2019-2020年高考數(shù)學黃金考點 直線與圓錐曲線的位置關系復習.doc
2019-2020年高考數(shù)學黃金考點 直線與圓錐曲線的位置關系復習
一.知識網(wǎng)絡結(jié)構(gòu):
2.直線與圓錐曲線的位置關系:
⑴.從幾何角度看:(特別注意)要特別注意當直線與雙曲線的漸進線平行時,直線與雙曲線只有一個交點;當直線與拋物線的對稱軸平行或重合時,直線與拋物線也只有一個交點。
⑵.從代數(shù)角度看:設直線L的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立得到。
①. 若=0,當圓錐曲線是雙曲線時,直線L與雙曲線的漸進線平行或重合;
當圓錐曲線是拋物線時,直線L與拋物線的對稱軸平行或重合。
②.若,設。.時,直線和圓錐曲線相交于不同兩點,相交。
b.時,直線和圓錐曲線相切于一點,相切。c.時,直線和圓錐曲線沒有公共點,相離。
二.常考題型解讀:題型一:直線與橢圓的位置關系:
例1.橢圓上的點到直線的最大距離是( )
A.3 B. C. D.
例2.如果橢圓的弦被點平分,則這條弦所在的直線方程是( )
A. B. C. D.
題型二:直線與雙曲線的位置關系:
例3.已知直線與雙曲線=4。
⑴若直線與雙曲線無公共點,求k的范圍;⑵若直線與雙曲線有兩個公共點,求k的范圍;
⑶若直線與雙曲線有一個公共點,求k的范圍;⑷若直線與雙曲線的右支有兩個公共點,求k的范圍;⑸若直線與雙曲線的兩支各有一個公共點,求k的范圍。
題型三:直線與拋物線的位置關系:
例4.在拋物線上求一點P,使P到焦點F與P到點的距離之和最小。
題型四:弦長問題:
直線與圓錐曲線相交時的弦長問題是一個難點,化解這個難點的方法是:設而不求,根據(jù)根與系數(shù)的關系,進行整體代入。即當直線與圓錐曲線交于點,時,則==
==
可根據(jù)直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關系得到兩根之和,兩根之積的代數(shù)式,然后再進行整體帶入求解。
例5.過雙曲線的右焦點,傾斜角為的直線交雙曲線于A、B兩點,求。
題型五:中點弦問題:求以某定點為中點的圓錐曲線的弦的方程的幾種方法:
⑴.點差法:將弦的兩個端點坐標代入曲線方程,兩式相減,即可確定弦的斜率,然后由點斜式得出弦的方程;
⑵.設弦的點斜式方程,將弦的方程與曲線方程聯(lián)立,消元后得到關于x(或y)的一元二次方程,用根與系數(shù)的關系求出中點坐標,從而確定弦的斜率k,然后寫出弦的方程;
⑶.設弦的兩個端點分別為,則這兩點坐標分別滿足曲線方程,又為弦的中點,從而得到四個方程,由這四個方程可以解出兩個端點,從而求出弦的方程。
例6.已知雙曲線方程=2。⑴求以A為中點的雙曲線的弦所在的直線方程;
⑵過點能否作直線L,使L與雙曲線交于,兩點,且,兩點的中點為?如果存在,求出直線L的方程;如果不存在,說明理由。
題型六:圓錐曲線上的點到直線的距離問題:
例7.在拋物線上求一點,使它到直線L:的距離最短,并求這個最短距離。
練 習 題
1.(09上海)過點作傾斜角為的直線,與拋物線交于兩點,則= 。
寫出所涉及到的公式:
2.(09海南)已知拋物線C的頂點坐標為原點,焦點在x軸上,直線y=x與拋物線C交于A,B兩點,
若為的中點,則拋物線C的方程為 。
3.(08寧夏海南)過橢圓的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A、B兩點,O為坐標
原點,則△OAB的面積為
4.(11全國)已知直線L過拋物線C的焦點,且與C的對稱軸垂直,L與C交于A,B兩點,,
P為C的準線上一點,則的面積為( )
A.18 B.24 C. 36 D. 48
5.(09山東)設斜率為2的直線過拋物線的焦點F,且和軸交于點A,若△OAF(O為坐標原點)的面積為4,則拋物線方程為( )
A. B. C. D.
6.(09山東)設雙曲線的一條漸近線與拋物線y=x+1 只有一個公共點,則雙曲線的離心率為( ).A. B. 5 C. D.
