2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次模擬考試試題 文(I) 本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，其中第II卷第（22）-（23）題為選考題，其他題為必考題?？忌鞔饡r，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效。 考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 注意事項： 1、答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名，準考證號填寫在答題卡上，認真核對條形碼上的姓名、準考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上。 2、選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案的標號，非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整，筆跡清楚。 3、請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效。 4、保持卷面清潔，不折疊，不破損。 5、做選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑。 參考公式： 樣本數(shù)據(jù)的標準差 錐體體積公式 其中為樣本平均數(shù) 其中為底面面積，為高 柱體體積公式 球的表面積，體積公式 其中為底面面積，為高 其中R為球的半徑 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1. 設(shè)集合A={n|n=3k-1,k∈Z}，B={x| |x-1|＞3}，則A∩(B)= （ A ） A. {-1，2} B.{-2，-1, 1, 2, 4} C.{1, 4} D. Φ 2. 已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），，則 （ B ） A. B. C. D. 3. 已知命題：函數(shù)在R為增函數(shù)，：函數(shù)在R為減函數(shù)，則在命題：；　?。?；　　：　和?。骸≈校婷}是（　C?。? A．， B．， C．， （D）， 4. 已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù), 且在區(qū)間單調(diào)遞增. 若實數(shù)滿足, 則的最小值是（ C ） A． B．1 C． D．2 5. 如圖的程序框圖，如果輸入三個實數(shù)a，b，c，要求輸出這三個數(shù)中最大的數(shù)，那么在空白的判斷框中，應(yīng)該填入下面四個選項中的 （ A ） A. ? B. ? C. ? D. ? 6．下列說法錯誤的是（ B ） A．自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系； B．在線性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)r的值越大，變量間的相關(guān)性越強； C．在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高； D．在回歸分析中，為0.98的模型比為0.80的模型擬合的效果好. 7. 一個質(zhì)地均勻的正四面體玩具的四個面上分別標有1、2、3、4這四個數(shù)字，若連續(xù)兩次拋擲這個玩具，則兩次向下的面上的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是( D ) A． B. C. D． 8. 函數(shù)的圖像如右圖所示，為了得到這個函數(shù)的圖像，只需將 的圖像上的所有的點 （ C ） A. 向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變; B. 向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變; C. 向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變; D. 向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變. 9. 在△ABC中，M為邊BC上任意一點，N為AM的中點，＝λ＋μ，則λ＋μ的值為 (　A　) A． B. C. D．1 10. 一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的外接球的表面積為（A） A． B． C． D． 11. 已知雙曲線滿足彖件：（1）焦點為；（2）離心率為，求得雙曲線的方程為. 若去掉條件（2），另加一個條件求得雙曲線的方程仍為，則下列四個條件中，符合添加的條件共有 （ B ） ①雙曲線上的任意點都滿足； ②雙曲線的虛軸長為4； ③雙曲線的一個頂點與拋物線y2=6x的焦點重合； ④雙曲線的漸近線方程為. A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 12．已知函數(shù)的定義域為R，當時，，且對任意的實數(shù)，，等式恒成立.若數(shù)列{}滿足，且=，則的值為( ). A．4021 B．3021 C．2241 D．2201 第Ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分，第（13）題~第（21）題為必考題，每個試題考生都必須做答，第（22）題~第（24）題為選考題，考試根據(jù)要求做答。 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分. 13.正項等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的前項和等于　　　．1022 14. 設(shè)函數(shù)f（x）=，則方程f（x）= 的解集為 {﹣1，} . 15. 已知圓 x2+y2+2x-4y+1=0，關(guān)于直線2ax-by+2=0（a，b∈R）對稱，則ab的取值范圍是 （-∞， ]. 16. 若偶函數(shù)，滿足，且時，，則方程在［－10,10］內(nèi)的根的個數(shù)為 . 10 三、 解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程和演算步驟 17．（本小題滿分12分） 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若ccosA，bcosB，acosC成等差數(shù)列 （Ⅰ）求∠B； （Ⅱ）若，，求△ABC的面積． 