,,,,,,,,,,,,,,,,,第二章幾個重要的不等式,1柯西不等式,1.1簡單形式的柯西不等式,閱讀教材P27～P28“簡單形式的柯西不等式”的有關(guān)內(nèi)容，完成下列問題：1．簡單形式的柯西不等式定理1：對任意實數(shù)a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥____________，當向量(a，b)與向量(c，d)__________時等號成立．,(ac＋bd)2,共線,1．柯西不等式中，當實數(shù)a，b，c，d滿足什么條件時取等號？提示：當向量(a，b)與向量(c，d)共線，即ad－bc＝0，也就是ad＝bc時取等號．,答案：B,2．柯西不等式的向量形式設(shè)α，β是平面上任意兩個向量，則|α||β|_______|αβ|，當向量α，β__________時等號成立．,≥,共線,2．若柯西不等式的左邊為(a2＋b2)(d2＋c2)，右邊應(yīng)為什么？提示：(ad＋bc)2.,利用柯西不等式證明不等式,(1)若a，b∈R，求證：(a4＋b4)(a2＋b2)≥(a3＋b3)2.,證明：(1)根據(jù)柯西不等式，得(a4＋b4)(a2＋b2)＝[(a2)2＋(b2)2](a2＋b2)≥(a2a＋b2b)2＝(a3＋b3)2.,【點評】利用柯西不等式證明某些不等式比較方便，但技巧性很強，關(guān)鍵是在結(jié)構(gòu)上靈活湊出柯西不等式的形式．,1．已知a，b為非負數(shù)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)．求證：(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)≥x1x2.,利用柯西不等式求最值,若3x＋4y＝2，試求x2＋y2的最小值及取得最小值時x，y的值．,[互動探究]若將本例條件變?yōu)?x＋3y＝1，情況如何？,【點評】利用柯西不等式解決最值問題，將原式設(shè)法配湊成與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式的式子，再利用柯西不等式進行縮小或放大，通常在不等式的一邊得到一個常數(shù)，并尋找不等式取等號的條件，從而達到解題目的．,1．柯西不等式強調(diào)的是兩個正項與另外兩個正項之間的關(guān)系，對不符合形式的式子要從整體上進行拆分，“拼”“合”“變式”，轉(zhuǎn)化為某兩項間的關(guān)系，進而利用不等式求最值或取值范圍．,,,謝謝觀看！,