3.2.3指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系,一,二,一、反函數(shù)的概念【問(wèn)題思考】1.(1)已知一次函數(shù)y=2x-1,你能從方程的角度把x用y表示出來(lái)嗎?,一,二,2.填空.(1)構(gòu)成反函數(shù)的前提:函數(shù)f(x)是一一映射.(2)反函數(shù)的定義把函數(shù)f(x)的因變量作為新的函數(shù)的自變量,而把函數(shù)f(x)的自變量作為新的函數(shù)的因變量,我們就稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù).(3)反函數(shù)的記法函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)通常用y=f-1(x)表示.,,,,,一,二,二、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系【問(wèn)題思考】1.函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的解析式有何內(nèi)在聯(lián)系?提示:根據(jù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化可知y=ax可化為對(duì)數(shù)式“x=logay”,再將等式“x=logay”中的x,y互換,也就形成了對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax,從這一內(nèi)在聯(lián)系可以看出y=ax與y=logax的定義域和值域是互換的.2.函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的單調(diào)性有一致性嗎?提示:當(dāng)01時(shí),上述兩個(gè)函數(shù)均是其定義域上的增函數(shù).因此單調(diào)性具有一致性,但變化速度有差異.,一,二,3.填空.(1)關(guān)系指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)互為反函數(shù).(2)圖象特征指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng).(3)單調(diào)性當(dāng)a>1時(shí),在區(qū)間[1,+∞)內(nèi),指數(shù)函數(shù)y=ax隨著x的增長(zhǎng),函數(shù)值的增長(zhǎng)速度逐漸加快,而對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的增長(zhǎng)速度逐漸變得很緩慢.,,,,,思考辨析判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)里打“√”,錯(cuò)誤的打“”.(1)任何函數(shù)都有唯一一個(gè)反函數(shù).()(2)若函數(shù)y=logax的圖象過(guò)點(diǎn)(m,n),則函數(shù)y=ax的圖象定過(guò)點(diǎn)(n,m).()(3)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng).()答案:(1)(2)√(3)√,探究一,探究二,探究三,思維辨析,求反函數(shù)【例1】求下列函數(shù)的反函數(shù):,分析:按照求反函數(shù)的基本步驟求解即可.解:(1)由y=log2x,得x=2y,,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟求函數(shù)的反函數(shù)的主要步驟:(1)從y=f(x)中解出x=φ(y);(2)x,y互換;(3)標(biāo)明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值域),簡(jiǎn)記為“一解、二換、三寫(xiě)”.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練1求函數(shù)y=2x+1(x<0)的反函數(shù).解:由y=2x+1,得2x=y-1,∴x=log2(y-1),∴y=log2(x-1).又∵x<0,∴0<2x<1,∴1<2x+1<2.∴所求函數(shù)的反函數(shù)為y=log2(x-1)(1<x0,且a≠1,則函數(shù)y=ax與y=loga(-x)的圖象只能是()(2)將y=2x的圖象(),再作關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)的圖象,可得到函數(shù)y=log2(x+1)的圖象.A.先向上平行移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度B.先向右平行移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度C.先向左平行移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度D.先向下平行移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解析:(1)方法一:首先,曲線y=ax只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面,從而排除A,C.其次,從單調(diào)性著眼.y=ax與y=loga(-x)的單調(diào)性正好相反,又可排除D.故選B.方法二:若01,則曲線y=ax上升且過(guò)點(diǎn)(0,1),而曲線y=loga(-x)下降且過(guò)點(diǎn)(-1,0),只有B滿(mǎn)足條件.方法三:如果注意到y(tǒng)=loga(-x)的圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)圖象為y=logax,又y=logax與y=ax互為反函數(shù)(圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)),則可直接選B.(2)本題是關(guān)于圖象的平移變換和對(duì)稱(chēng)變換,可求出解析式或利用幾何圖形直觀推斷.答案:(1)B(2)D,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟互為反函數(shù)的圖象特點(diǎn):(1)互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng);圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù).(2)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性一致.(3)若一奇函數(shù)有反函數(shù),則它的反函數(shù)也是奇函數(shù).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)系的綜合應(yīng)用【例3】設(shè)方程2x+x-3=0的根為a,方程log2x+x-3=0的根為b,求a+b的值.分析:根據(jù)方程的特點(diǎn),難以從正面下手,可轉(zhuǎn)變方程形式,用數(shù)形結(jié)合的方法求解.解:將方程整理得2x=-x+3,log2x=-x+3.如圖可知,a是指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象與直線y=-x+3交點(diǎn)A的橫坐標(biāo),b是對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象與直線y=-x+3交點(diǎn)B的橫坐標(biāo).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,由于函數(shù)y=2x與y=log2x互為反函數(shù),所以它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng),由題意可得出A,B兩點(diǎn)也關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng),于是A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A(a,b),B(b,a).則A,B都在直線y=-x+3上,∴b=-a+3(A點(diǎn)坐標(biāo)代入),或a=-b+3(B點(diǎn)坐標(biāo)代入),故a+b=3.反思感悟根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的關(guān)系,利用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想可較為簡(jiǎn)便地解決有關(guān)方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,因?qū)Ψ春瘮?shù)定義理解:不清而致誤【典例】已知函數(shù)y=f(x+1)與函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng),且g(x)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1,2018),則y=f-1(x+1)的圖象過(guò)定點(diǎn).錯(cuò)解:∵g(x)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1,2018),∴y=f(x+1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(2018,1).∴y=f-1(x+1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1,2018).以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何訂正?你怎么防范?提示:錯(cuò)解過(guò)程是把f(x+1)與f-1(x+1)誤認(rèn)為是互為反函數(shù)了,實(shí)際上f(x)與f-1(x)是互為反函數(shù)的,對(duì)此不能對(duì)自變量x隨意變化拓展.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,正解:∵g(x)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1,2018),∴f(x+1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(2018,1).又∵f(x)的圖象可以看作由f(x+1)的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到的,∴f(x)過(guò)定點(diǎn)(2019,1).又∵f(x)與f-1(x)互為反函數(shù),∴f-1(x)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1,2019).再結(jié)合f-1(x)與f-1(x+1)的關(guān)系可知,f-1(x+1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(0,2019).防范措施1.防止以上錯(cuò)誤的產(chǎn)生,首先要明確反函數(shù)的求解原則和步驟,并且要清楚f(x)與f-1(x)是互為反函數(shù)的本質(zhì)是等式中的x,y進(jìn)行了互換.2.對(duì)于復(fù)合函數(shù)f(x+1)的函數(shù)的求解,可將“x+1”看成整體來(lái)對(duì)待,即由y=f(x+1)可初步得x+1=f-1(y),即y=f-1(x)-1才是y=f(x+1)的反函數(shù).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練已知函數(shù)y=f(x-2)的圖象過(guò)定點(diǎn)(2,6),則函數(shù)y=f-1(x-2)的圖象過(guò)定點(diǎn).答案:(8,0),答案:B2.函數(shù)y=x+2(x∈R)的反函數(shù)為()A.x=2-yB.x=y-2C.y=2-x(x∈R)D.y=x-2(x∈R)解析:由y=x+2(x∈R),得x=y-2(x∈R).互換x,y,得y=x-2(x∈R).答案:D,