第二章 幾個(gè)重要的不等式 章末復(fù)習(xí) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.梳理本章的重點(diǎn)知識(shí)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).2.進(jìn)一步理解柯西不等式、排序不等式和貝努利不等式，并能夠熟練應(yīng)用.3.理解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，初步形成“歸納—猜想—證明”的思維模式． 1．柯西不等式 定理1：對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.當(dāng)向量(a，b)與向量(c，d)共線時(shí)，等號(hào)成立． 定理2：設(shè)a1，a2，…，an與b1，b2，…，bn是兩組實(shí)數(shù)，則有(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.當(dāng)向量(a1，a2，…，an)與向量(b1，b2，…，bn)共線時(shí)，等號(hào)成立．即＝＝…＝時(shí)(規(guī)定ai＝0時(shí)，bi＝0)等號(hào)成立． 推論：設(shè)a1，a2，a3，b1，b2，b3是兩組實(shí)數(shù)，則有(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2. 當(dāng)向量(a1，a2，a3)與向量(b1，b2，b3)共線時(shí)等號(hào)成立． 2．排序不等式 定理1：設(shè)a，b和c，d都是實(shí)數(shù)，如果a≥b，c≥d，那么ac＋bd≥ad＋bc. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b(或c＝d)時(shí)取“＝”號(hào)． 定理2：(排序不等式)設(shè)有兩個(gè)有序?qū)崝?shù)組 a1≥a2≥…≥an及b1≥b2≥…≥bn， 則(順序和)a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥ (亂序和)≥ (逆序和)a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1. 其中j1，j2，…，jn是1,2，…，n的任一排列方式，上式當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an(或b1＝b2＝…＝bn)時(shí)取“＝”號(hào)． 3．貝努利不等式 對(duì)任何實(shí)數(shù)x≥－1和任何正整數(shù)n，有(1＋x)n≥1＋nx. 4．?dāng)?shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法原理是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題． 步驟：(1)驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值n0(如n0＝1或2等)時(shí)命題正確． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)(k∈N＋，k≥n0)命題正確，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也正確. 類(lèi)型一　利用柯西不等式證明不等式 例1　已知a，b，c，d為不全相等的正數(shù)，求證：＋＋＋＞＋＋＋. 證明　由柯西不等式知， ≥2， 于是＋＋＋≥＋＋＋.① 等號(hào)成立?＝＝＝?＝＝＝?a＝b＝c＝d. 又已知a，b，c，d不全相等，則①中等號(hào)不成立． 即＋＋＋＞＋＋＋. 反思與感悟　利用柯西不等式證題的技巧 (1)柯西不等式的一般形式為(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(ai，bi∈R，i＝1,2，…，n)，形式簡(jiǎn)潔、美觀、對(duì)稱(chēng)性強(qiáng)，靈活地運(yùn)用柯西不等式，可以使一些較為困難的不等式的證明問(wèn)題迎刃而解． (2)利用柯西不等式證明其他不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造兩組數(shù)，并向著柯西不等式的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，運(yùn)用時(shí)要注意體會(huì)． 跟蹤訓(xùn)練1　設(shè)a，b，c為正數(shù)且a＋b＋c＝1，求證：2＋2＋2≥. 證明　∵左邊＝(12＋12＋12) ≥2＝2 ＝2≥(1＋9)2＝. 等號(hào)成立的條件均為a＝b＝c＝， ∴原結(jié)論成立． 類(lèi)型二　利用排序不等式證明不等式 例2　設(shè)A，B，C表示△ABC的三個(gè)內(nèi)角弧度數(shù)，a，b，c表示其對(duì)邊，求證：≥. 證明　不妨設(shè)a≤b≤c，于是A≤B≤C. 由排序不等式，得 aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC， aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC， aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC. 三式相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C) ＝π(a＋b＋c)，得≥. 引申探究 若本例條件不變，求證：＜. 證明　不妨設(shè)a≤b≤c，于是A≤B≤C. 由0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b， 有0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b) ＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C) ＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C) ＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)． 得＜. 