2.3.2　平面向量的正交分解及坐標表示 2.3.3　平面向量的坐標運算 學習目標：1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐標表示．(難點)2.理解向量坐標的概念，掌握兩個向量和、差及數乘向量的坐標運算法則．(重點)3.向量的坐標與平面內點的坐標的區(qū)別與聯系．(易混點) [自 主 預 習探 新 知] 1．平面向量的正交分解及坐標表示 (1)平面向量的正交分解： 把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． (2)平面向量的坐標表示： 在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底．對于平面內的一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x，y，使得a＝xi＋yj，我們把有序數對(x，y)叫做向量a的坐標，記作a＝(x，y)，其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，a＝(x，y)叫做向量的坐標表示．顯然，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． 2．平面向量的坐標運算 設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，則有： 加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 減法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 數乘 λa＝(λx1，λy1) 重要 結論 已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則＝(x2－x1，y2－y1) [基礎自測] 1．思考辨析 (1)若＝(2，－1)，則點A的坐標為(2，－1)．(　　) (2)若點A的坐標為(2，－1)，則以A為終點的向量的坐標為(2，－1)．(　　) (3)平面內的一個向量a，其坐標是唯一的．(　　) [解析]　(1)正確．對于從原點出發(fā)的向量，其終點坐標與向量的坐標表示相同． (2)錯誤．以A為終點的向量有無數個，它們不一定全相等． (3)正確．由平面向量坐標的概念可知． [答案]　(1)√　(2)　(3)√ 2．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，則向量的坐標是(　　) A．　　　　　 B． C．(－8,1) D．(8,1) A　[＝－ ＝(－5，－1)－(3，－2) ＝(－8,1)， ＝.] 3．如圖2314，在平面直角坐標系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面內的一個向量a，若|a|＝2，θ＝45，則向量a的坐標為________． 圖2314 (，)　[由題意知 a＝(2cos 45i,2sin 45j) ＝(i，j) ＝(，)．] [合 作 探 究攻 重 難] 平面向量的坐標表示 　如圖2315，在平面直角坐標系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45，∠OAB＝105，＝a，＝b.四邊形OABC為平行四邊形． 圖2315 (1)求向量a，b的坐標； (2)求向量的坐標； (3)求點B的坐標. 【導學號：84352220】 [解]　(1)作AM⊥x軸于點M， 則OM＝OAcos 45＝4＝2， AM＝OAsin 45＝4＝2， ∴A(2，2)，故a＝(2，2)． ∵∠AOC＝180－105＝75，∠AOy＝45， ∴∠COy＝30.又OC＝AB＝3， ∴C， ∴＝＝， 即b＝. (2)＝－＝. (3)＝＋ ＝(2，2)＋ ＝. [規(guī)律方法]　求點、向量坐標的常用方法： (1)求一個點的坐標：可利用已知條件，先求出該點相對應坐標原點的位置向量的坐標，該坐標就等于相應點的坐標. (2)求一個向量的坐標：首先求出這個向量的始點、終點坐標，再運用終點坐標減去始點坐標即得該向量的坐標. [跟蹤訓練] 1．已知O是坐標原點，點A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60， (1)求向量的坐標； (2)若B(，－1)，求的坐標． [解]　(1)設點A(x，y)，則x＝4cos 60＝2， y＝4sin 60＝6，即A(2，6)，＝(2，6)． (2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7). 平面向量的坐標運算 　(1)已知a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)，則a＝________，b＝________. (2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐標． [思路探究]　(1)用加減消元法求a，b的坐標． (2)法一：設點M，N的坐標，用向量相等的坐標表示列方程求值． 法二：用向量線性運算的幾何意義直接計算，的坐標． (1)(3,5)　(－2，－2)　[由a＋b＝(1,3)，a－b＝(5,7)， 所以2a＝(1,3)＋(5,7)＝(6,10)， 所以a＝(3,5)， 2b＝(1,3)－(5,7)＝(－4，－4)， 所以b＝(－2，－2)．] (2)[解]　法一：(待定系數法)由A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)， 可得＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)， ＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)， 所以＝3＝3(1,8)＝(3,24)， ＝2＝2(6,3)＝(12,6)． 設M(x1，y1)，N(x2，y2)， 則＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，x1＝0，y1＝20； ＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，x2＝9，y2＝2， 所以M(0,20)，N(9,2)， ＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)． 