2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第七章 第3節(jié) 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 理（含解析） 1．（xx廣東，5分）若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是(　　) A．l1⊥l4 B．l1∥l4 C．l1與l4既不垂直也不平行 D．l1與l4的位置關(guān)系不確定 解析：構(gòu)造如圖所示的正方體ABCDA1B1C1D1，取l1為AD，l2為AA1，l3為A1B1，當(dāng)取l4為B1C1時(shí)，l1∥l4，當(dāng)取l4為BB1時(shí)，l1⊥l4，故排除A，B，C，選D. 答案：D 2．（xx四川，5分）如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P在線段CC1上，直線OP與平面A1BD所成的角為α，則sin α的取值范圍是(　　) A.　　　　　　 B. C. D. 解析：易證AC1⊥平面A1BD，當(dāng)點(diǎn)P在線段CC1上從C運(yùn)動(dòng)到C1時(shí)，直線OP與平面A1BD所成的角α的變化情況：∠AOA1→→∠C1OA1點(diǎn)P為線段CC1的中點(diǎn)時(shí)，α＝，由于sin∠AOA1＝，sin∠C1OA1＝>，sin＝1，所以sin α的取值范圍是. 答案：B 2．（xx浙江，4分）如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練．已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大?。鬉B＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30，則tan θ的最大值是________．(仰角θ為直線AP與平面ABC所成角) 解析：由題意，在Rt△ABC中，sin∠ACB＝＝＝；則cos∠ACB＝.作PH⊥BC，垂足為H，連接AH，設(shè)PH＝x，則CH＝x，由余弦定理得AH＝，tan θ＝tan∠PAH＝＝，故當(dāng)＝時(shí)，tan θ取得最大值，最大值為. 3．（xx新課標(biāo)全國Ⅱ，5分）已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則(　　) A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α與β相交，且交線垂直于l D.α與β相交，且交線平行于l 解析：本題涉及直線與平面的基本知識(shí)，意在考查考生的空間想象能力、分析思想能力，難度中等偏下．由于m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，則平面α與平面β必相交，但未必垂直，且交線垂直于直線m，n，又直線l滿足l⊥m，l⊥n，則交線平行于l，故選D. 答案：D　 4．（xx廣東，5分）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面．下列命題中正確的是(　　) A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n B．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n C．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β 解析：本題考查空間線與面的平行、垂直的位置關(guān)系，考查考生空間想象能力及符號(hào)語言識(shí)別能力．A中m，n可能為平行、垂直、異面直線；B中m，n可能為異面直線；C中m應(yīng)與β中兩條相交直線垂直時(shí)結(jié)論才成立． 答案：D 5．（xx江蘇，14分）如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.過A作AF⊥SB，垂足為F，點(diǎn)E，G分別是棱SA，SC的中點(diǎn)．求證： (1)平面EFG∥平面ABC； (2)BC⊥SA. 證明：本題考查直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象能力和推理論證能力． (1)因?yàn)锳S＝AB，AF⊥SB，垂足為F，所以F是SB的中點(diǎn)．又因?yàn)镋是SA的中點(diǎn)，所以EF∥AB. 因?yàn)镋F?平面ABC，AB?平面ABC， 所以EF∥平面ABC. 同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E， 所以平面EFG∥平面ABC. (2)因?yàn)槠矫鍿AB⊥平面SBC，且交線為SB，又AF?平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因?yàn)锽C?平面SBC，所以AF⊥BC. 又因?yàn)锳B⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB?平面SAB，所以BC⊥平面SAB. 因?yàn)镾A?平面SAB，所以BC⊥SA. 6.（xx江蘇，14分）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)． 求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直線A1F∥平面ADE. 解：(1)因?yàn)锳BC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC， 又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD. 又因?yàn)锳D⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E， 所以AD⊥平面BCC1B1.又AD?平面ADE， 所以平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)因?yàn)锳1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)，所以A1F⊥B1C1. 因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1， 所以CC1⊥A1F. 又因?yàn)镃C1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1， 所以A1F⊥平面BCC1B1. 由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD. 又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，所以A1F∥平面ADE. 7．(2011天津，13分) 如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC＝45，AD＝AC＝1，O為AC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M為PD的中點(diǎn)． (1)證明PB∥平面ACM； (2)證明AD⊥平面PAC； (3)求直線AM與平面ABCD所成角的正切值． 解：(1)證明：連接BD，MO，在平行四邊形ABCD中，因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)．又M為PD的中點(diǎn)， 所以PB∥MO. 因?yàn)镻B?平面ACM，MO?平面ACM，所以PB∥平面ACM. (2)證明：因?yàn)椤螦DC＝45，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC. (3)取DO中點(diǎn)N，連接MN，AN.因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，所以MN∥PO，且MN＝PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝，所以DO＝.從而AN＝DO＝.在Rt△ANM中，tan∠MAN＝＝＝，即直線AM與平面ABCD所成角的正切值為.