18.2.3　正方形 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握正方形的概念、性質(zhì)和判定方法,并會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算.(難點(diǎn)) 2.理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別.(重點(diǎn)) 學(xué)習(xí)過(guò)程 一、合作探究 閱讀教材P58~59內(nèi)容,完成下面問(wèn)題: 1.小學(xué)已學(xué)過(guò)正方形四條邊都　　　;正方形四個(gè)角都是　　　. 正方形定義:有一組鄰邊相等,并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形. 從正方形的定義中看出,有三層意義:　　　　;　　　　　　;　　　　　　　　　. 2.正方形是矩形嗎?是菱形嗎?為什么?正方形具有哪些性質(zhì)呢? 只要矩形再有一組鄰邊相等,這樣的特殊矩形是正方形; 只要菱形再有一個(gè)內(nèi)角為90,這樣的特殊矩形是正方形. 3.因此我們說(shuō)正方形是特殊的矩形,所以具有矩形的所有性質(zhì); 它又是菱形,所以它又具有菱形的一切性質(zhì),歸納如下: 正方形性質(zhì): (1)邊的性質(zhì):對(duì)邊　　　,四條邊都　　　. (2)角的性質(zhì):四個(gè)角都是　角.即∠A=∠B=∠　　=∠　　=　　, ∠ABD=　　　　=　　　　=　　　　=45. (3)對(duì)角線的性質(zhì):兩條對(duì)角線互相　　　且　　　,每條對(duì)角線　　分一組對(duì)角.由ABCD是正方形,可得OA=　　=　　=OD,AC⊥　　　. (4)對(duì)稱性:是軸對(duì)稱圖形,有(　　)條對(duì)稱軸.而矩形、菱形都只有(　　)條對(duì)稱軸. (5)邊長(zhǎng)與對(duì)角線長(zhǎng)的關(guān)系:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (6)正方形的面積:①邊長(zhǎng)的　　　?、趦蓷l對(duì)角線　　　　　　　　. 4.平行四邊形、菱形、矩形、正方形四者之間的關(guān)系: 5.怎樣判定一個(gè)四邊形是正方形呢?把你所想的判定方法寫出來(lái)并和同學(xué)們交流、證明. 歸納總結(jié)出判定正方形的方法如下: 判定方法:(1)從四邊形到正方形: (2)從平行四邊形到正方形: (3)從矩形到正方形: (4)從菱形到正方形: 提示判定正方形的一般順序:先證它是平行四邊形,再證有一組鄰邊相等(或一個(gè)角是直角),最后證它有一個(gè)角是直角(或有一組鄰邊相等).理解成:先證它是矩形,再證有一組鄰邊相等;或先證它是菱形,再證有一個(gè)角是直角. 二、自主學(xué)習(xí) 【例題】已知,如圖,四邊形ABCD是正方形,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O. 求證:△ABO,△BCO,△CDO,△DAO是全等的等腰直角三角形. 證明:∵四邊形ABCD是正方形, ∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO. ∴△ABO,△BCO,△CDO,△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 變式　已知:如圖,正方形ABCD,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,AC=4. 則(1)∠BAC=　　　,∠AOB=　　　. (2)與OA相等的線段有　　　　　,AB=　　　　. (3)正方形的周長(zhǎng)是　　　　,面積是　　　. 三、跟蹤練習(xí) 1.下列四邊形中,對(duì)角線相等且互相垂直平分的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.平行四邊形 B.正方形 C.菱形 D.矩形 2.在四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90,如果再添加一個(gè)條件,即可推出該四邊形是正方形,那么這個(gè)條件可以是(　　) A.∠D=90 B.AB=CD C.AD=BC D.BC=CD 3.(長(zhǎng)春中考)如圖,點(diǎn)E在正方形ABCD的邊CD上,若△ABE的面積為8,CE=3,則線段BE的長(zhǎng)為　　　　. 4.如圖所示,已知?ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E是BD延長(zhǎng)線上的點(diǎn),且△ACE是等邊三角形. (1)求證:四邊形ABCD是菱形; (2)若∠AED=2∠EAD,求證:四邊形ABCD是正方形. 四、達(dá)標(biāo)檢測(cè) 1.下列命題,正確的有(　　) ①對(duì)角線相等的菱形是正方形?、谒臈l邊都相等的四邊形是正方形?、鬯膫€(gè)角相等的四邊形是正方形?、軐?duì)角線互相垂直的矩形是正方形?、輰?duì)角線垂直且相等的四邊形是正方形 A.①② B.②③ C.①④ D.③⑤ 2.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是(　　) A.四條邊相等 B.對(duì)角線互相垂直且平分 C.對(duì)角線平分一組對(duì)角 D.對(duì)角線相等 3.正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是(　　) A.四個(gè)角相等 B.對(duì)角線互相垂直且平分 C.對(duì)角線相等 D.對(duì)角互補(bǔ) 4.正方形的四條邊都　　　　,四個(gè)角都是　　　　,對(duì)角線　　　　　　. 5.如果一個(gè)四邊形既是菱形,又是矩形,那么這個(gè)四邊形一定是　　　　　　. 6.P為正方形ABCD內(nèi)部一點(diǎn),且PA=PD=AD,則△PBC為　　　　　. 7.如圖,在正方形ABCD中,F在CD的延長(zhǎng)線上,CE⊥AF交AD于M,則∠MFD=　　　. 8.已知正方形的一邊長(zhǎng)為1 cm,則它的周長(zhǎng)為　　　　,面積為　　　　,對(duì)角線長(zhǎng)為　　　　. 9.已知正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2 cm,則它的邊長(zhǎng)為　　　　. 10.如圖,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)G是BC上的任意一點(diǎn),DE⊥AG于點(diǎn)E,BF∥DE,交AG于點(diǎn)F,求證:AF-BF=EF. 11.如圖,正方形ABCD中,AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)M,N分別在AC,BD上,且OM=ON,求證:BM=CN. 參考答案 一、合作探究 答案略 二、自主學(xué)習(xí) 例題　證明:∵四邊形ABCD是正方形, ∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO. ∴△ABO,△BCO,△CDO,△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 變式 (1)45　90 (2)OB,OD,OC　22 (3)82　8 三、跟蹤練習(xí) 1.B　2.D　3.5 4.證明:(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AO=CO.又∵△ACE是等邊三角形, ∴EO⊥AC,即DB⊥AC, ∴?ABCD是菱形. (2)∵△ACE是等邊三角形,∴∠AEC=60. ∵EO⊥AC,∴∠AEO=12∠AEC=30. ∵∠AED=2∠EAD,∴∠EAD=15, ∴∠ADO=∠EAD+∠AED=45, ∵四邊形ABCD是菱形, ∴∠ADC=2∠ADO=90, ∴菱形ABCD是正方形. 四、達(dá)標(biāo)檢測(cè) 1.C 2.D 3.B 4.相等;直角;相等且互相垂直平分 5.正方形 6.等腰三角形 7.45 8.4 cm;1 cm2　2cm 9.2 cm 10.證明:∵∠BAF+∠DAE=90, DE⊥AG,BF∥DE,∴BF⊥AG,∴∠BAF+∠ABF=90, ∴∠ABF=∠DAE. 又∵AB=DA,∠AFB=∠DEA=90, ∴△ABF≌△DAE, ∴BF=AE,∴AF-BF=AF-AE=EF. 11.證明:由正方形的性質(zhì)可得: OB=OC,∠BOM=∠CON=90, 又∵OM=ON, ∴△BOM≌△CON, ∴BM=CN.