第五單元 四邊形 第二十二課時 平行四邊形與多邊形 基礎達標訓練 1. (xx臨沂)一個多邊形的內角和是外角和的2倍，這個多邊形是(　　) A. 四邊形 B. 五邊形 C. 六邊形 D. 八邊形 2. (xx湘西州)如圖，在?ABCD中，AC、BD相交于點O，則下列結論中錯誤的是(　　) A. OA＝OC B. ∠ABC＝∠ADC C. AB＝CD D. AC＝BD 第2題圖 　　　第3題圖 3. (xx麓山國際實驗學校二模)小敏不慎將一塊平行四邊形玻璃打碎成如圖的四塊，為了能在商店配到一塊與原來相同的平行四邊形玻璃，他帶了兩塊碎玻璃，其編號應該是(　　) A. ①②　　 B. ①④　　 C. ③④　　 D. ②③ 4. (xx蘇州)如圖，在正五邊形ABCDE中，連接BE，則∠ABE的度數為(　　) A. 30 B. 36 C. 54 D. 72 ,第4題圖)　,第5題圖) 5. (xx麗水)如圖，在?ABCD中，連接AC，∠ABC＝∠CAD＝45，AB＝2，則BC的長是(　　) A. B. 2 C. 2 D. 4 6. (xx眉山)如圖，EF過?ABCD對角線的交點O，交AD于E，交BC于F.若?ABCD的周長為18，OE＝1.5，則四邊形EFCD的周長為(　　) A. 14 B. 13 C. 12 D. 10 　,第6題圖) ,第7題圖) 7. (xx青島)如圖，?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AE⊥BC，垂足為E，AB＝，AC＝2，BD＝4，則AE的長為(　　) A. B. C. D. 第8題圖 8. (xx孝感)如圖，六邊形ABCDEF的內角都相等，∠DAB＝60，AB＝DE.則下列結論成立的個數是(　　) ①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF＝CD；④四邊形ACDF是平行四邊形；⑤六邊形ABCDEF既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. (xx廣東省卷)一個n邊形的內角和是720，那么n＝________． 10. (xx武漢)如圖，在?ABCD中，∠D＝100，∠DAB的角平分線AE交DC于點E，連接BE，若AE＝AB，則∠EBC的度數為________． ,第10題圖)　　,第11題圖) 11. (xx寧夏)如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在點A′處，若∠1＝∠2＝50，則∠A′為________． 12. (xx連云港)如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F，若∠EAF＝56，則∠B＝________. ,第12題圖) ,第13題圖) 13. (人教八下P51第12題改編)如圖，在四邊形ABCD中，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26，∠ADB＝90，則四邊形ABCD的面積是________． 14. (8分)(xx菏澤)如圖，E是?ABCD的邊AD的中點，連接CE并延長交BA的延長線于F，若CD＝6，求BF的長． ,第14題圖) 15. (8分)(xx樂山)如圖，延長?ABCD的邊AD到點F，使DF＝DC，延長CB到點E，使BE＝BA，分別連接點A、E和點C、F. 求證：AE＝CF. ,第15題圖) 16. (8分)已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中點，直線AE交DC的延長線于點F.試判斷四邊形ABFC的形狀，并證明你的結論． 第16題圖 17. (9分)(xx咸寧)如圖，點B，E，C，F在一條直線上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC. (1)求證：△ABC≌△DFE； (2)連接AF，BD，求證：四邊形ABDF是平行四邊形． 第17題圖 18. (9分)(xx攀枝花)如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分別為E、F，AE、CF分別與BD交于點G和H，且AB＝2. (1)若tan∠ABE＝2，求CF的長； (2)求證：BG＝DH. 