單元質(zhì)量測試(五) 　　時(shí)間：120分鐘　　　滿分：150分 第Ⅰ卷　(選擇題，共60分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1．(2018南昌摸底)已知復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝2，i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的虛部為(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i 答案　B 解析　因?yàn)閦＝＝＝＝1－i，則復(fù)數(shù)z的虛部為－1，故選B． 2．(2018太原三模)已知復(fù)數(shù)z滿足iz＝，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　z＝＝＝＝＝－1－2i，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，故選C． 3．(2018大慶質(zhì)檢一)若m>n>0，p<q<0，則一定有(　　) A．> B．< C．> D．< 答案　B 解析　由m>n>0，p<q<0，可得|m|>|n|>0，|p|>|q|>0，所以<，而，，，均為負(fù)數(shù)，所以>．而與的大小則無法比較，故選B． 4．(2019青島模擬)已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，且z＋(1＋i)＝3－4i，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，故z＋(1＋i)＝a＋bi＋(a－bi)(1＋i)＝(2a＋b)＋ai＝3－4i，則a＝－4，b＝11，故z＝－4＋11i，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)為(－4，11)，位于第二象限．故選B． 5．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝(　　) A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) 答案　D 解析　由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)． 6．(2017浙江高考)若x，y滿足約束條件 則z＝x＋2y的取值范圍是(　　) A．[0，6] B．[0，4] C．[6，＋∞) D．[4，＋∞) 答案　D 解析　 不等式組形成的可行域如圖所示．平移直線y＝－x，當(dāng)直線過點(diǎn)A(2，1)時(shí)，z有最小值4．顯然z沒有最大值．故選D． 7．(2018長春質(zhì)檢)設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則(　　) A．＋有最大值4 B．有最小值 C．＋有最大值 D．a(chǎn)2＋b2有最小值 答案　C 解析　由于a>0，b>0，由基本不等式得1＝a＋b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立，∴≤，∴ab≤，＋＝＝≥4，因此＋的最小值為4，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－＝，(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋1＝2，所以＋有最大值．故選C． 8．(2018福建質(zhì)檢)程大位是明代著名數(shù)學(xué)家，他的《新編直指算法統(tǒng)宗》是中國歷史上一部影響巨大的著作．它問世后不久便風(fēng)行宇內(nèi)，成為明清之際研習(xí)數(shù)學(xué)者必讀的教材，而且傳到朝鮮、日本及東南亞地區(qū)，對推動(dòng)漢字文化圈的數(shù)學(xué)發(fā)展起到了重要的作用．卷八中第33問是：“今有三角果一垛，底闊每面七個(gè)．問該若干？”如圖是解決該問題的程序框圖．執(zhí)行該程序框圖，求得該垛果子的總數(shù)S為(　　) A．120 B．84 C．56 D．28 答案　B 解析　第一次循環(huán)，i＝0＋1＝1，n＝0＋1＝1，S＝0＋1＝1；i<7，第二次循環(huán)，i＝1＋1＝2，n＝1＋2＝3，S＝1＋3＝4；i<7，第三次循環(huán)，i＝2＋1＝3，n＝3＋3＝6，S＝4＋6＝10；i<7，第四次循環(huán)，i＝3＋1＝4，n＝6＋4＝10，S＝10＋10＝20；i<7，第五次循環(huán)，i＝4＋1＝5，n＝10＋5＝15，S＝20＋15＝35；i<7，第六次循環(huán)，i＝5＋1＝6，n＝15＋6＝21，S＝35＋21＝56；i<7，第七次循環(huán)，i＝6＋1＝7，n＝21＋7＝28，S＝56＋28＝84；i＝7，結(jié)束循環(huán)，輸出S＝84．故選B． 9．(2018湖北武漢調(diào)研)一名法官在審理一起珍寶盜竊案時(shí)，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下，甲說：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙說：“我沒有作案，是丙偷的”；丙說：“甲、乙兩人中有一人是小偷”；丁說：“乙說的是事實(shí)”．經(jīng)過調(diào)查核實(shí)，四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案　B 解析　由題可知，乙、丁兩人的觀點(diǎn)一致，即同真同假，假設(shè)乙、丁說的是真話，那么甲、丙兩人說的是假話，由乙說的是真話，推出丙是罪犯，由甲說假話，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，顯然兩個(gè)結(jié)論相互矛盾，所以乙、丁兩人說的是假話，而甲、丙兩人說的是真話，由甲、丙供述可得，乙是罪犯． 10．(2018山東濱州模擬)已知變量x，y滿足約束條件若z＝ax＋by(a>0，b>0)的最小值為2，則ab的最大值為(　　) A．1 B． C． D． 答案　D 解析　 作出不等式組滿足的可行域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)，故當(dāng)x，y均取最小值時(shí)，z取到最小值．