第六章　圖形的變化 第一節(jié)　圖形的對(duì)稱與折疊 貴陽(yáng)中考考情預(yù)測(cè) 近五年貴陽(yáng)中考考情分析 2019年中考預(yù)測(cè) 年份 考點(diǎn) 知識(shí)點(diǎn) 題型 題號(hào) 分值 預(yù)計(jì)2019年的試題中“圖形的對(duì)稱與折疊”仍會(huì)出現(xiàn)在解答題中，考查折疊問(wèn)題的可能性較大，有一定的難度，區(qū)分度較大，考生要特別注意. xx 圖形的對(duì)稱 軸對(duì)稱的性質(zhì) 解答 20 10 圖形的折疊 圖形折疊的方法 解答 24 12 xx 圖形的折疊 圖形折疊的性質(zhì) 填空 15 4 xx 圖形的對(duì)稱 軸對(duì)稱 解答 25 12 xx 圖形的對(duì)稱與折疊 圖形對(duì)稱與折疊的性質(zhì) 解答 25 12 xx 圖形的折疊 圖形折疊的性質(zhì) 解答 24 12 貴陽(yáng)近年真題試做 　軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形 1．(xx貴陽(yáng)適考)從下列四張卡片中任取一張，卡片上的圖形是軸對(duì)稱圖形的概率為(　C　) 　　　　　　　　　　　　 　　　 　A.　　　 B.　　　 C.　　　 D．1 　圖形的對(duì)稱與折疊 2．(xx貴陽(yáng)適考)如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)E是射線CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△DCE沿DE折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′. (1)若點(diǎn)C′剛好落在對(duì)角線BD上時(shí)，BC′＝____ ； (2)若點(diǎn)C′剛好落在線段AB的垂直平分線上時(shí)，求CE的長(zhǎng)； (3)若點(diǎn)C′剛好落在線段AD的垂直平分線上時(shí)，求CE的長(zhǎng)． 解：(1)BC′ ＝BD－DC′ ＝BD－DC ＝ 10－6 ＝4.故應(yīng)填：4； (2)如圖①，連接CC′. ∵點(diǎn)C′在AB的垂直平分線上， ∴ 點(diǎn)C′在DC 的垂直平分線上． ∴CC′＝ DC′＝ DC.∴△DCC′是等邊三角形． ∴∠CDC′＝60.∴∠CDE＝∠C′DE＝30. ∴DE＝2CE.設(shè)CE＝x，則DE＝2x. 在Rt△CDE中，由勾股定理，得(2x)2－x2＝62. ∴x＝2，即CE的長(zhǎng)為2； (3)作AD的垂直平分線，交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N. ①當(dāng)點(diǎn)C′在矩形內(nèi)部時(shí)，如圖②. ∵點(diǎn)C′在AD的垂直平分線上，∴DM＝4. ∵DC′＝6，∴MC′＝2.∴NC′＝6－2. 設(shè)CE＝y(tǒng)，則NE＝4－y，EC′＝y(tǒng). 在Rt△ENC′中，(4－y)2 ＋(6－2)2＝y(tǒng)2， ∴y＝9－3，即CE的長(zhǎng)為9－3； 圖②　　圖③ ②當(dāng)點(diǎn)C′在矩形外部時(shí)，如圖③. 同①的方法可得MC′＝2. ∴C′N＝6＋2. 設(shè)CE＝z，則EN＝z－4. 在Rt△ENC′中，由勾股定理，得 (z－4)2＋(6＋2)2＝z2. ∴z＝9＋3，即CE＝9＋3. 綜上所述，點(diǎn)C′剛好落在線段AD的垂直平分線上時(shí)，CE的長(zhǎng)為9－3或9＋3. 貴陽(yáng)中考考點(diǎn)清單 　軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱 軸對(duì)稱圖形 軸對(duì)稱 圖形定義 如果一個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形就叫軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸. 如果兩個(gè)圖形對(duì)折后，這兩個(gè)圖形能夠完全重合，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸. 性質(zhì) 對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分. 對(duì)應(yīng)線 段相等 AB＝①__AC__ AB＝A′B′， BC＝B′C′，AC＝A′C′ 對(duì)應(yīng)角相等 ∠B＝∠C ∠A＝②__∠A′__ ， ∠C＝∠C′，∠B＝∠B′ 區(qū)別 (1)軸對(duì)稱圖形是一個(gè)具有特殊形狀的圖形，只對(duì)一個(gè)圖形而言； (2)對(duì)稱軸不一定只有一條. (1)軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，必須涉及兩個(gè)圖形；(2)只有一條對(duì)稱軸. 關(guān)系 (1)沿對(duì)稱軸對(duì)折，兩部分重合； (2)如果把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成“兩個(gè)圖形”，那么這“兩個(gè)圖形”就關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱. (1)沿對(duì)稱軸翻折，兩個(gè)圖形重合； (2)如果把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形拼在一起，看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形. 溫馨提示 1．