第18題圖 能力提升訓練 1. (xx威海)如圖，在?ABCD中，∠DAB的平分線交CD于點E，交BC的延長線于點G，∠ABC的平分線交CD于點F，交AD的延長線于點H，AG與BH交于點O，連接BE.下列結論錯誤的是(　　) A. BO＝OH B. DF＝CE C. DH＝CG D. AB＝AE ,第1題圖)　　　,第2題圖) 2. (xx泰安)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E是邊CD上的一點，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于點F，P是EB延長線上一點，下列結論：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC. 其中正確結論的個數為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3. (xx長沙希望杯初賽)在△ABC中，點D在BC上，點F在AC上，點E在AB上，四邊形FDEA是平行四邊形，且AB＝AC＝BC，則△ABC與四邊形FDEA的周長之比是________． ,第3題圖)　　　,第4題圖) 4. (xx長沙中考模擬卷一)如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E、F分別是邊AD、AB的中點，EF交AC于點H，則的值為________． 第5題圖 5. (xx南充)如圖，在?ABCD中，過對角線BD上一點P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，S△BPG＝1，則S?AEPH＝________ 6. (9分)(xx泰安)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中點，F是AC延長線上的一點． (1)若ED⊥EF，求證：ED＝EF； (2)在(1)的條件下，若DC的延長線與FB交于點P，試判定四邊形ACPE是否為平行四邊形？并證明你的結論(請先補全圖形，再解答)； (3)若ED＝EF，ED與EF垂直嗎？若垂直給出證明，若不垂直說明理由． 第6題圖 拓展培優(yōu)訓練 1. (10分)如圖，在?ABCD中，P1、P2、P3…Pn－1是BD的n等分點，連接AP2，并延長交BC于點E，連接APn－2并延長交CD于點F，連接EF. (1)求證：EF∥BD； (2)設?ABCD的面積是S，若S△AEF＝S，求n的值． 答案 1. C　2. D　3. D　4. B　 5. C　【解析】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，又∵∠ABC＝∠CAD＝45，∴∠ACB＝∠ABC＝45，∴∠BAC＝180－45－45＝90，AB＝AC，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∴BC＝＝＝2. 6. C　【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，在△OAE和△OCF中，，∴△OAE≌△OCF(ASA)，∴CF＝AE，OE＝OF，∵OE＝1.5，∴EF＝2OE＝3，∵?ABCD的周長為18，∴AD＋DC＝9，∴四邊形EFCD的周長＝DE＋EF＋CF＋CD＝DE＋AE＋CD＋EF＝AD＋CD＋EF＝9＋3＝12. 7. D　【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AC＝2，BD＝4，∴AO＝OC＝1，BO＝OD＝2，又∵AB＝，∴AB2＋AO2＝BO2，∴∠BAO＝90，在Rt△BAC中，BC＝＝＝，∵S△ABC＝ABAC＝BCAE，∴AE＝＝＝. 