專題能力提升練 五　數(shù)學(xué)文化與核心素養(yǎng) (25分鐘　50分) 一、選擇題(每小題5分,共35分) 1.(xx北京高考)“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例,為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份,依次得到十三個(gè)單音,從第二個(gè)單音起,每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于122.若第一個(gè)單音的頻率為f,則第八個(gè)單音的頻率為 (　　) A.32f B.322f C.1225f D.1227f 【解析】選D.由已知,單音的頻率構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為f,公比為122的等比數(shù)列,記為{bn},共有13項(xiàng).由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可知,b8=b1q7=f(122)7=1227f. 【加固訓(xùn)練】 1.(xx河南省新鄉(xiāng)市高考數(shù)學(xué)二模試卷)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》里有一道關(guān)于買田的問(wèn)題:“今有善田一畝,價(jià)三百;惡田七畝,價(jià)五百.今并買一頃,價(jià)錢一萬(wàn).問(wèn)善、惡田各幾何?”其意思為:“今有好田1畝價(jià)值300錢;壞田7畝價(jià)值500錢,今合買好、壞田1頃,價(jià)值10 000錢.問(wèn)好、壞田各有多少畝?”已知1頃為100畝,現(xiàn)有下列四個(gè)程序框圖,其中S的單位為錢,則輸出的x,y分別為此題中好、壞田的畝數(shù)的是 (　　) 【解析】選B.1頃=100畝, 設(shè)好田x畝,壞田為y畝,則由題意可得:壞田y=100-x, 依題意有:S=300x+5007y=10 000,故C錯(cuò)誤; 可得:300x+50 0007-5007x=10 000,1 6007x=20 0007, 解得:x=12.5,壞田y=100-12.5=87.5(畝). 由于:x的初值為0.5,終值為12.5,設(shè)其步長(zhǎng)值為d, 則由12.5=0.5+(n-1)d, 可得:n=12d+1∈Z, 可得:變量x每次增加的步長(zhǎng)值d為12的因數(shù), 故A,D錯(cuò)誤,B正確. 2.(xx豫南九校一模)《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻”問(wèn)題為“今有垣厚五尺,兩鼠對(duì)穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,問(wèn)何日相逢?”可用如圖所示的程序框圖解決此問(wèn)題.現(xiàn)執(zhí)行該程序框圖,輸入的d的值為33,則輸出的i的值為 (　　) A.4　　 　B.5　　 　C.6　 　　D.7 【解析】選C.方法一:i=0,s=0,x=1,y=1 開(kāi)始執(zhí)行,然后可得: i=1,s=1+1,x=2,y=12… i=5,s=(1+2+4+8+16)+1+12+14+18+116<33,x=32,y=132, 再執(zhí)行一行,然后輸出i=6. 方法二:本題要解決的問(wèn)題是數(shù)列求和的問(wèn)題, a1=1+1,a2=2+12,…,an=2n-1+12n-1(n≥2), 可得:a1+a2+…an≥33, 解得n的最小值為6. 2.數(shù)的概念起源于大約300萬(wàn)年前的原始社會(huì),如圖1所示,當(dāng)時(shí)的人類用在繩子上打結(jié)的方法來(lái)記數(shù),并以繩結(jié)的大小來(lái)表示野獸的大小,即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”,圖2所示的是某個(gè)部落一段時(shí)間內(nèi)所擒獲獵物的數(shù)量,在從右向左依次排列的繩子上打結(jié),右邊繩子上的結(jié)每滿7個(gè)的左邊的繩子上打一個(gè)結(jié),請(qǐng)根據(jù)圖2計(jì)算該部落在該段時(shí)間內(nèi)所擒獲的獵物總數(shù)為 (　　) A.336 B.510 C.1 326 D.3 603 【解析】選B.由題意,所擒獲獵物的數(shù)量滿七進(jìn)一,可得該圖示為七進(jìn)制數(shù), 化為十進(jìn)制數(shù)為173+372+271+670=510. 3.(xx益陽(yáng)一模)侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)則的蜘蛛網(wǎng),如圖,它是由無(wú)數(shù)個(gè)正方形環(huán)繞而成,且每一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都恰好在它的外圍一層正方形四條邊的三等分點(diǎn)上,設(shè)外圍第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是m,有人說(shuō),如此下去,蜘蛛網(wǎng)的長(zhǎng)度也是無(wú)限的增大,那么,試問(wèn),侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)的長(zhǎng)度真的是無(wú)限長(zhǎng)的嗎?