反思與感悟　利用排序不等式證明不等式的策略 (1)在利用排序不等式證明不等式時(shí)，首先考慮構(gòu)造出兩個(gè)合適的有序數(shù)組，并能根據(jù)需要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)亟M合．這需要結(jié)合題目的已知條件及待證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行合理選擇． (2)根據(jù)排序不等式的特點(diǎn)，與多變量間的大小順序有關(guān)的不等式問(wèn)題，利用排序不等式解決往往很簡(jiǎn)捷． 跟蹤訓(xùn)練2　設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：＋＋≥a10＋b10＋c10. 證明　由a，b，c的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)a≥b≥c， 于是a12≥b12≥c12，≥≥. 由排序不等式，得 ＋＋≥＋＋＝＋＋.① 又因?yàn)閍11≥b11≥c11，≤≤， 再次由排序不等式，得 ＋＋≤＋＋.② 由①②得＋＋≥a10＋b10＋c10. 等號(hào)成立的條件為a＝b＝c. 類(lèi)型三　歸納—猜想—證明 例3　已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N＋)． (1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達(dá)式； (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明{an}的通項(xiàng)公式． (1)解　a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10， a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20， 猜想an＝ (2)證明?、佼?dāng)n＝2時(shí)，a2＝522－2＝5，公式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)成立，即ak＝52k－2(k≥2，k∈N＋)， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由已知條件和假設(shè)，有 ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋52k－2 ＝5＋＝52k－1. 故當(dāng)n＝k＋1時(shí)公式也成立． 由①②可知，對(duì)n≥2，n∈N＋均有an＝52n－2. 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝ 反思與感悟　利用數(shù)學(xué)歸納法解決探索型不等式的思路：觀察——?dú)w納——猜想——證明．即先通過(guò)觀察部分項(xiàng)的特點(diǎn)，進(jìn)行歸納，判斷并猜想出一般結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明． 跟蹤訓(xùn)練3　在數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列(n∈N＋)． (1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，并猜想an，bn的表達(dá)式； (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想． (1)解　由條件可得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1， 則a2＝2b1－a1＝6，b2＝＝9； a3＝2b2－a2＝12，b3＝＝16； a4＝2b3－a3＝20，b4＝＝25. 猜想an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. (2)證明?、佼?dāng)n＝1時(shí)，由a1＝2，b1＝4知，結(jié)論正確． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)結(jié)論正確， 即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)， bk＋1＝＝＝(k＋2)2. 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論正確． 由①②知猜想的結(jié)論正確． 類(lèi)型四　利用柯西不等式或排序不等式求最值 例4　(1)求實(shí)數(shù)x，y的值，使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2達(dá)到最小值． 解　由柯西不等式，得 (12＋22＋12)[(y－1)2＋(3－x－y)2＋(2x＋y－6)2] ≥[1(y－1)＋2(3－x－y)＋1(2x＋y－6)]2＝1， 即(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2≥， 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝， 即x＝，y＝時(shí)，上式取等號(hào)．故x＝，y＝. (2)設(shè)a1，a2，a3，a4，a5是互不相等的正整數(shù)，求M＝a1＋＋＋＋的最小值． 解　設(shè)b1，b2，b3，b4，b5是a1，a2，a3，a4，a5的一個(gè)排列，且b1＜b2＜b3＜b4＜b5. 因此b1≥1，b2≥2，b3≥3，b4≥4，b5≥5. 又1≥≥≥≥. 由排序不等式，得 a1＋＋＋＋≥b1＋＋＋＋ ≥11＋2＋3＋4＋5＝1＋＋＋＋＝. 即M的最小值為. 反思與感悟　利用柯西不等式或排序不等式求最值的技巧 (1)有關(guān)不等式問(wèn)題往往要涉及對(duì)式子或量的范圍的限定，其中含有多變量限制條件的最值問(wèn)題往往難以處理．在這類(lèi)題目中，利用柯西不等式或排序不等式處理往往比較容易． (2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值時(shí)，要關(guān)注等號(hào)成立的條件，不能忽略． 跟蹤訓(xùn)練4　已知正數(shù)x，y，z滿足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范圍． 解?。