常見(jiàn)的軸對(duì)稱圖形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圓． 2．折疊的性質(zhì)：折疊的實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱，折疊前后的兩圖形全等，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等． 3．凡是在幾何圖形中出現(xiàn)“折疊”這個(gè)字眼時(shí)，第一反應(yīng)即存在一組全等圖形，其次找出與要求幾何量相關(guān)的條件量． (1)與三角形結(jié)合： ①若涉及直角，則優(yōu)先考慮直角三角形的性質(zhì)(勾股定理及斜邊上的中線等于斜邊的一半)，若為含特殊角的直角三角形，則應(yīng)利用其邊角關(guān)系計(jì)算； ②若涉及兩邊(角)相等，則利用等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)計(jì)算，若存在60角，則利用等邊三角形性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算，一般會(huì)作出高線構(gòu)造特殊角的直角三角形進(jìn)行求解； ③若含有中位線，則需利用中位線的位置及數(shù)量關(guān)系進(jìn)行量的代換． (2)與四邊形結(jié)合： ①與平行四邊形、矩形、菱形、正方形結(jié)合，往往會(huì)利用其特殊性質(zhì)求解； ②若為一般的四邊形，則可通過(guò)構(gòu)造特殊的三角形或四邊形求解． 　中心對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱 中心對(duì)稱圖形 中心對(duì)稱 圖形定義 如果一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180后能與它自身重合，我們就把這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心. 如果一個(gè)圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180后與另一個(gè)圖形重合，我們就說(shuō)這兩個(gè)圖形中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做它們的對(duì)稱中心. 性質(zhì) 對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等. 對(duì)應(yīng)點(diǎn) 點(diǎn)A與點(diǎn)C，點(diǎn)B與點(diǎn)D. 點(diǎn)A與點(diǎn)A′，點(diǎn)B與點(diǎn)B′，點(diǎn)C與點(diǎn)C′. 對(duì)應(yīng)線段 AB＝CD，AD＝BC A B＝A′B′，④__BC__＝B′C′，AC＝A′C′ 對(duì)應(yīng)角 ∠A＝∠C， ⑤__∠B__＝∠D ∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′ 區(qū)別 中心對(duì)稱圖形是指具有某種特性的一個(gè)圖形． 中心對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的關(guān)系. 聯(lián)系 把中心對(duì)稱圖形的兩部分看成“兩個(gè)圖形”，則這“兩個(gè)圖形”成中心對(duì)稱． 把成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)“整體”，則“整體”是一個(gè)中心對(duì)稱圖形. 規(guī)律總結(jié) 常見(jiàn)的中心對(duì)稱圖形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、正六邊形、圓等． 中考典題精講精練 　軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形 例1　下列汽車標(biāo)志中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是(　C　) 【解析】正確判斷一個(gè)圖形是否是軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，要根據(jù)定義進(jìn)行判斷． A．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；B.既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；C.既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；D.是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意． 1．(xx永州中考)譽(yù)為全國(guó)第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上銘刻著500多方古今名家碑文，其中懸針篆文具有較高的歷史意義和研究?jī)r(jià)值．下面四個(gè)懸針篆文文字明顯不是軸對(duì)稱圖形的是(　C　) 2．(xx衡陽(yáng)中考)下列生態(tài)環(huán)保標(biāo)志中，是中心對(duì)稱圖形的是(　B　) 　圖形的對(duì)稱與折疊 例2　如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝4，AD＝12，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)M處，折痕為PE，此時(shí)PD＝3. (1)求MP的值； (2)在AB邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)F，且不與點(diǎn)A，B重合．