7.(10全國)設,分別是橢圓E:+=1(0﹤b﹤1)的左、右焦點,過的直線L與E相交于A、B兩點,且,,成等差數(shù)列。⑴求⑵若直線L的斜率為1,求b的值。
8.(11江西)已知過拋物線的焦點,斜率為的直線交拋物線于()兩點,且.⑴求該拋物線的方程;⑵為坐標原點,為拋物線上一點,若,求的值.
直線與圓錐曲線的位置關系
一.選擇題
(1)與直線2x-y+4=0平行的拋物線y= x2的切線方程是 ( )
A 2x-y+3=0 B 2x-y-3=0
C 2x-y+1=0 D 2x-y-1=0
(2) 橢圓+ y2 = 1的兩個焦點為F1、F2,過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交,一個交點為P,則| | = ( )
A. B. C. - D. 4
(3) 設雙曲線 (0<a<b)的半焦距c, 直線l過(a, 0), (0, b)兩點. 已知原點到直線l的距離為c, 則雙曲線的離心率為 ( )
A 2 B C D
(4) 已知拋物線y=2x2上兩點A(x1,y1), B(x2,y2)關于直線y=x+m對稱, 且x1x2=-, 那么m的值等于 ( )
A B C 2 D 3
(5)過雙曲線2x2-y2-8x+6=0的由焦點作直線l交雙曲線于A、B兩點, 若|AB|=4, 則這樣的直線有 ( )
A 4條 B 3條 C 2條 D 1條
(6) 如果過兩點和的直線與拋物線沒有交點,那么實數(shù)的取值范圍是 ( )
A (, +∞) B (- ∞,) C (- ∞,-) D (- ,)
(7) 設拋物線y2 = 8x的準線與x軸交點Q,若過點Q的直線l與拋物線有公共點,則直線l的斜率的取值范圍是 ( )
A. [-,] B. [-2 , 2 ] C. [-1 , 1 ] D. [-4 , 4 ]
(8) 過橢圓的左焦點F且傾斜角為60的直線交橢圓于A、B兩點, 若|FA|=2|FB|
則橢圓的離心率是 ( )
A B C D
(9) 已知F1, F2是雙曲線的兩個焦點, Q是雙曲線上任意一點, 從某一焦點引∠F1QF2平分線的垂線, 垂足為P, 則點P的軌跡是 ( )
A 直線 B 圓 C 橢圓 D 雙曲線
(10) 對于拋物線C: y2=4x, 我們稱滿足y02<4x0的點M(x0, y0)在拋物線的內(nèi)部, 若點M(x0, y0)在拋物線的內(nèi)部, 則直線l: y0y=2(x+ x0)與C ( )
A 恰有一個公共點 B恰有二個公共點
C 有一個公共點也可能有二個公共點 D 沒有公共點
二.填空題
(11)圓x2+2x+y2+4y-3=0上到直線x+y+1=0的距離為的點共有 個.
(12)對任意實數(shù)k,直線y=kx+b與橢圓(0≤θ≤2π)恒有公共點,則b的取值范圍是 .
(13)已知F1、F2是橢圓+y2=1的兩個焦點, P是該橢圓上的一個動點, 則|PF1||PF2|的最大值是 .
(14) 定長為l (l>)的線段AB的端點在雙曲線b2x2-a2y2=a2b2的右支上, 則AB中點M的橫坐標的最小值為 .
