3.2　函數(shù)模型及其應(yīng)用 3．2.1　幾類不同增長的函數(shù)模型 課時目標(biāo)　1.利用計算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長差異．結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)模型增長的含義.2.收集一些社會生活中普遍使用的函數(shù)模型(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等)的實例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用.3.初步學(xué)會分析具體的實際問題，建模解決實際問題． 1．三種函數(shù)模型的性質(zhì) 函數(shù) 性質(zhì) y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上 的增減性 ________ ________ ________ 圖象的變化 隨x的增大逐漸 變“________” 隨x的增大逐漸 趨于______ 隨n值而不同 2.三種函數(shù)模型的增長速度比較 (1)對于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)和冪函數(shù)y＝xn(n>0)在區(qū)間(0，＋∞)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內(nèi)，ax會小于xn，但由于________的增長快于________的增長，因此總存在一個x0，當(dāng)x>x0時，就會有__________． (2)對于對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>1)和冪函數(shù)y＝xn(n>0)，在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管在x的一定范圍內(nèi)，logax可能會大于xn，但由于____________的增長慢于________的增長，因此總存在一個x0，當(dāng)x>x0時，就會有______________． 一、選擇題 1．今有一組數(shù)據(jù)如下： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.40 7.5 12 18.01 現(xiàn)準(zhǔn)備了如下四個答案，哪個函數(shù)最接近這組數(shù)據(jù)(　　) A．v＝log2t B．v＝ C．v＝ D．v＝2t－2 2．從山頂?shù)缴较碌恼写木嚯x為20千米．某人從山頂以4千米/時的速度到山下的招待所，他與招待所的距離s(千米)與時間t(小時)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為(　　) - 1 - / 7 3．某公司為了適應(yīng)市場需求對產(chǎn)品結(jié)構(gòu)做了重大調(diào)整，調(diào)整后初期利潤增長迅速，后來增長越來越慢，若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤y與時間x的關(guān)系，可選用(　　) A．一次函數(shù) B．二次函數(shù) C．指數(shù)型函數(shù) D．對數(shù)型函數(shù) 4．某自行車存車處在某天的存車量為4 000輛次，存車費為：變速車0.3元/輛次，普通車0.2元/輛次．若當(dāng)天普通車存車數(shù)為x輛次，存車費總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為(　　) A．y＝0.2x(0≤x≤4 000) B．y＝0.5x(0≤x≤4 000) C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) 5．已知f(x)＝x2－bx＋c且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)，則有(　　) A．f(bx)≥f(cx) B．f(bx)≤f(cx) C．f(bx)<f(cx) D．f(bx)，f(cx)大小不定 6．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為l1＝5.06x－0.15x2和l2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則可能獲得的最大利潤是________元．(　　) A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51 題　號 1 2 3 4 5 6 答　案 二、填空題 7．一種專門侵占內(nèi)存的計算機(jī)病毒，開機(jī)時占據(jù)內(nèi)存2KB，然后每3分鐘自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的2倍，那么開機(jī)后經(jīng)過________分鐘，該病毒占據(jù)64MB內(nèi)存(1MB＝210KB)． 8．近幾年由于北京房價的上漲，引起了二手房市場交易的火爆．房子幾乎沒有變化，但價格卻上漲了，小張在2010年以80萬元的價格購得一套新房子，假設(shè)這10年來價格年膨脹率不變，那么到2020年，這所房子的價格y(萬元)與價格年膨脹率x之間的函數(shù)關(guān)系式是____________． 三、解答題 9．用模型f(x)＝ax＋b來描述某企業(yè)每季度的利潤f(x)(億元)和生產(chǎn)成本投入x(億元)的關(guān)系．統(tǒng)計表明，當(dāng)每季度投入1(億元)時利潤y1＝1(億元)，當(dāng)每季度投入2(億元)時利潤y2＝2(億元)，當(dāng)每季度投入3(億元)時利潤y3＝2(億元)．又定義：當(dāng)f(x)使[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2的數(shù)值最小時為最佳模型． (1)當(dāng)b＝，求相應(yīng)的a使f(x)＝ax＋b成為最佳模型； (2)根據(jù)題(1)得到的最佳模型，請預(yù)測每季度投入4(億元)時利潤y4(億元)的值． 