當(dāng)AF等于多少時(shí)，△MEF的周長(zhǎng)最??？ (3)若點(diǎn)G，Q是AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)A，B重合，GQ＝2.當(dāng)四邊形MEQG的周長(zhǎng)最小時(shí)，求最小周長(zhǎng)值．(計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)) 【解析】　(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，得PD＝PH＝3，CD＝MH＝4，∠H＝∠D＝90，然后利用勾股定理可計(jì)算出MP的值； (2)作點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′E交AB于點(diǎn)F，利用兩點(diǎn)之間線段最短可得點(diǎn)F即為所求，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AD，垂足為N，求出AM，AM′的值，再證明ME＝MP，接著利用勾股定理計(jì)算出MN，可得NM′的值，然后證明△AFM′∽△NEM′，可利用相似比計(jì)算出AF； (3)由(2)知點(diǎn)M′是點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，在EN上截取ER＝2，連接M′R交AB于點(diǎn)G，再過(guò)點(diǎn)E作EQ∥RG，交AB于點(diǎn)Q，易得QE＝GR，而GM＝GM′，于是MG＋QE＝M′R，利用兩點(diǎn)之間線段最短可得此時(shí)MG＋EQ最小，于是四邊形MEQG的周長(zhǎng)最小，在Rt△M′RN中，利用勾股定理計(jì)算出M′R，易得四邊形MEQG的最小周長(zhǎng)． 【答案】　解：(1)由折疊的性質(zhì)，知PD＝PH＝3，AB＝CD＝MH＝4，∠H＝∠D＝90，∴MP＝5; (2)如圖①，作點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′E交AB于點(diǎn)F，點(diǎn)F即為所求， ∴AM＝ AM′＝4. 過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AD，垂足為N，ME＝MP＝5. 在Rt△ENM中，MN＝＝3，∴NM′＝11. 由 △AFM′∽△NEM′，得＝.∴AF＝. ∴當(dāng)AF＝時(shí)，△MEF的周長(zhǎng)最??； 　 (3)如圖②，由(2)知點(diǎn)M′是點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)． 在EN上截取ER＝2，連接M′R交AB于點(diǎn)G，再過(guò)點(diǎn)E作EQ∥RG，交AB于點(diǎn)Q，易得QE＝GR. 又∵GM＝GM′， 則MG＋EQ＝M′G＋GR＝M′R最?。? ∴四邊形MEQG的周長(zhǎng)最小， 此時(shí)M′R＝＝5， ∴四邊形MEQG的最小周長(zhǎng)值是7＋5. ,　 3．(xx資陽(yáng)中考)如圖，將矩形ABCD的四個(gè)角向內(nèi)翻折后，恰好拼成一個(gè)無(wú)縫隙無(wú)重疊的四邊形EFGH，EH＝12 cm，EF＝16 cm，則邊AD的長(zhǎng)是(　C　) A．12 cm B．16 cm C．20 cm D．28 cm 4．(xx貴陽(yáng)中考)如圖，將一副直角三角板拼放在一起得到四邊形ABCD，其中∠BAC＝45，∠ACD＝30，點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，連接AE，將△ADE沿AE所在直線翻折得到△AD′E，D′E交AC于點(diǎn)F，AB＝6 cm. (1)AE的長(zhǎng)為 ____ cm； (2)試在線段AC上確定一點(diǎn)P，使得DP＋EP的值最小，并求出這個(gè)最小值； (3)求點(diǎn)D′到BC的距離． 解：(1)∵∠BAC＝45，∠B＝90，∴AB＝BC＝6. ∴AC＝12.∵∠ACD＝30，∠DAC＝90. ∴CD＝8.∵點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)， ∴AE＝CD＝4.故應(yīng)填：4； (2)∵Rt△ADC中，∠ACD＝30， ∴∠ADC＝60. ∵E為CD邊上的中點(diǎn)，∴DE＝AE. ∴△ADE為等邊三角形． ∵將△ADE沿AE所在直線翻折得到△AD′E， ∴△AD′E為等邊三角形．∴∠AED′＝60. ∵∠EAC＝∠DAC－∠EAD＝30， ∴∠EFA＝90，即AC所在的直線垂直平分線段ED′， ∴點(diǎn)E，D′關(guān)于直線AC對(duì)稱． 連接DD′交AC于點(diǎn)P，此時(shí)DP＋EP值為最小，且DP＋EP＝DD′. ∵△ADE是等邊三角形，AD＝AE＝4， ∴DD′＝2AD＝12， 即DP＋EP最小值為12 cm； (3)連接CD′，BD′，過(guò)點(diǎn)D′作D′G⊥BC于點(diǎn)G.∵AC垂直平分線段ED′， ∴AE＝AD′，CE＝CD′. ∵AE＝EC，∴AD′＝CD′＝4. ∴△ABD′≌△CBD′(SSS)． ∴∠D′BG＝45.∴D′G＝GB. 設(shè)D′G長(zhǎng)為x cm，則CG長(zhǎng)為(6－x)cm. 在Rt△GD′C中，x2＋(6－x)2＝(4)2， 解得x1＝3－，x2＝3＋(不合題意，舍去)． ∴點(diǎn)D′到BC的距離為(3－)cm.