專題能力提升練 四　排列組合、二項(xiàng)式定理 (45分鐘　80分) 一、選擇題(每小題5分,共60分) 1.從5個(gè)不同的小球中選4個(gè)放入3個(gè)箱子中,要求第一個(gè)箱子放入1個(gè)小球,第二個(gè)箱子放入2個(gè)小球,第三個(gè)箱子放入1個(gè)小球,則不同的放法共有(　　) A.120種 B.96種 C.60種 D.48種 【解析】選C.第一步,從5個(gè)不同的小球中選4個(gè),共有C54=5種不同的方法;第二步,從選出的4個(gè)小球中選出1個(gè)放入第一個(gè)箱子,共有C41=4種不同的方法;第三步,從剩余的3個(gè)小球中選出2個(gè)放入第二個(gè)箱子,共有C32=3種不同的方法;第四步,將最后1個(gè)小球放入第三個(gè)箱子,共有C11=1種不同的方法.故不同的放法共有5431=60種. 2.(xx開封一模)(x-y)10的展開式中,x7y3的系數(shù)與x3y7的系數(shù)之和等于 (　　) A.-60 B.-120 C.-180 D.-240 【解析】選D.因?yàn)?x-y)10的展開式中含x7y3的項(xiàng)為 C103x10-3y3(-1)3=-C103x7y3, 含x3y7的項(xiàng)為C107x10-7y7(-1)7=-C107x3y7. 由C103=C107=120知,x7y3與x3y7的系數(shù)之和為-240. 3.8名學(xué)生和2位老師站成一排合影,2位老師不相鄰的排法種數(shù)為 (　　) A.A88A92 B.A88C92 C.A88A72 D.A88C72 【解析】選A.不相鄰問題用插空法,8名學(xué)生先排有A88種排法,產(chǎn)生9個(gè)空,2位老師插空有A92種排法,所以共有A88A92種排法. 4.使x2+12x3n(n∈N*)展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的n的最小值是 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】選C.x2+12x3n(n∈N*)展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=Cnr12rx2n-5r,令2n-5r=0,求得2n=5r,可得使二項(xiàng)式的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的n的最小值是5. 5.(xx商丘二模)高考結(jié)束后6名同學(xué)游覽我市包括日月湖在內(nèi)的6個(gè)景區(qū),每名同學(xué)任選一個(gè)景區(qū)游覽,則有且只有兩名同學(xué)選擇日月湖景區(qū)的方案有 (　　) A.A62A54種 B.A6254種 C.C62A54種 D.C6254種 【解析】選D.根據(jù)題意,分2步進(jìn)行分析: ①,先6名同學(xué)中任選2人,去日月湖景區(qū)旅游,有C62種方案, ②,對(duì)于剩下的4個(gè)同學(xué),每人都有5種選擇,則4人有5555=54種方案, 則有且只有兩名同學(xué)選擇日月湖景區(qū)的方案有C6254種. 6.(xx廣州一模)x+1x(1+2x)5的展開式中,x3的系數(shù)為 (　　) A.120 B.160 C.100 D.80 【解析】選A.x+1x(1+2x)5=x(1+2x)5+1x(1+2x)5, 因?yàn)閤(1+2x)5的展開式中含x3的項(xiàng)為xC52(2x)2=40x3, 1x(1+2x)5的展開式中含x3的項(xiàng)為1xC54(2x)4=80x3. 所以x+1x(1+2x)5的展開式中,x3的系數(shù)為40+80=120. 7.冬季供暖開始前,需分配出5名水暖工去3個(gè)不同的居民小區(qū)檢查暖氣管道,每名水暖工只去一個(gè)小區(qū),且每個(gè)小區(qū)都要有人去檢查,那么分配的方案共有 (　　) A.25種 B.50種 C.75種 D.150種 【解題指南】依題意,可分兩類:①(3,1,1);②(2,2,1);利用排列組合的知識(shí)解決即可. 【解析】選D.根據(jù)題意,分配5名水暖工去3個(gè)不同的小區(qū),要求5名水暖工都分配出去,且每個(gè)小區(qū)都要有人去檢查,5人可以分為(2,2,1),(3,1,1),分組方法共有C52C32A22+C53=25種,分別分配到3個(gè)不同的小區(qū),有A33種情況,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,可得共25A33=150種不同分配方案. 8.(x2+2)1x-15展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 (　　) A.12 B.-12 C.8 D.-8 【解析】選B.1x-15的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C5r1x5-r(-1)r=(-1)rC5rxr-5. 取r-5=-2,得r=3,取r-5=0,得r=5. 所以(x2+2)1x-15展開式中的常數(shù)項(xiàng)是-C53-2C55=-12. 9.若(1+3)5=a+b3(a,b為有理數(shù)),則b= (　　) A.1 B.5 C.44 D.81 【解題指南】由題意(1+3)5=a+b3(a,b為有理數(shù)),利用二項(xiàng)式定理求得b的值. 