埽? ＝ ≤＝. 故λ的取值范圍是. 1．函數(shù)y＝2＋的最大值為(　　) A.B．－C．－3D．3 答案　D 解析　y2＝(＋1)2 ≤[()2＋12][()2＋()2]＝33＝9. ∴y≤3，y的最大值為3. 2．設(shè)x，y，m，n>0，且＋＝1，則u＝x＋y的最小值是(　　) A．(＋)2 B. C. D．(m＋n)2 答案　A 解析　根據(jù)柯西不等式，得x＋y＝(x＋y)≥2＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，等號(hào)成立， 這時(shí)u取最小值(＋)2. 3．設(shè)a1，a2，…，an都是正數(shù)，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，P＝ab＋ab＋…＋ab，Q＝a1＋a2＋…＋an，則P與Q的大小關(guān)系是(　　) A．P＝Q B．P>Q C．P<Q D．P≥Q 答案　D 解析　設(shè)a1≥a2≥…≥an>0， 可知a≥a≥…≥a，a≥a≥…≥a. 由排序不等式，得 ab＋ab＋…＋ab≥aa＋aa＋aa， 即ab＋ab＋…＋ab≥a1＋a2＋…＋an. ∴P≥Q，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an>0時(shí)等號(hào)成立． 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3＋5n能被6整除”的過(guò)程中，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，對(duì)式子(k＋1)3＋5(k＋1)應(yīng)變形為_(kāi)_______________________． 答案　k3＋5k＋3k(k＋1)＋6 解析　(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝k3＋5k＋3k2＋3k＋6 ＝k3＋5k＋3k(k＋1)＋6. 5．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋4＋…＋n2＝(n∈N＋)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上________________． 答案　(k2＋1)＋…＋(k＋1)2 解析　當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，所以增加了(k2＋1)＋…＋(k＋1)2. 1．對(duì)于柯西不等式要特別注意其向量形式的幾何意義，從柯西不等式的幾何意義出發(fā)就得到了三角形式的柯西不等式，柯西不等式的一般形式也可以寫(xiě)成向量形式． 2．參數(shù)配方法是由舊知識(shí)得到的新方法，注意體會(huì)此方法的數(shù)學(xué)思想． 3．對(duì)于排序不等式要抓住它的本質(zhì)含義：兩實(shí)數(shù)序列同方向單調(diào)(同時(shí)增或同時(shí)減)時(shí)所得兩兩乘積之和最大，反方向單調(diào)(一增一減)時(shí)所得兩兩乘積之和最小，注意等號(hào)成立的條件是其中一序列為常數(shù)序列． 4．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明和正整數(shù)有關(guān)的命題的，要特別注意歸納奠基和歸納遞推是必不可少的兩個(gè)步驟． 一、選擇題 1．已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，則a的最大值是(　　) A．1B．2C．3D．4 答案　B 解析　∵(2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2， 即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2. ∴5－a2≥(3－a)2. 解得1≤a≤2. 驗(yàn)證：當(dāng)a＝2時(shí)，等號(hào)成立． 2．已知2x＋3y＋4z＝10，則x2＋y2＋z2取到最小值時(shí)的x，y，z的值為(　　) A.，， B.，， C．1，， D．1，， 答案　B 解析　由柯西不等式，得(22＋32＋42)(x2＋y2＋z2)≥(2x＋3y＋4z)2， 即x2＋y2＋z2≥. 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)，等號(hào)成立， 聯(lián)立 可得x＝，y＝，z＝. 3．已知x，y∈R＋，且xy＝1，則的最小值為(　　) A．4B．2C．1D. 答案　A 解析?。? ≥2＝2＝22＝4. 4．已知a，b，x1，x2∈R＋，ab＝1，x1＋x2＝2，則M＝(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)與4的大小關(guān)系是(　　) A．M＞4B．M＜4　C．M≥4D．M≤4 答案　C 解析　M＝(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)＝[()2＋()2][()2＋()2] ≥[(x1＋x2)]2＝(x1＋x2)2＝4. 5．用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)一切大于1的自然數(shù)n，不等式…＞成立時(shí)，當(dāng)n＝2時(shí)驗(yàn)證的不等式是(　　) A．1＋＞ B.＞ C.≥ D．以上都不對(duì) 答案　A 解析　當(dāng)n＝2時(shí)，2n－1＝3,2n＋1＝5，∴1＋＞. 6．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N＋)成立，其初始值至少應(yīng)取(　　) A．7B．8　C．9D．10 答案　B 解析　左邊＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入驗(yàn)證可知n的最小值是8. 二、填空題 7．設(shè)f(n)＝…，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)≥3，在假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)成立后，f(k＋1)與f(k)的關(guān)系是f(k＋1)＝f(k)________________. 答案　 解析　f(k)＝…， f(k＋1)＝…， ∴f(k＋1)＝f(k). 