0.5 C.這100名參賽者得分的中位數(shù)為65 D.估計得分的眾數(shù)為55 答案C 解析根據(jù)頻率和為1,得(a+0.035+0.030+0.020+0.010)10=1,解得a=0.005,則得分在[40,60)的頻率是0.40,得分在[40,60)之間的有1000.40=40(人),故A正確;得分在[60,80)的頻率為0.5,用頻率估計概率,知從這100名參賽者中隨機(jī)抽取1人,得分在[60,80)的概率為0.5,故B正確;根據(jù)頻率分布直方圖知,最高的小矩形對應(yīng)的底邊中點為50+602=55,則估計得分的眾數(shù)為55,故D正確. 12.樣本(x1,x2,…,xn)的平均數(shù)為x,樣本(y1,y2,…,ym)的平均數(shù)為y(x≠y),若樣本(x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym)的平均數(shù)z=αx+(1-α)y,其中0<α<12,則n,m的大小關(guān)系為(　　) A.n<m B.n>m C.n=m D.不能確定 答案A 解析由題意知樣本(x1,…,xn,y1,…,ym)的平均數(shù)為z=nx+mym+n=nm+nx+mm+ny.又z=αx+(1-α)y,即α=nm+n,1-α=mm+n. 因為0<α<12,所以0<nm+n<12,即2n<m+n, 所以n<m,故選A. 13.在樣本的頻率分布直方圖中,共有4個小長方形,這4個小長方形的面積由小到大構(gòu)成等比數(shù)列{an}.已知a2=2a1,且樣本容量為300,則小長方形面積最大的一組的頻數(shù)為　　　　　. 答案160 解析∵小長方形的面積由小到大構(gòu)成等比數(shù)列{an},且a2=2a1, ∴樣本的頻率構(gòu)成一個等比數(shù)列,且公比為2, ∴a1+2a1+4a1+8a1=15a1=1,∴a1=115, ∴小長方形面積最大的一組的頻數(shù)為3008a1=160. 14. 某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績分組區(qū)間是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]. (1)求圖中a的值; (2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計這100名學(xué)生語文成績的平均分; (3)若這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(y)之比如下表所示,求數(shù)學(xué)成績在[50,90)之外的人數(shù). 分?jǐn)?shù)段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5 解(1)依題意,得10(2a+0.02+0.03+0.04)=1,解得a=0.005. (2)這100名學(xué)生語文成績的平均分為550.05+650.4+750.3+850.2+950.05=73(分). (3)數(shù)學(xué)成績在[50,60)的人數(shù)為1000.05=5, 數(shù)學(xué)成績在[60,70)的人數(shù)為1000.412=20, 數(shù)學(xué)成績在[70,80)的人數(shù)為1000.343=40, 數(shù)學(xué)成績在[80,90)的人數(shù)為1000.254=25, 所以數(shù)學(xué)成績在[50,90)之外的人數(shù)為100-5-20-40-25=10. 三、高考預(yù)測 15. 某學(xué)校隨機(jī)抽取20個班,調(diào)查各班有網(wǎng)上購物經(jīng)歷的人數(shù),所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示,以5為組距將數(shù)據(jù)分組成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]時,所作的頻率分布直方圖是(　　) 答案A 解析由組距可知選項C,D不對;由莖葉圖可知[0,5)有1人,[5,10)有1人,故第一、二小組頻率相同,頻率分布直方圖中矩形的高應(yīng)相等,可排除B.故選A.