2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變換 3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式1課后習(xí)題 新人教A版必修4.doc
3.1.1 兩角差的余弦公式
課后篇鞏固探究
1.cos 285等于( )
A.6-24 B.6+24
C.2-64 D.-2+64
解析cos 285=cos(360-75)
=cos 75=cos(30+45)
=cos 30cos 45-sin 30sin 45=6-24.
答案A
2.計算cosπ4-αsinα+cosα的值是( )
A.2 B.-2 C.22 D.-22
解析cosπ4-αsinα+cosα=cos π4cosα+sin π4sinαsinα+cosα
=22(sinα+cosα)sinα+cosα=22.
答案C
3.若a=(cos 100,sin 100),b=(cos 10,sin 10),則ab=( )
A.cos 110 B.sin 110 C.1 D.0
解析ab=cos 100cos 10+sin 100sin 10=cos(100-10)=cos 90=0.
答案D
4.滿足sin αsin β=-cos αcos β的一組值是( )
A.α=β=90 B.α=18,β=72
C.α=130,β=40 D.α=140,β=40
解析由sin αsin β=-cos αcos β可得cos(α-β)=0,因此α-β=k180+90,只有C項符合.
答案C
5.若sin α-sin β=32,cos α-cos β=12,則cos(α-β)的值為( )
A.12 B.32 C.34 D.1
解析由sin α-sin β=32,cos α-cos β=12,得sin2α+sin2β-2sin αsin β=34,cos2α+cos2β-2cos αcos β=14,以上兩式相加得2-2(sin αsin β+cos αcos β)=1,所以sin αsin β+cos αcos β=12,故cos(α-β)=12.
答案A
6.若cos θ=-1213,θ∈π,3π2,則cosθ-π4= .
解析∵cos θ=-1213,θ∈π,3π2,∴sin θ=-513.
∴cosθ-π4=cos θcosπ4+sin θsinπ4
=-121322-51322=-17226.
答案-17226
7.化簡cos(α-55)cos(α+5)+sin(α-55)sin(α+5)= .
解析原式=cos [(α-55)-(α+5)]=cos(-60)=12.
答案12
8.若0<α<π2,-π2<β<0,cosπ4+α=13,cosπ4-β2=33,則cosα+β2= .
解析因為0<α<π2,所以π4<π4+α<3π4,
又cosπ4+α=13,所以sinπ4+α=223,
因為-π2<β<0,所以π4<π4-β2<π2,
又cosπ4-β2=33,所以sinπ4-β2=63.
于是cosα+β2=cos π4+α-π4-β2=
cosπ4+αcosπ4-β2+sinπ4+αsinπ4-β2=
1333+22363=539.
答案539
9.若x∈π2,π,且sin x=45,求2cosx-2π3+2cos x的值.
解因為x∈π2,π,sin x=45,所以cos x=-35.
于是2cosx-2π3+2cos x
=2cosxcos 2π3+sinxsin 2π3+2cos x
=2-12cosx+32sinx+2cos x
=3sin x+cos x=435-35=43-35.
10.已知α,β∈3π4,π,sin(α+β)=-35,sinβ-π4=1213,求cosα+π4的值.
解∵α,β∈3π4,π,
∴α+β∈3π2,2π,β-π4∈π2,3π4.
又∵sin(α+β)=-35,sinβ-π4=1213,
∴cos(α+β)=1-sin2(α+β)=45.
cosβ-π4=-1-sin2β-π4=-513.
∴cosα+π4=cos(α+β)-β-π4
=cos(α+β)cosβ-π4+sin(α+β)sinβ-π4
=45-513+-351213=-5665.
11.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,單位圓O與x軸交于點P0,以O(shè)x為始邊分別作出角α,β,α-β,其終邊分別和單位圓交于點P1,P2,P3.由|P0P3|=|P2P1|,你能推導(dǎo)出兩角差的余弦公式嗎?
解該問題實際上給出了用距離公式推導(dǎo)C(α-β)的方法.推導(dǎo)過程如下:
易知P0(1,0),P1(cos α,sin α),P2(cos β,sin β),P3(cos(α-β),sin(α-β)),
則P0P3=(cos(α-β)-1,sin(α-β)),
P2P1=(cos α-cos β,sin α-sin β),
又|P0P3|=|P2P1|,即|P0P3|2=|P2P1|2,
所以[cos(α-β)-1]2+sin2(α-β)=(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2,
化簡得cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.
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