即當(dāng)x＝2，y＝3時(shí)，z＝ax＋by取得最小值2，即2a＋3b＝2，所以2a3b≤＝1，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝3b＝1，即a＝，b＝時(shí)等號成立，所以(6ab)max＝1，即(ab)max＝． 11．(2018河南鄭州三模)中國有個(gè)名句“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外”．其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌，古代是用算籌來進(jìn)行計(jì)算，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進(jìn)行運(yùn)算，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式，如下表： 表示一個(gè)多位數(shù)時(shí)，像阿拉伯計(jì)數(shù)一樣，把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個(gè)位，百位，萬位數(shù)用縱式表示，十位，千位，十萬位用橫式表示，以此類推，例如6613用算籌表示就是：，則5288用算籌式可表示為(　　) 答案　C 解析　由題意可知，5288用算籌式表示，從左到右依次是橫式5，縱式2，橫式8，縱式8．故選C． 12．(2019邯鄲調(diào)研)若正數(shù)a，b滿足＋＝1，則＋的最小值為(　　) A．16 B．25 C．36 D．49 答案　A 解析　因?yàn)閍，b>0，＋＝1，所以a＋b＝ab，所以＋＝＝＝4b＋16a－20．又4b＋16a＝4(b＋4a)＝4(b＋4a)＝20＋4≥20＋42 ＝36，當(dāng)且僅當(dāng)＝且＋＝1，即a＝，b＝3時(shí)取等號．所以＋≥36－20＝16． 第Ⅱ卷　(非選擇題，共90分) 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．(2017天津高考)已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則a的值為________． 答案　－2 解析　因?yàn)椋剑綖閷?shí)數(shù)，所以－＝0，解得a＝－2． 14．(2018長春質(zhì)檢二)更相減損術(shù)是出自《九章算術(shù)》的一種算法，如圖所示的程序框圖是依據(jù)更相減損術(shù)寫出來的，若輸入a＝91，b＝39，則輸出a的值為________． 答案　13 解析　第一次循環(huán)得：a＝91－39＝52；第二次循環(huán)得：a＝52－39＝13；第三次循環(huán)得：b＝39－13＝26；第四次循環(huán)得：b＝26－13＝13，此時(shí)a＝b，所以輸出13． 15．(2018大慶質(zhì)檢一)若f(x)＝exln a＋e－xln b為奇函數(shù)，則＋的最小值為________． 答案　2 解析　由f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)為奇函數(shù)，則有f(0)＝ln a＋ln b＝0，即ab＝1．從而＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝，b＝時(shí)，取等號． 16．(2018豫南九校聯(lián)考)已知不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若對任意的(x，y)∈D，不等式t－4<x－2y＋6<t＋4恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________． 答案　(3，5) 解析　作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)．設(shè)z＝x－2y＋6，平移直線y＝x，可知z＝x－2y＋6在A(3，4)處取得最小值1，在C(1，0)處取得最大值7，所以解得3<t<5．故實(shí)數(shù)t的取值范圍是(3，5)． 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)已知復(fù)數(shù)z1滿足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1z2是實(shí)數(shù)，求z2． 解　由(z1－2)(1＋i)＝1－i，得z1－2＝， 即z1＝＋2＝＋2＝2－i． 設(shè)z2＝a＋2i(a∈R)， 則z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i． 又z1z2是實(shí)數(shù)， ∴4－a＝0，∴a＝4．∴z2＝4＋2i． 18．(2018湖南瀏陽調(diào)研)(本小題滿分12分)已知lg (3x)＋lg y＝lg (x＋y＋1)． (1)求xy的最小值； (2)求x＋y的最小值． 解　由lg (3x)＋lg y＝lg (x＋y＋1)， 得 (1)∵x>0，y>0，∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1． ∴3xy－2－1≥0，即3()2－2－1≥0． ∴(3＋1)(－1)≥0． ∴≥1，∴xy≥1．當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)，等號成立． ∴xy的最小值為1． (2)∵x>0，y>0，∴x＋y＋1＝3xy≤32． ∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0． ∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0．∴x＋y≥2． 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)取等號，∴x＋y的最小值為2． 19．