【解析】選C.由題意(1+3)5=a+b3(a,b為有理數(shù)),由二項(xiàng)式定理可得,a=C50+C523+C549=76,b=C51+C533+C559=44. 10.(xx咸陽(yáng)二模)漢中最美油菜花節(jié)期間,5名游客到四個(gè)不同景點(diǎn)游覽,每個(gè)景點(diǎn)至少有一人,則不同的游覽方法共有 (　　) A.120種 B.625種 C.240種 D.1 024種 【解析】選C.由于每個(gè)景點(diǎn)至少一人,故必有一個(gè)景點(diǎn)有2名游客,第一步,選出2名游客組成一組,共有C52=10種方法,第二步,將選出的2名游客看作一個(gè)整體,和剩余的3名游客進(jìn)行排列,共有A44=24種方法,所以不同的游覽方法有1024=240種. 11.(1+x)6(1+y)4的展開式中,記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m,n),則f(3,0)+f(0,3)= (　　) A.9 B.16 C.18 D.24 【解析】選D.(1+x)6(1+y)4的展開式中,含x3y0的系數(shù)是:C63C40=20,f(3,0)=20; 含x0y3的系數(shù)是C60C43=4,f(0,3)=4; 所以f(3,0)+f(0,3)=24. 12.(x2+1)1x-25的展開式的常數(shù)項(xiàng)是 (　　) A.5 B.-10 C.-32 D.-42 【解析】選D.由于1x-25的通項(xiàng)為Tr+1=C5r1x5-r(-2)r=C5r(-2)rxr-52, 故(x2+1)1x-25的展開式的常數(shù)項(xiàng)是x2C51(-2)1x-2+1C55(-2)5x0=-42. 二、填空題(每小題5分,共20分) 13.(xx浙江高考)二項(xiàng)式3x+12x8的展開式的常數(shù)項(xiàng)是________. 【解析】通項(xiàng)公式為Tr+1=C8r(3x)8-r12xr =C8r2-rx8-4r3,由8-4r=0得r=2, 所以常數(shù)項(xiàng)為C822-2=7. 答案:7 【加固訓(xùn)練】 (xx渭南市二模)設(shè)a=01 2xdx,則二項(xiàng)式ax2-1x6展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________. 【解析】a=01 2xdx=x201=1, 則二項(xiàng)式ax2-1x6=x2-1x6的展開式中的通項(xiàng)公式:Tr+1=C6r(x2)6-r-1xr =(-1)rC6rx12-3r, 令12-3r=0,解得r=4.所以常數(shù)項(xiàng)為C64=15. 答案:15 14.(xx鄭州一診) 已知(1+x)(a-x)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,a∈R,若a0+a1+a2+…+a6+a7=0,則a3=________. 【解析】(1+x)(a-x)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中, 令x=1得,a0+a1+…+a7=2(a-1)6=0, 解得a=1,而a3表示x3的系數(shù), 所以a3=C63(-1)3+C62(-1)2=-5. 答案:-5 【加固訓(xùn)練】 x-12x6展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________. 【解析】二項(xiàng)式x-12x6展開式的通項(xiàng)公式為 Tr+1=C6rx6-r-12xr =-12rC6rx6-3r2, 令6-3r2=0,解得r=4; 所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-124C64=1516. 答案:1516 15.如圖,某建筑工地搭建的腳手架局部類似于一個(gè)223 的長(zhǎng)方體框架,一個(gè)建筑工人欲從 A處沿腳手架攀登至 B處,則其最近的行走路線中不連續(xù)向上攀登的概率為________. 【解析】根據(jù)題意,最近路線,那就是不能走回頭路,不能走重復(fù)的路,所以一共要走3次向上,2次向右,2次向前,一共7次, 所以最近的行走路線共有:n=A77=5 040, 因?yàn)椴荒苓B續(xù)向上,所以先把不向上的次數(shù)排列起來(lái),也就是2次向右和2次向前全排列A44, 接下來(lái),就是把3次向上插到4次不向上之間的空當(dāng)中,5個(gè)位置排三個(gè)元素,也就是A53, 則最近的行走路線中不連續(xù)向上攀登的共有m=A44A53=1 440種, 所以其最近的行走路線中不連續(xù)向上攀登的概率p=mn=1 4405 040=27. 答案:27 16.(xx洛陽(yáng)二模)在(1+x)2(1-x)5展開式中,含x5項(xiàng)的系數(shù)是________. 【解析】(1+x)2(1-x)5=(1+2x+x2)(1-5x+10x2-10x3+5x4-x5), 所以展開式中含x5項(xiàng)為-x5+2x5x4+x2(-10x3)=-x5; 所以含x5項(xiàng)的系數(shù)是-1. 答案:-1