第8題解圖 8. D　【解析】如解圖，連接DF、AC，∵內角都相等，∴六邊形ABCDEF是正六邊形，∴每個內角為120，又∵∠DAB＝60，∴∠FAD＝60，根據四邊形的內角和為360，可知∠EDA＝60，故AB∥DE, ①正確；∵六邊形的內角都相等，則∠EFA＝∠FAB＝120，又∵∠DAB＝60，∴∠FAD＝60，∴∠EFA＋∠FAD＝180，∴EF∥AD，同理，BC∥AD，即EF∥AD∥BC, ②正確；∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴AF＝CD，③正確；∵∠E＝∠B，AB＝BC＝DE＝EF，∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴AC＝DF，∵AF＝DC，∴四邊形ACDF是平行四邊形，④正確；正六邊形ABCDEF既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，⑤正確． 9. 6　【解析】∵180(n－2)＝720，∴n＝6. 10. 30　【解析】∵在?ABCD中，∠D＝100，AB∥DC，AD∥BC，∴∠ABC＝∠D＝100，∴∠DAB＝180－∠D＝80， ∵AE平分∠DAB，∴∠AED＝∠BAE＝∠DAE＝40，又∵AE＝AB，∴在等腰三角形ABE中，∠ABE＝70，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝30. 11. 105　【解析】由折疊的性質知：∠2＝∠DBA′＝50，∠ADB＝∠BDA′，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBG，∴∠BDG＝∠DBG，又∵∠1＝∠BDG＋∠DBG，∠1＝∠2＝50，∴∠BDG＝25，根據三角形的內角和為180，∴在△DBA′中，∠A ′＝180－50－25＝105. 12. 56　【解析】在四邊形AECF中，有兩個內角是直角，根據“四邊形內角和等于360”得∠EAF＋∠C＝180，又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B＋∠C＝180，∴∠B＝∠EAF＝56. 13. 120　【解析】在△AOD中，∠ADB＝90，AD＝12，OD＝5，根據勾股定理得OA2＝OD2＋AD2＝52＋122＝169，解得OA＝13，又∵AC＝26，∴OC＝13，∴OA＝OC，又∵OD＝OB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠ADB＝90，即AD⊥BD，∴S四邊形ABCD＝ADBD＝12(5＋5)＝120. 14. 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，CD＝6， ∴AD∥BC，AB＝CD＝6， ∵E為AD的中點， ∴AE＝AD＝BC， ∴AE為△CBF的中位線， ∴A為BF的中點， ∴BF＝2AB＝12. 15. 證明：在?ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC， ∵AB＝BE，CD＝DF， ∴BE＝DF， 又∵AF＝AD＋DF，EC＝EB＋BC， ∴AF＝EC， 又∵AF∥EC， ∴四邊形AECF是平行四邊形， ∴AE＝CF. 16. 解：四邊形ABFC是平行四邊形． 證明如下：∵CD∥AB， ∴∠CFE＝∠BAE，∠FCE＝∠ABE， ∵E是BC的中點， ∴CE＝BE， ∴△CFE≌△BAE(AAS)， ∴EF＝AE， ∴四邊形ABFC是平行四邊形． 17. 證明：(1)∵BE＝FC， ∴BE＋EC＝EC＋CF， ∴BC＝FE， 在△ABC和△DFE中， ， ∴△ABC≌△DFE(SSS)； (2)連接AF，BD， 第17題解圖 由(1)知△ABC≌△DFE， ∴∠ABC＝∠DFE， ∴AB∥DF， 又∵AB＝DF， ∴四邊形ABDF是平行四邊形． 18. (1)解：∵在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝2， ∴AE＝2BE， 又∵AE2＋BE2＝AB2， ∴(2BE)2＋BE2＝(2)2， 解得BE＝2， ∴AE＝4， 又∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AF∥EC， 又∵AE⊥BC，CF⊥AD， ∴AE∥CF， ∴四邊形AECF是平行四邊形， ∴CF＝AE＝4； (2)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD＝BC且AD∥BC，∠FDB＝∠EBD， 由(1)可知四邊形AECF是平行四邊形， ∴EC＝AF，∠AEC＝∠AFC， 又∵BE＋EC＝BC，FD＋AF＝AD， ∴BE＝FD， 又∵∠AEB＝∠CFD，即∠GEB＝∠HFD， ∴在△GEB和△HFD中， ， ∴△GEB≌△HFD(ASA)， ∴BG＝DH. 