(本小題滿分12分)關(guān)于x的不等式組 的整數(shù)解的集合為{－2}，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 解　不等式x2－x－2>0的解集是(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 不等式2x2＋(2k＋5)x＋5k<0， 即為(2x＋5)(x＋k)<0，(*) 當(dāng)－k＜－，即k＞時(shí)，(*)的解集是－k，－，此時(shí)－2不在不等式組的解集中，所以k>不符合題意； 當(dāng)－k＝－，即k＝時(shí)，(*)無解，也不符合題意； 當(dāng)－k＞－，即k<時(shí)，(*)的解集是－，－k． 要使不等式組的整數(shù)解的集合為{－2}， 借助數(shù)軸可得－2<－k≤3，解得－3≤k<2， 又k<，所以－3≤k<2． 綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是[－3，2)． 20．(本小題滿分12分)先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問題： 已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求證：a＋a≥． 證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2， 則f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a＋a＝2x2－2x＋a＋a， 因?yàn)閷σ磺衳∈R，恒有f(x)≥0， 所以Δ＝4－8(a＋a)≤0，從而得a＋a≥． (1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，請寫出上述結(jié)論的推廣式； (2)參考上述證法，對你推廣的結(jié)論加以證明． 解　(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1， 則a＋a＋…＋a≥． (2)證明：構(gòu)造函數(shù) f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2， 則f(x)＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a＝nx2－2x＋a＋a＋…＋a， 因?yàn)閷σ磺衳∈R，恒有f(x)≥0， 所以Δ＝4－4n(a＋a＋…＋a)≤0， 從而得a＋a＋…＋a≥． 21．(本小題滿分12分)首屆世界低碳經(jīng)濟(jì)大會(huì)在南昌召開，本屆大會(huì)以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題．某單位在國家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y＝x2－200x＋80000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元． (1)該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？ (2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損？ 解　(1)由題意可知，二氧化碳的每噸平均處理成本為 ＝x＋－200≥2－200 ＝200(400≤x≤600)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝， 即x＝400時(shí)等號成立． 故該單位每月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低，最低成本為200元． (2)不獲利．設(shè)該單位每月獲利為S，則 S＝100x－y ＝100x－ ＝－x2＋300x－80000 ＝－(x－300)2－35000． ∵400≤x≤600， ∴Smax＝－(400－300)2－35000＝－40000． 故該單位每月不獲利，需要國家每月至少補(bǔ)貼40000元才能不虧損． 22．(2018江蘇高考)(本小題滿分12分)設(shè){an}是首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列，{bn}是首項(xiàng)為b1，公比為q的等比數(shù)列． (1)設(shè)a1＝0，b1＝1，q＝2，若|an－bn|≤b1對n＝1，2，3，4均成立，求d的取值范圍； (2)若a1＝b1>0，m∈N*，q∈(1，]，證明：存在d∈R，使得|an－bn|≤b1對n＝2，3，…，m＋1均成立，并求d的取值范圍(用b1，m，q表示)． 解　(1)由條件知an＝(n－1)d，bn＝2n－1． 因?yàn)閨an－bn|≤b1對n＝1，2，3，4均成立， 即|(n－1)d－2n－1|≤1對n＝1，2，3，4均成立． 即1≤1，1≤d≤3，3≤2d≤5，7≤3d≤9， 得≤d≤． 因此，d的取值范圍為，． (2)由條件知：an＝b1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1． 若存在d∈R，使得|an－bn|≤b1(n＝2，3，…，m＋1)均成立， 即|b1＋(n－1)d－b1qn－1|≤b1(n＝2，3，…，m＋1)． 即當(dāng)n＝2，3，…，m＋1時(shí)， d滿足b1≤d≤b1． 因?yàn)閝∈(1，]， 所以1<qn－1≤qm≤2， 從而b1≤0，b1>0， 對n＝2，3，…，m＋1均成立． 因此，取d＝0時(shí)，|an－bn|≤b1對n＝2，3，…，m＋1均成立． 下面討論數(shù)列的最大值和數(shù)列的最小值(n＝2，3，…，m＋1)． ①當(dāng)2≤n≤m時(shí)，－ ＝ ＝， 當(dāng)1<q≤2時(shí)，有qn≤qm≤2， 從而n(qn－qn－1)－qn＋2>0． 因此，當(dāng)2≤n≤m＋1時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增， 故數(shù)列的最大值為． ②設(shè)f(x)＝2x(1－x)，當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)＝(ln 2－1－xln 2)2x<0． 所以f(x)單調(diào)遞減，從而f(x)<f(0)＝1． 當(dāng)2≤n≤m時(shí)， ＝≤21－＝f<1． 因此，當(dāng)2≤n≤m＋1時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減， 故數(shù)列的最小值為． 因此，d的取值范圍為，．