方法技巧5　離散型隨機(jī)變量的應(yīng)用 【考情快遞】 主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差的應(yīng)用，常以解答題形式出現(xiàn)． 方法1：公式法 解題步驟 直接用公式計(jì)算離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差． 適用情況 適用于可直接用公式求解的問題. 【例1】?(2012黃岡中學(xué)月考)某社區(qū)舉辦2010年上海世博會知識宣傳活動，并進(jìn)行現(xiàn)場抽獎，抽獎規(guī)則是：盒中裝有10張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“世博會會徽”或“海寶”(世博會吉祥物)圖案，參加者每次從盒中抽取兩張卡片，若抽到兩張都是“海寶”卡即可獲獎． (1)活動開始后，一位參加者問：盒中有幾張“海寶”卡？主持人笑說：我只知道若從盒中抽兩張都不是“海寶”卡的概率是.求抽獎?wù)攉@獎的概率； (2)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四個人依次抽獎，抽后放回，另一個人再抽，用ξ表示獲獎的人數(shù)，求ξ的分布列及E(ξ)，D(ξ)． 解　(1)設(shè)“世博會會徽”卡有n張， 由＝，得n＝6，故“海寶”卡有4張， 抽獎?wù)攉@獎的概率為＝. (2)由題意知，符合二項(xiàng)分布，且ξ～B，故ξ的分布列為P(ξ＝k)＝Ck4－k(k＝0,1,2,3,4)或 ξ 0 1 2 3 4 P 4 C3 C22 C3 4 由ξ的分布列知，E(ξ)＝4＝， D(ξ)＝4＝. 方法2：方程法 解題步驟 ① 利用題干條件列方程； ②利用方程計(jì)算概率問題． 適用情況 適用于基本事件的個數(shù)可以用集合理論來說明的問題. 【例2】?某工廠在試驗(yàn)階段生產(chǎn)出了一種零件，該零件有A、B兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)需要檢測，設(shè)各項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)與否互不影響．若有且僅有一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為，至少一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為.按質(zhì)量檢驗(yàn)規(guī)定：兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)都達(dá)標(biāo)的零件為合格品． (1)求一個零件經(jīng)過檢測，為合格品的概率是多少？ (2)依次任意抽出5個零件進(jìn)行檢測，求其中至多3個零件是合格品的概率是多少？ (3)依次任意抽取該零件4個，設(shè)ξ表示其中合格品的個數(shù)，求Eξ與Dξ. 解　(1)設(shè)A、B兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別為P1、P2，由題意得： 解得或所以P＝P1P2＝， 即一個零件經(jīng)過檢測，為合格品的概率為. (2)任意抽出5個零件進(jìn)行檢測，其中至多3個零件是合格品的概率為1－C5－C5＝. (3)依題意知ξ～B， 故E(ξ)＝4＝2，D(ξ)＝4＝1. 方法運(yùn)用訓(xùn)練5 1．(2011雅禮中學(xué)英特班質(zhì)檢)A、B兩位同學(xué)各有五張卡片，現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進(jìn)行游戲，當(dāng)出現(xiàn)正面朝上時A贏得B一張卡片，否則B贏得A一張卡片．規(guī)定擲硬幣的次數(shù)達(dá)9次時，或在此前某人已贏得所有卡片時游戲終止．設(shè)X表示游戲終止時擲硬幣的次數(shù)． (1)求X的取值范圍； (2)求X的數(shù)學(xué)期望E(X)． 解　(1)設(shè)正面出現(xiàn)的次數(shù)為m，反面出現(xiàn)的次數(shù)為n， 則可得： 當(dāng)m＝5，n＝0或m＝0，n＝5時，x＝5. 當(dāng)m＝6，n＝1或m＝1，n＝6時，X＝7. 當(dāng)m＝7，n＝2或m＝2，n＝7時，X＝9. 所以X的所有可能取值為：5,7,9. (2)P(X＝5)＝25＝＝； P(X＝7)＝2C7＝； P(X＝9)＝1－－＝； E(X)＝5＋7＋9＝. 2．甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽，而前一局的失敗者輪空，比賽按這種規(guī)則一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止，設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，求： (1)打滿3局比賽還未停止的概率； (2)比賽停止時已打局?jǐn)?shù)ξ的分布列與期望E(ξ)． 