10．根據(jù)市場調(diào)查，某種商品在最近的40天內(nèi)的價格f(t)與時間t滿足關(guān)系f(t)＝ (t∈N)，銷售量g(t)與時間t滿足關(guān)系g(t)＝－t＋(0≤t≤40，t∈N)．求這種商品的日銷售額(銷售量與價格之積)的最大值． 能力提升 11．某種商品進(jìn)價每個80元，零售價每個100元，為了促銷擬采取買一個這種商品，贈送一個小禮品的辦法，實踐表明：禮品價值為1元時，銷售量增加10%，且在一定范圍內(nèi)，禮品價值為(n＋1)元時，比禮品價值為n元(n∈N*)時的銷售量增加10%. (1)寫出禮品價值為n元時，利潤yn(元)與n的函數(shù)關(guān)系式； (2)請你設(shè)計禮品價值，以使商店獲得最大利潤． 12．已知桶1與桶2通過水管相連如圖所示，開始時桶1中有a L水，t min后剩余的水符合指數(shù)衰減函數(shù)y1＝ae－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt，假定5 min后，桶1中的水與桶2中的水相等，那么再過多長時間桶1中的水只有L? 1．根據(jù)實際問題提供的兩個變量的數(shù)量關(guān)系可構(gòu)建和選擇正確的函數(shù)模型．同時，要注意利用函數(shù)圖象的直觀性，來確定適合題意的函數(shù)模型． 2．常見的函數(shù)模型及增長特點 (1)直線y＝kx＋b (k>0)模型，其增長特點是直線上升； (2)對數(shù)y＝logax (a>1)模型，其增長緩慢； (3)指數(shù)y＝ax (a>1)模型，其增長迅速． 3.2　函數(shù)模型及其應(yīng)用 3．2.1　幾類不同增長的函數(shù)模型 知識梳理 1．增函數(shù)　增函數(shù)　增函數(shù)　陡　穩(wěn)定　2.(1)y＝ax　y＝xn　ax>xn　(2)y＝logax　y＝xn　logax<xn 作業(yè)設(shè)計 1．C　[將t的5個數(shù)值代入這四個函數(shù)，大體估算一下，很容易發(fā)現(xiàn)v＝的函數(shù)比較接近表中v的5個數(shù)值．] 2．C　[由題意知s與t的函數(shù)關(guān)系為s＝20－4t，t∈[0,5]，所以函數(shù)的圖象是下降的一段線段，故選C.] 3．D　[由于一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的增長不會后來增長越來越慢，只有對數(shù)函數(shù)的增長符合．] 4．C　[由題意得：y＝0.2x＋0.3(4 000－x) ＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)．] 5．B　[由f(1＋x)＝f(1－x)，知對稱軸＝1，b＝2. 由f(0)＝3，知c＝3. 此時f(x)＝x2－2x＋3. 當(dāng)x<0時，3x<2x<1， 函數(shù)y＝f(x)在x∈(－∞，1)上是減函數(shù)， f(bx)<f(cx)； 當(dāng)x＝0時，f(bx)＝f(cx)； 當(dāng)x>0時，3x>2x>1， 函數(shù)y＝f(x)在x∈(1，＋∞)上是增函數(shù)， f(bx)<f(cx)． 綜上，f(bx)≤f(cx)．] 6．B　[設(shè)該公司在甲地銷售x輛， 則在乙地銷售(15－x)輛． 由題意可知所獲利潤l＝5.06x－0.15x2＋2(15－x) ＝－0.15(x－10.2)2＋45.606. 當(dāng)x＝10時，lmax≈45.6(萬元)．] 7．45 解析　設(shè)過n個3分鐘后，該病毒占據(jù)64MB內(nèi)存，則22n＝64210＝216?n＝15，故時間為153＝45(分鐘)． 8．80(1＋x)10 解析　一年后的價格為80＋80x＝80(1＋x)． 二年后的價格為80(1＋x)＋80(1＋x)x ＝80(1＋x)(1＋x)＝80(1＋x)2， 由此可推得10年后的價格為80(1＋x)10. 9．解　(1)b＝時，[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2 ＝14(a－)2＋， ∴a＝時，f(x)＝x＋為最佳模型． (2)f(x)＝＋，則y4＝f(4)＝. 10．解　據(jù)題意，商品的價格隨時間t變化，且在不同的區(qū)間0≤t<20與20≤t≤40上，價格隨時間t的變化的關(guān)系式也不同，故應(yīng)分類討論．設(shè)日銷售額為F(t)． ①當(dāng)0≤t<20，t∈N時， F(t)＝(t＋11)(－t＋) ＝－(t－)2＋(＋946)， 故當(dāng)t＝10或11時，F(xiàn)(t)max＝176. ②當(dāng)20≤t≤40時，t∈N時， F(t)＝(－t＋41)(－t＋)＝(t－42)2－， 故當(dāng)t＝20時，F(xiàn)(t)max＝161. 綜合①、②知當(dāng)t＝10或11時，日銷售額最大，最大值為176. 11．解　(1)設(shè)未贈禮品時的銷售量為m， 則當(dāng)禮品價值為n元時，銷售量為m(1＋10%)n. 利潤yn＝(100－80－n)m(1＋10%)n ＝(20－n)m1.1n (0<n<20，n∈N*)． (2)令yn＋1－yn≥0， 即(19－n)m1.1n＋1－(20－n)m1.1n≥0. 解得n≤9， 所以y1<y2<y3<…<y9＝y(tǒng)10， 令yn＋1－yn＋2≥0， 即(19－n)m1.1n＋1－(18－n)m1.1n＋2≥0， 解得n≥8. 所以y9＝y(tǒng)10>y11>…>y19. 所以禮品價值為9元或10元時，商店獲得最大利潤． 12．解　由題意得ae－5n＝a－ae－5n， 即e－5n＝.① 設(shè)再過t min后桶1中的水有L， 則ae－n(t＋5)＝，e－n(t＋5)＝.② 將①式平方得e－10n＝.③ 比較②、③得－n(t＋5)＝－10n，∴t＝5. 即再過5 min后桶1中的水只有L. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！