設(shè)侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)的長(zhǎng)度為Sn,則 (　　) A.Sn無(wú)限大 B.Sn<3(3+5)m C.Sn=2(2+5)m D.Sn可以取100m 【解析】選B.由題意,外圍第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是m, 可得:內(nèi)層第二個(gè)正方形邊長(zhǎng)為13m2+23m2=53m; 第三個(gè)正方形邊長(zhǎng)為1353m2+2353m2=59m; …… 第n個(gè)正方形邊長(zhǎng)為53n-1m, 那么蜘蛛網(wǎng)的長(zhǎng)度為 Sn=4m1+53+59+…+53n-1<4m11-53 =(9+35)m. 4.兩千多年前,古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問(wèn)題.他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子表示數(shù),按照點(diǎn)或小石子能排列的形狀對(duì)數(shù)進(jìn)行分類.如圖中實(shí)心點(diǎn)的個(gè)數(shù)5,9,14,20,…為梯形數(shù).根據(jù)圖形的構(gòu)成,記此數(shù)列的第xx項(xiàng)為a2 017,則a2 017-5= (　　) A.2 0232 017　　　　　B.2 0232 016 C.1 0082 023 D.2 0171 008 【解析】選C.觀察梯形數(shù)的前幾項(xiàng),得 5=2+3=a1, 9=2+3+4=a2, 14=2+3+4+5=a3, … an=2+3+…+(n+2)=(n+1)(2+n+2)2 =12(n+1)(n+4), 由此可得a2 017=122 0182 021=1 0092 021. a2 017-5=(1 008+1)(2 023-2)-5=1 0082 023. 5.《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”,已知某“塹堵”的三視圖如圖所示,俯視圖中虛線平分矩形的面積,則該“塹堵”的外接球的表面積為 (　　) A.2π B.8π C.43π D.6+42π 【解析】選B.根據(jù)幾何體的三視圖, 得到:該幾何體是一個(gè)倒放的底面為直角三角形,高為2的直三棱柱. 故直角三角形的直角邊為2. 所以: 該幾何體的外接球直徑為2+2+4=22, 所以:R=2, 故S=4πR2=8π. 【加固訓(xùn)練】 《九章算術(shù)》第三章——衰分中有一則問(wèn)題:“今有女子善織,日自倍,五日織五尺,問(wèn)日織幾何?”;翻譯成現(xiàn)代文為“今有一個(gè)女子很會(huì)織布,每日加倍增長(zhǎng),5天共織布5尺,問(wèn)每天織布多少?”.今以這則故事中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想,設(shè)計(jì)如圖所示的程序框圖,則運(yùn)行其中的程序,輸出的n的值為 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】選C.運(yùn)行該程序,第一次,S=23,a=43,n=1;第二次,S=63,a=83,n=2;第三次,S=143,a=163,n=3;第四次,S=303,a=323,n=4;第五次,S=623,a=643,n=5;第六次,S=1263,a=1283,n=6;第七次,S=2543,a=2563,n=7;此時(shí)輸出的n的值為7. 6.在《九章算術(shù)》中記載著一道關(guān)于“持金出關(guān)”的題目,大意是:“在古代出關(guān)要交關(guān)稅.一天,某人拿錢若干出關(guān),第1關(guān)交所拿錢數(shù)的12,第2關(guān)交所剩錢數(shù)的13,第3關(guān)交所剩錢數(shù)的14,……” ①這個(gè)人在第6關(guān)交稅的錢數(shù)是出第1關(guān)前錢數(shù)的16; ②這個(gè)人在第6關(guān)交稅的錢數(shù)是出第1關(guān)前錢數(shù)的142; ③這個(gè)人出了第8關(guān)后剩余的錢數(shù)是出第1關(guān)前錢數(shù)的18; ④這個(gè)人出了第8關(guān)后剩余的錢數(shù)是出第1關(guān)前錢數(shù)的19. 其中說(shuō)法正確的是 (　　) A.①③　　 B.②③ 　　C.①④　 　D.②④ 【解析】選D.設(shè)這個(gè)人出關(guān)前的錢數(shù)為a,第1關(guān)交稅12a,即112a;第2關(guān)交稅13a-12a=16a,即123a;第3關(guān)交稅14a-12a-16a=112a,即134a;……由此可知第6關(guān)交稅167a,故①錯(cuò)誤,②正確;這個(gè)人過(guò)了第8關(guān)后剩余的錢數(shù)為a-112a+123a+134a+…189a= a-a1-12+12-13+13-14+…+18-19 =19a,故③錯(cuò)誤,④正確. 7.