8．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝2an＋2，用數(shù)學(xué)歸納法證明an＝42n－1－2的第二步中，設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即ak＝42k－1－2，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，應(yīng)證明等式_________成立． 答案　ak＋1＝42(k＋1)－1－2 9．設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn)．若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)＝________；當(dāng)n＞4時(shí)，f(n)＝________(用含n的式子表示)． 答案　5　(n－2)(n＋1) 解析　f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，f(6)＝14，每增加一條直線，交點(diǎn)增加的個(gè)數(shù)等于原來(lái)直線的條數(shù)． ∴f(4)－f(3)＝3，f(5)－f(4)＝4，f(6)－f(5)＝5，…，f(n)－f(n－1)＝n－1. 累加，得f(n)－f(3)＝3＋4＋…＋(n－1)＝(n－3)． ∴f(n)＝(n－2)(n＋1)． 10．如圖，矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，則陰影部分的矩形面積之和________空白部分的矩形面積之和． 答案　≥ 解析　由題圖可知，陰影部分的面積等于a1b1＋a2b2，而空白部分的面積等于a1b2＋a2b1，根據(jù)順序和≥逆序和可知，答案為≥. 三、解答題 11．已知f(n)＝(2n＋7)3n＋9(n∈N＋)，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)能被36整除． 證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝(2＋7)3＋9＝36，能被36整除． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)，f(k)＝(2k＋7)3k＋9能被36整除， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]3k＋1＋9＝(2k＋7)3k＋1＋23k＋1＋9＝(2k＋7)3k3＋23k＋1＋9＝3[(2k＋7)3k＋9]－27＋23k＋1＋9＝3[(2k＋7)3k＋9]＋18(3k－1－1)． 由于3k－1－1是2的倍數(shù)，故18(3k－1－1)能被36整除，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)也能被36整除． 根據(jù)(1)和(2)可知，對(duì)一切正整數(shù)n，都有f(n)＝(2n＋7)3n＋9能被36整除． 12．設(shè)x1，x2，…，xn∈R＋，且x1＋x2＋…＋xn＝1.求證：＋＋…＋≥. 證明　∵(n＋1) ＝(1＋x1＋1＋x2＋…＋1＋xn) ≥2＝(x1＋x2＋…＋xn)2＝1， ∴＋＋…＋≥. 13．已知a，b，c為正數(shù)，求證：≥abc. 證明　考慮到正數(shù)a，b，c的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)a≥b≥c>0， 則≤≤，bc≤ca≤ab， 由排序不等式知，順序和≥亂序和， ∴＋＋≥＋＋， 即≥a＋b＋c. ∵a，b，c為正數(shù)， ∴兩邊同乘以， 得≥abc. 四、探究與拓展 14．上一個(gè)n層的臺(tái)階，若每次可上一層或兩層，設(shè)所有不同上法的總數(shù)為f(n)，則下列猜想正確的是(　　) A．f(n)＝n B．f(n)＝f(n)＋f(n－2) C．f(n)＝f(n)f(n－2) D．f(n)＝ 答案　D 解析　當(dāng)n≥3時(shí)，f(n)分兩類(lèi)，第一類(lèi)，從第n－1層再上一層，有f(n－1)種方法；第二類(lèi)，從第n－2層再一次上兩層，有f(n－2)種方法，所以f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)，n≥3. 15．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，g(n)＝2(－1)(n∈N＋)． (1)當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，分別比較f(n)與g(n)的大小(直接給出結(jié)論)； (2)由(1)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 解　(1)f(1)＞g(1)，f(2)＞g(2)，f(3)＞g(3)． (2)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＞g(1)； 當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＞g(2)； 當(dāng)n＝3時(shí)，f(3)＞g(3)． 猜想：f(n)＞g(n)(n∈N＋)，即1＋＋＋…＋＞2(－1)(n∈N＋)． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明． ①當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝1，g(1)＝2(－1)，f(1)＞g(1)， 不等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)，不等式成立，即1＋＋＋…＋＞2(－1)． 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＞2(－1)＋＝2＋－2， g(k＋1)＝2(－1)＝2－2， 所以只需證明2＋＞2， 即證2(k＋1)＋1＝2k＋3＞2， 即證(2k＋3)2＞4(k＋2)(k＋1)， 即證4k2＋12k＋9＞4k2＋12k＋8， 此式顯然成立． 所以，當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式也成立． 綜上①②可知，對(duì)n∈N＋，不等式都成立， 即1＋＋＋…＋＞2(－1)(n∈N＋)成立．