三.解答題
(15) 如圖,拋物線關于x軸對稱,它的頂點在坐標原點, 點P(1,2), A(x1, y1), B(x2,y2)均在直線上.
(Ⅰ)寫出該拋物線的方程及其準線方程;
(Ⅱ)當PA與PB的斜率存在且傾角互補時,
求的值及直線AB的斜率.
(16) 設橢圓方程為,過點M(0,1)的直線l交橢圓于點A、B,O是坐標原點,點P滿足,點N的坐標為,當l繞點M旋轉(zhuǎn)時,求:
(Ⅰ)動點P的軌跡方程;
(Ⅱ)的最小值與最大值.
(17) 已知雙曲線的中心在原點,右頂點為A(1,0)點P、Q
在雙曲線的右支上,支M(m,0)到直線AP的距離為1.
(Ⅰ)若直線AP的斜率為k,且,求實數(shù)m的
取值范圍;
(Ⅱ)當時,ΔAPQ的內(nèi)心恰好是點M,求此雙曲
線的方程.
(18) 設橢圓的兩個焦點是與,且橢圓上存在點P,使得直線PF2與直線PF2垂直.
(Ⅰ)求實數(shù)m的取值范圍;
(Ⅱ)設L是相應于焦點F2的準線,直線PF2與L相交于點Q. 若,求直線PF2的方程.
第十三單元
一選擇題: 1.D 2.C 3.A 4.B 5.B 6.C 7.C 8.C 9.B 10.D
二填空題: 11. 3, 12. [-1,3], 13. 4, 14. .
三解答題
(15)解(Ⅰ)由已知條件,可設拋物線的方程為
∵點P(1,2)在拋物線上,∴得=2.
故所求拋物線的方程是準線方程是x=--1.
(Ⅱ) 設直線PA的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB,
∵PA與PB的斜率存在且傾斜角互補,∴
由A(x1,y1), B(x2,y2)在拋物線上,得 ①
② ∴
∴ ∴
由①-②得直線AB的斜率
(16) (Ⅰ)解法一:直線l過點M(0,1)設其斜率為k,則l的方程為
①
記、由題設可得點A、B的坐標、是方程組
②
的解.將①代入②并化簡得,,所以
于是
設點P的坐標為則消去參數(shù)k得 ③ 當k不存在時,A、B中點為坐標原點(0,0),也滿足方程③,所以點P的軌跡方程為
解法二:設點P的坐標為,因、在橢圓上,所以 ④ ⑤. ④—⑤得,所以
當時,有
⑥并且 ⑦ 將⑦代入⑥并整理得 ⑧. 當時,點A、B的坐標為(0,2)、(0,-2),這時點P的坐標為(0,0)也滿足⑧,所以點P的軌跡方程為
(Ⅱ)解:由點P的軌跡方程知所以
故當,取得最小值,最小值為時,取得最大值,最大值為
(17) 解: (Ⅰ)由條件得直線AP的方程即因為點M到直線AP的距離為1,∵即.∵
∴解得+1≤m≤3或--1≤m≤1--. ∴m的取值范圍是(Ⅱ)可設雙曲線方程為由得.又因為M是ΔAPQ的內(nèi)心,M到AP的距離為1,所以∠MAP=45,直線AM是∠PAQ的角平分線,且M到AQ、PQ的距離均為1。因此,(不妨設P在第一象限)直線PQ方程為。直線AP的方程y=x-1,∴解得P的坐標是(2+,1+),將P點坐標代入得,所以所求雙曲線方程為 即
(18)(Ⅰ)由題設有設點P的坐標為(),由,得,化簡得 ① 將①與聯(lián)立,解得 由所以m的取值范圍是.
(Ⅱ)準線L的方程為設點Q的坐標為,則
② 將代入②,化簡得由題設,得 ,無解.將代入②,化簡得
由題設,得 解得m=2.從而得到PF2的方程