法二：(幾何意義法)設點O為坐標原點，則由＝3，＝2， 可得－＝3(－)，－＝2(－)， 從而＝3－2，＝2－， 所以＝3(－2,4)－2(－3，－4)＝(0,20)， ＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9,2)， 即點M(0,20)，N(9,2)， 故＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)． [規(guī)律方法]　平面向量坐標的線性運算的方法： (1)若已知向量的坐標，則直接應用兩個向量和、差及向量數乘的運算法則進行. (2)若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算. (3)向量的線性坐標運算可完全類比數的運算進行. [跟蹤訓練] 2．若A，B，C三點的坐標分別為(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求＋2，－的坐標． [解]　∵＝(－2,10)，＝(－8,4)，＝(－10,14)， ∴＋2＝(－2,10)＋2(－8,4) ＝(－2,10)＋(－16,8) ＝(－18,18)， －＝(－8,4)－(－10,14) ＝(－8,4)－(－5,7) ＝(－3，－3). 向量坐標運算的綜合應用 [探究問題] 1．已知點O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及＝＋t.當t為何值時，點P在x軸上？點P在y軸上？點P在第二象限？ 提示：∵＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)． 若點P在x軸上，則2＋3t＝0， ∴t＝－. 若點P在y軸上，則1＋3t＝0， ∴t＝－. 若點P在第二象限，則 ∴－<t<－. 2．對于探究1條件不變，四邊形OABP能為平行四邊形嗎？若能，求出t的值；若不能，請說明理由． 提示：∵＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)． 若四邊形OABP為平行四邊形， 則＝， ∴該方程組無解． 故四邊形不能為平行四邊形． 　(1)已知向量a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(9,4)，若p＝ma＋nb，則m＋n＝________. (2)已知點A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)．若A＝A＋λA(λ∈R)，試求λ為何值時， ①點P在一、三象限角平分線上； ②點P在第三象限內. 【導學號：84352221】 [思路探究]　(1)→→ (2)→→ (1)7　[由已知得ma＋nb＝m(2，－3)＋n(1,2)＝(2m＋n，－3m＋2n)． 又p＝(9,4)且p＝ma＋nb， 所以解得 所以m＋n＝7.] (2)[解]　設點P的坐標為(x，y)， 則A＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)， A＋λA＝[(5,4)－(2,3)]＋λ[(7,10)－(2,3)] ＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∵A＝A＋λA， ∴則 ①若P在一、三象限角平分線上， 則5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝， ∴當λ＝時，點P在一、三象限角平分線上． ②若P在第三象限內，則∴λ<－1， ∴當λ<－1時，點P在第三象限內． 母題探究：1.若本例(2)條件不變，試求λ為何值時，點P在第四象限． [解]　若P在第四象限，則解得－1＜λ＜－. 2．若本例(2)條件“＝＋λ”改為“＝＋λ”，其他條件不變，應如何解答？ [解]　設點P的坐標為(x，y)， 則＝(x－5，y－4)， ＋λ＝(－3，－1)＋λ(2,6)＝(－3＋2λ，－1＋6λ)． 因為＝＋λ， 所以則 ①若P在一、三象限角平分線上， 則2＋2λ＝3＋6λ，解得λ＝－. ②若P在第三象限內，則解得λ＜－1. [規(guī)律方法]　1.解答本題可用待定系數法．此法是最基本的數學方法之一，實質是先將未知量設出來，建立方程(組)求出未知數的值，是待定系數法的基本形式，也是方程思想的一種基本應用． 2．坐標形式下向量相等的條件：相等向量的對應坐標相等；對應坐標相等的向量是相等向量．由此可建立相等關系求某些參數的值． [當 堂 達 標固 雙 基] 1．給出下面幾種說法： ①相等向量的坐標相同； ②平面上一個向量對應于平面上唯一的坐標； ③一個坐標對應于唯一的一個向量； ④平面上一個點與以原點為始點，該點為終點的向量一一對應． 其中正確說法的個數是(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 C　[由向量坐標的定義不難看出一個坐標可對應無數個相等的向量，故③錯誤．] 2．已知A(2，－3)，＝(3，－2)，則點B和線段AB的中點M坐標分別為 (　　) 【導學號：84352222】 A．B(5，－5)，M(0,0) B．B(5，－5)，M C．B(1,1)，M(0,0) D．B(1,1)，M B　[＝＋＝(2，－3)＋(3，－2)＝(5，－5)， ＝＋＝(2，－3)＋(3，－2)＝.] 3．已知平行四邊形OABC，其中O為坐標原點，若A(2,1)，B(1,3)，則點C的坐標為________． (－1,2)　[設C的坐標為(x，y)，則由已知得＝，所以(x，y)＝(－1,2)．] 4．已知點A(1,3)，B(4，－1)，則與向量同方向的單位向量為________． 　[＝(3，－4)，則與同方向的單位向量為＝(3，－4)＝.] 5．已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求： (1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. [解]　(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)a－b＝(－1,2)－(2,1) ＝－＝. 我國經濟發(fā)展進入新常態(tài)，需要轉變經濟發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經濟結構，實現經濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調發(fā)展，推進新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調等現實挑戰(zhàn)。