第三講 柯西不等式與排序不等式 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 滾動訓(xùn)練(三)(第三講～第四講) 一、選擇題 1．設(shè)a，b∈R＋且a＋b＝16，則＋的最小值是(　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　(a＋b)≥2＝4， ∴＋≥. 當(dāng)且僅當(dāng)＝， 即a＝b＝8時取等號． 2．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正數(shù)，則A與B的大小關(guān)系為(　　) A．A＞BB．A＜BC．A≥BD．A≤B 答案　C 解析　依數(shù)列{xn}的各項都是正數(shù)，不妨設(shè)0＜x1≤x2≤…≤xn，則x2，x3，…，xn，x1為數(shù)列{xn}的一個排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x＋x＋…＋x≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1. 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋22＋…＋2n＋1＝2n＋2－1(n∈N＋)的過程中，在驗證n＝1時，左端計算所得的項為(　　) A．1 B．1＋2 C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23 答案　C 解析　當(dāng)n＝1時，左端＝1＋2＋22，故選C. 4．已知x，y，z，a，b，c，k均為正數(shù)，且x2＋y2＋z2＝10，a2＋b2＋c2＝90，ax＋by＋cz＝30，a＋b＋c＝k(x＋y＋z)，則k等于(　　) A.B.C．9D．3 答案　D 解析　因為x2＋y2＋z2＝10，a2＋b2＋c2＝90，ax＋by＋cz＝30， 所以(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)＝(ax＋by＋cz)2， 又(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝＝k時，等號成立， 則a＝kx，b＝ky，c＝kz，代入a2＋b2＋c2＝90， 得k2(x2＋y2＋z2)＝90， 于是k＝3，故選D. 5．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋…＋＜(n≥2，n∈N＋)的過程中，由n＝k遞推到n＝k＋1不等式左邊(　　) A．增加了一項 B．增加了兩項， C．增加了B中兩項但減少了一項 D．以上各種情況均不對 答案　C 解析　∵n＝k(k≥2，k∈N＋)時，左邊＝＋＋…＋， n＝k＋1時，左邊＝＋＋…＋＋＋， ∴增加了兩項，，少了一項. 6．函數(shù)y＝5＋的最大值是(　　) A．6B．2C．5D．2 答案　D 解析　函數(shù)的定義域為[1,3]，且y＞0.由柯西不等式可得y＝5＋＝5＋≤＝2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝時，函數(shù)取得最大值2，故選D. 7．若2x＋3y＋5z＝29，則函數(shù)μ＝＋＋的最大值為(　　) A. B．2 C．2 D. 答案　C 解析　由柯西不等式可得(1＋1＋1)2≤(2x＋1＋3y＋4＋5z＋6)(12＋12＋12)，∵2x＋3y＋5z＝29， ∴(1＋1＋1)2≤120， ∴μ＝＋＋≤2， ∴μ＝＋＋的最大值為2.故選C. 二、填空題 8．已知a，b，c都是正數(shù)，且2a＋b＋c＝6，則a2＋ab＋ac＋bc的最大值為________． 答案　9 解析　∵a，b，c都是正數(shù)，∴a2＋ab＋ac＋bc＝(a＋b)(a＋c)≤2. ∵2a＋b＋c＝6，∴a2＋ab＋ac＋bc≤9， ∴a2＋ab＋ac＋bc的最大值為9. 9．已知兩組數(shù)1,2,3和45,25,30，若c1，c2，c3是45,25,30的一個排列，則c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________． 答案　220　180 解析　由排序不等式知順序和最大，反序和最小，故所求最大值為125＋230＋345＝220，最小值為145＋230＋325＝180. 10．已知實數(shù)x，y，z滿足2x＋y＋3z＝32，則的最小值為________． 答案　 解析　∵12＋22＋32＝14，由柯西不等式可得(22＋12＋32)[(x－1)2＋(y＋2)2＋z2]≥(2x－2＋y＋2＋3z)2＝322， ∴≥，當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時，等號成立， 即的最小值是. 11．已知a，b，c都是正數(shù)，a＋2b＋3c＝9，則＋＋的最小值為________． 答案　 解析　∵(a＋2b＋3c) ＝[()2＋()2＋()2]≥2＝1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝3b＝9c時取等號， 又a＋2b＋3c＝9，∴＋＋≥，即最小值為. 三、解答題 12．設(shè)函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值為M. (1)求實數(shù)M的值； (2)若不等式＋≤M(其中a＞0)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 解　(1)因為|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以M＝3. (2)因為(＋)2≤[12＋()2](a－x＋2＋x)＝3(a＋2)，當(dāng)且僅當(dāng)＝時，等號成立，即當(dāng)x＝∈[－2，a]時，＋取得最大值，所以≤3. 又a＞0，所以0＜a≤1. 13．已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－|2x－2|. (1)求不等式f(x)≥x－1的解集； (2)若f(x)的最大值是m，且a，b，c均為正數(shù)，a＋b＋c＝m，求＋＋的最小值． 解　(1)由已知可得或或解得0≤x≤2. 故不等式的解集為[0,2]． (2)f(x)＝ 得最大值，∴m＝f(1)＝2， ∴a＋b＋c＝2. 又(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]≥(a＋b＋c)2， ∴＋＋≥a＋b＋c＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時取等號，故＋＋的最小值是2. 14．已知數(shù)列{an}和{bn}，其中an＝1＋3＋5＋…＋(2n＋1)，bn＝1＋2＋…＋2n－1，當(dāng)n∈N＋時，試比較an與bn的大小，并證明你的結(jié)論． 解　由已知得an＝(n＋1)＝(n＋1)2， bn＝＝2n－1. 當(dāng)n＝1時，a1＝4，b1＝1，則a1＞b1， 當(dāng)n＝2時，a2＝9，b2＝3，則a2＞b2， 當(dāng)n＝3時，a3＝16，b3＝7，則a3＞b3， 當(dāng)n＝4時，a4＝25，b4＝15，則a4＞b4， 當(dāng)n＝5時，a5＝36，b5＝31，則a5＞b5 當(dāng)n＝6時，a6＝49，b6＝63，則a6＜b6， 當(dāng)n＝7時，a7＝64，b7＝127，則a7＜b7， …， 由此得到，當(dāng)n∈N＋，n≤5時，an＞bn. 猜想：當(dāng)n∈N＋，n≥6時，an＜bn. 前一結(jié)論上面已用窮舉法證明， 后一猜想用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： ①當(dāng)n＝6時，上面已證a6＜b6. ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥6)時，上述結(jié)論成立， 即當(dāng)k≥6時，(k＋1)2＜2k－1. 當(dāng)n＝k＋1時，要證ak＋1＜bk＋1， 即證(k＋2)2＜2k＋1－1， 只需證(k＋2)2＜22k－1， 根據(jù)歸納假設(shè)，22k－1＞2[(k＋1)2＋1]－1， 所以只需證(k＋2)2＜2(k＋1)2＋1， 即證k2＋4k＋4＜2k2＋4k＋3， 即證k2＞1. 因為k≥6，所以此式顯然成立． 故當(dāng)n＝k＋1時結(jié)論成立． 由①②可知，對任何n∈N＋，n≥6結(jié)論都成立．