解　令A(yù)k，Bk，Ck分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝． (1)由獨(dú)立事件同時發(fā)生與互斥事件至少有一個發(fā)生的概率公式知，打滿3局比賽還未停止的概率為 P(A1C2B3)＋P(B1C2A3)＝＋＝. (2)ξ的所有可能值為2,3,4,5,6，且 P(ξ＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝＋＝， P(ξ＝3)＝P(A1C2C3)＋P(B1C2C3)＝＋＝， P(ξ＝4)＝P(A1C2B3B4)＋P(B1C2A3A4) ＝＋＝， P(ξ＝5)＝P(A1C2B3A4A5)＋P(B1C2A3B4B5) ＝＋＝， P(ξ＝6)＝P(A1C2B3A4C5)＋P(B1C2A3B4C5) ＝＋＝， 故有分布列 ξ 2 3 4 5 6 P 從而E(ξ)＝2＋3＋4＋5＋6＝(局)． 3．在某校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投3次；在A處每投進(jìn)一球得3分，在B處每投進(jìn)一球得2分；如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃，否則投第三次，某同學(xué)在A處的命中率q1為0.25，在B處的命中率為q2，該同學(xué)選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用ξ表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為 ξ 0 2 3 4 5 P 0.03 P1 P2 P3 P4 (1)求q2的值； (2)求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)； (3)試比較該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大?。? 解　(1)設(shè)該同學(xué)在A處投中為事件A， 在B處投中為事件B，則事件A，B相互獨(dú)立， 且P(A)＝0.25，P()＝0.75，P(B)＝q2，P()＝1－q2. 根據(jù)分布列知ξ＝0時，P( )＝P()P()P() ＝0.75(1－q2)2＝0.03，所以1－q2＝0.2，q2＝0.8. (2)當(dāng)ξ＝2時，P1＝P(B＋ B)＝P(B)＋P(　B) ＝P()P(B)P()＋P()P()P(B) ＝0.75q2(1－q2)2＝1.5q2(1－q2)＝0.24. 當(dāng)ξ＝3時，P2＝P(A )＝P(A)P()P()＝0.25(1－q2)2＝0.01， 當(dāng)ξ＝4時，P3＝P(BB)＝P()P(B)P(B)＝0.75q＝0.48， 當(dāng)ξ＝5時，P4＝P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB) ＝P(A)P()P(B)＋P(A)P(B)＝0.25q2(1－q2)＋0.25q2＝0.24， 所以隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ 0 2 3 4 5 P 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望 E(ξ)＝00.03＋20.24＋30.01＋40.48＋50.24＝3.63. (3)該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分的概率為 P(BB＋BB＋BB)＝P(BB)＋P(BB)＋P(BB) ＝2(1－q2)q＋q＝0.896； 該同學(xué)選擇(1)中方式投籃得分超過3分的概率為0.48＋0.24＝0.72. 由此看來該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分的概率大． 4．(2011效實(shí)中學(xué)1次月考)一個袋中裝有若干個大小相同的黑球，白球和紅球．已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是. (1)若袋中共有10個球，①求白球的個數(shù)；②從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)． (2)求證：從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球的概率不大于.并指出袋中哪種顏色的球個數(shù)最少． (1)解?、儆洝皬拇腥我饷鰞蓚€球，至少得到一個白球”為事件A，設(shè)袋中白球的個數(shù)為x， 則P(A)＝1－＝，得到x＝5.故白球有5個． ②隨機(jī)變量ξ的取值為0,1,2,3， 由于P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝， ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 P ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0＋1＋2＋3＝. (2)證明　設(shè)袋中有n個球，其中y個黑球， 由題意得y＝n，由2y＜n,2y≤n－1，所以≤. 記“從袋中任意摸出兩個球，至少有1個黑球”為事件B，則P(B)＝＝＋＝＋≤＋＝. 所以白球的個數(shù)比黑球多，白球個數(shù)多于n，紅球的個數(shù)少于.故袋中紅球個數(shù)最少． 6