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形,已知該圖形中直角三角形的兩直角邊分別為5和3,若向該圖形中隨機(jī)拋擲一枚飛鏢,則該飛鏢恰好落在陰影區(qū)域的概率為 (　　) A.35 B.415 C.1517 D.934 【解析】選C.由條件可知,該圖形中大正方形的邊長(zhǎng)為32+52=34,小正方形的邊長(zhǎng)為5-3=2,故所求概率為P=34-434=1517. 【加固訓(xùn)練】 1.我國(guó)明朝數(shù)學(xué)家程大位著的《算法統(tǒng)宗》里有一道聞名世界的題目:“一百饅頭一百僧,大僧三個(gè)更無(wú)爭(zhēng),小僧三人分一個(gè),大小和尚各幾丁?”如圖所示的程序框圖反映了對(duì)此題的一種求解方法,則輸出的n的值為 (　　) A.25 B.26 C.27 D.28 【解題指南】由題設(shè)實(shí)際問(wèn)題,結(jié)合程序框圖一步一步計(jì)算,直到滿足判斷框中的條件退出循環(huán),并輸出結(jié)果即可. 【解析】選A.執(zhí)行程序框圖,n=20,m=80,s=60+803; 顯然s≠100,n=21,m=79,s=321+793; 顯然s≠100,n=22,m=78,s=322+783; 顯然s≠100,n=23,m=77,s=323+773; 顯然s≠100,n=24,m=76,s=324+763; 顯然s≠100,n=25,m=75,s=325+753=100. 退出循環(huán),故輸出的n=25. 2.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典,其中對(duì)勾股定理的論述比西方早一千多年,其中有這樣一個(gè)問(wèn)題:“今有圓材埋在壁中,不知大小;以鋸鋸之,深一寸,鋸道長(zhǎng)一尺.問(wèn)徑幾何?”其意為:今有一圓柱形木材,埋在墻壁中,不知其大小,用鋸去鋸該材料,鋸口深1寸,鋸道長(zhǎng)1尺.問(wèn)這塊圓柱形木料的直徑是多少?長(zhǎng)為1丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中,截面圖如圖所示(陰影部分為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分). 已知弦AB=1尺,弓形高CD=1寸,估算該木材鑲嵌在墻中的體積約為 (　　) 注:1丈=10尺=100寸,π≈3.14,sin22.5≈513 A.600立方寸 B.610立方寸 C.620立方寸 D.633立方寸 【解析】選D.連接OA,OB,OD, 設(shè)☉O的半徑為R寸, 則(R-1)2+52=R2,所以R=13. sin∠AOD=ADAO=513. 所以∠AOD≈22.5,即∠AOB≈45. 故∠AOB≈π4. 所以S弓形ACB=S扇形OACB-S△OAB =12π4132-121012≈6.33(平方寸). 所以該木材鑲嵌在墻中的體積為V=S弓形ACB100≈633立方寸. 二、填空題(每小題5分,共15分) 8.如圖是某老師講解歐陽(yáng)修《賣油翁》的課件用圖,若銅錢的直徑為3 cm,中間有邊長(zhǎng)為0.25 cm的正方形孔,則隨機(jī)向銅錢上滴一滴油(油滴的大小忽略不計(jì)),則油滴正好落入孔中的概率是________. 【解析】銅錢的面積S1=π322=9π4(cm2),中間方孔的面積為S2=142=116(cm2),所求概率P=S2S1=136π. 答案:136π 9.《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問(wèn)題:“今有五等諸侯,共分橘子六十顆,人別加三顆.問(wèn):五人各得幾何?”其意思為“有5個(gè)人分60個(gè)橘子,他們分得的橘子數(shù)成公差為3的等差數(shù)列,問(wèn)5人各得多少橘子.”這個(gè)問(wèn)題中,得到橘子最少的人所得的橘子個(gè)數(shù)是________. 【解析】設(shè)等差數(shù)列{an},首項(xiàng)a1,公差為3,則S5=5a1+5423=60,解得a1=6,即得到橘子最少的人所得的橘子個(gè)數(shù)是6. 答案:6 10.黎曼函數(shù)是一個(gè)特殊的函數(shù),由德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)提出,在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用,其定義為R(x)=1p,當(dāng)x=qpp,q為整數(shù),qp為既約分?jǐn)?shù),0,當(dāng)x=0,1或[0,1]上的無(wú)理數(shù). 若f(x)是定義在R上且最小正周期為1的函數(shù),當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=R(x),則f173+f(lg 20)=__________. 【解析】由函數(shù)的最小正周期為1可得f173+f(lg 20)=f5+23+f(lg 2+1) =f23+f(lg 2)=13+0=13. 答案:13 【加固訓(xùn)練】 《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,里面記載著一道分配問(wèn)題,某教師根據(jù)這一問(wèn)題的思想設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖,則輸出的值是________. 【解析】由題意,輸出的值是1001+13=75. 答案:75