能力提升訓練 1. D　【解析】∵AH∥CG，∴∠H＝∠HBG，∵∠HBG＝∠HBA，∴∠H＝∠HBA，∴AH＝AB，同理AB＝BG，AD＝DE，BC＝CF，∵AD＝BC，∴DE＝CF，∴DF＝CE，故B正確；∵AD＝BC，∴DH＝CG，故C正確；∵AH＝AB，AO平分∠HAB，∴BO＝HO，故A正確． 2. D　【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，∴∠CEB＝∠ABE，∵CE＝BC，∴∠CEB＝∠CBE，∴∠CBE＝∠ABE，∴BE平分∠CBF，故①正確；設CF交BE于O，∵CE＝CB，CF⊥BE于O，∴∠COE＝∠COB，∵OC＝OC，∴Rt△CEO≌Rt△CBO，∴∠ECO＝∠BCO，∴CF平分∠DCB，故②正確；∵CE∥BF，∴∠CFB＝∠ECF，∴∠CFB＝∠BCF，∴BF＝BC，故③正確；∵BF＝BC，BO⊥CF，∴直線BO是線段CF的垂直平分線，∵點P在OB上，∴PF＝PC，故④正確，綜上，正確結論的個數共4個． 3. 　【解析】∵四邊形FDEA是平行四邊形，∴AE∥DF，∴AB∥DF，∴∠B＝∠FDC，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠FDC，∴FD＝FC，同理可證∠B＝∠EDB，∴EB＝ED，∴四邊形FDEA的周長為AE＋ED＋DF＋AF＝AE＋EB＋FC＋AF＝AB＋AC，四邊形FDEA周長為AC＋AB兩條線段長，設BC＝2a，則△ABC周長為8a，四邊形FDEA周長為6a，∴△ABC與四邊形FDEA的周長之比為＝. 4. 　【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，∵點E、F分別是邊AD、AB的中點，∴EF∥BD，∴△AFH∽△ABO，∴＝，∴AH＝AO，∴AH＝AC，HC＝AC，∴＝. 5. 4　【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，又∵EF∥BC，GH∥AB，∴四邊形BEPG、四邊形GPFC、四邊形PHDF、四邊形AEPH都是平行四邊形，∵BD是平行四邊形ABCD、平行四邊形BEPG、平行四邊形PHDF的對角線，平行四邊形的對角線將平行四邊形分成兩個全等的三角形，∴S△ABD＝S△CBD，S△PHD＝S△PFD，S△BPG＝S△BEP，S?AEPH＝S?GPFC，又∵CG＝2BG，∴S?GPFC＝2S?BGPE＝4S△BPG＝4，∴S?AEPH＝4. 6. (1)證明：在?ABCD中，AD＝BC， AD∥BC， ∵AD＝AC，AD⊥AC， ∴AC＝BC，AC⊥BC， 如解圖，連接CE， ∵E為AB中點， 第6題解圖 ∴AE＝EC， ∴∠ACE＝∠BCE＝45， ∴∠DAE＝∠ECF＝135， 又∵∠AED＋∠CED＝90，∠CEF＋∠CED＝90， ∴∠AED＝∠CEF， ∴△AED≌△CEF(ASA)， ∴ED＝EF； (2)解：補全圖形如解圖，四邊形ACPE是平行四邊形．證明如下： ∵△AED≌△CEF， ∴AD＝CF， ∴AC＝CF， 又∵CP∥AE， ∴CP為△FAB的中位線， ∴CP＝AE， ∴四邊形ACPE是平行四邊形； (3)解：ED⊥EF.證明如下： 過點E作EH⊥AF于點H，延長PE作EG⊥DA交DA延長線于點G， ∵AE＝EC， ∠EAG＝∠HCE＝45， ∴△AGE≌△CHE(AAS)， ∴EG＝EH， 又∵ED＝EF， ∴Rt△DEG≌Rt△FEH(HL)， ∴∠ADE＝∠CFE， ∴∠DEA＝∠FEC， ∴∠DEA＋∠DEC＝∠FEC＋∠DEC＝90， ∴∠DEF＝90， ∴ED⊥EF. 拓展培優(yōu)訓練 1. (1)證明：∵AD∥BC，AB∥DC， ∴△Pn－2FD∽△Pn－2AB，△P2BE∽△P2DA， ∴＝＝，＝＝， ∴＝， ∴EF∥BD； (2)解：由(1)可知＝， ∴S△AFD＝S，同理可得S△ABE＝S， ∵＝， ∴＝＝1－＝， ∴S△ECF＝()2S， ∵S△AEF＝S， ∴S＝S－2S－()2S，即1－－＝，解得n＝6.