解：（Ⅰ）∵ccosA，BcosB，acosC成等差數(shù)列， ∴2bcosB=ccosA+acosC 由正弦定理知：a=2RsinA，c=2RsinC，b=2RsinB 代入上式得：2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，即2sinBcosB=sin（A+C）． 又A+C=π﹣B，所以有2sinBcosB=sin（π﹣B），即2sinBcosB=sinB． 而sinB≠0，所以cosB=，及0＜B＜π，得B=． （Ⅱ）由余弦定理得：cosB==， ∴=， 又a+c=，b=， ∴﹣2ac﹣3=ac，即ac=， ∴S△ABC=acsinB==． 18. (本小題滿分12分) 如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90，CD∥AB，AD=CD=AB=2，點E為AC中點．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D﹣ABC，如圖2所示． （Ⅰ）在CD上找一點F，使AD∥平面EFB； （Ⅱ）求三棱錐C-ABC的高. 解：（Ⅰ）取CD的中點F，連結(jié)EF，BF， 在△ACD中，∵E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點， ∴EF為△ACD的中位線 ∴AD∥EF， ……………2分 EF?平面EFB，AD?平面EFB ∴AD∥平面EFB． ……………4分 （Ⅱ）設(shè)點C到平面ABD的距離為h， ∵平面ADC⊥平面ABC，且BC⊥AC， ∴BC⊥平面ADC， ∴BC⊥AD，而AD⊥DC, ∴AD⊥平面BCD，即AD⊥BD. ……………8分 ∴, ∴三棱錐B﹣ACD的高BC=2，S△ACD=2， ∴= ∴可解得：h=2． ……………12分 19.(本小題滿分12分) 甲、乙兩人參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機抽取8次，畫出莖葉圖如圖所示，乙的成績中有一個數(shù)個位數(shù)字模糊，在莖葉圖中用c表示.（把頻率當作概率） （Ⅰ）假設(shè)c=5，現(xiàn)要從甲，乙兩人中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，從統(tǒng)計學(xué)的角度，你認為派哪位學(xué)生參加比較合適？ （Ⅱ）假設(shè)數(shù)字c的取值是隨機的，求乙的平均分高于甲的平均分的概率． 解：（Ⅰ）若c=5，則派甲參加比較合適，理由如下： ， ……3分 ， ， ……6分 ∵， ∴兩人的平均成績相等，但甲的成績比較穩(wěn)定，派甲參加比較合適. ……8分 （Ⅱ）若乙>甲，則（75+804+903+3+5+2+c）>85 ∴ c>5 ∴c=6, 7, 8, 9 c的所有可能取值為0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ∴乙的平均分高于甲的平均分的概率為 ……12分 20.（本小題滿分12分）如圖，已知圓是橢圓的內(nèi)接△的內(nèi)切圓, 其中為橢圓的左頂點. （Ⅰ）求圓的半徑; （Ⅱ）過點作圓的兩條切線交橢圓于兩點，G ． 證明：直線與圓相切． 解: （Ⅰ）設(shè)，過圓心作于,交長軸于 由得, 即 (1) ……………2分 而在橢圓上, (2) 由(1)、 (2)式得,解得或（舍去） ……………4分 (Ⅱ) 設(shè)過與圓相切的 直線方程為: (3) 則,即 (4) 解得 ……………6分 將(3)代入得,則異于零的解為 設(shè),，則 則直線的斜率為： ……………9分 于是直線的方程為: 即 則圓心到直線的距離 ……………12分 故結(jié)論成立. 21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)f (x)＝xlnx＋ax(a∈R) (Ⅰ)若函數(shù)f (x)在區(qū)間[ ,＋∞)上為增函數(shù)，求a的取值范圍； (Ⅱ)若對任意x∈(1,＋∞)，f (x)＞k(x－1)＋ax－x恒成立，求正整數(shù)k的值. 解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx+ax，得：f′（x）=lnx+a+1 ∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[e2，+∞）上為增函數(shù)， ∴當x∈[e2，+∞）時f′（x）≥0， ……………2分 即lnx+a+1≥0在區(qū)間[e2，+∞）上恒成立， ∴a≥-1-lnx． 又當x∈[e2，+∞）時， lnx∈[2，+∞），∴-1-lnx∈（-∞，-3]． ∴a≥-3； ……………5分 （Ⅱ）若對任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x-1）+ax-x恒成立， 即x?lnx+ax＞k（x-1）+ax-x恒成立， 也就是k（x-1）＜x?lnx+ax-ax+x恒成立， ∵x∈（1，+∞），∴x-1＞0． 則問題轉(zhuǎn)化為k＜ 對任意x∈（1，+∞）恒成立， ……………6分 設(shè)函數(shù)h（x）=，則h′(x)= ， 再設(shè)m（x）=x-lnx-2，則m′(x)=1-． ∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0， 則m（x）=x-lnx-2在（1，+∞）上為增函數(shù)， ∵m（1）=1-ln1-2=-1，m（2）=2-ln2-2=-ln2， m（3）=3-ln3-2=1-ln3＜0，m（4）=4-ln4-2=2-ln4＞0． ∴?x0∈（3，4），使m（x0）=x0-lnx0-2=0． ∴當x∈（1，x0）時，m（x）＜0，h′（x）＜0， ……………8分 ∴h(x)= 在（1，x0）上遞減， x∈（x0，+∞）時，m（x）＞0，h′（x）＞0， ∴h(x)= 在（x0，+∞）上遞增， ∴h（x）的最小值為h（x0）=． ∵m（x0）=x0-lnx0-2=0，∴l(xiāng)nx0+1=x0-1，代入函數(shù)h（x）= 得h（x0）=x0， ∵x0∈（3，4），且k＜h（x）對任意x∈（1，+∞）恒成立， ∴k＜h（x）min=x0，∴k≤3， ∴k的值為1，2，3． ……………12分 請考生從第（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按所做的第一個題目計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑。 22．（本小題滿分10分） 選修4-1：平面幾何選講 如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB的延長線與DC的延長線交于點E，且CB=CE． （Ⅰ）證明：∠D=∠E； （Ⅱ）設(shè)AD不是⊙O的直徑，AD的中點為M，且MB=MC，證明：△ADE為等邊三角形． 證明：（Ⅰ）∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形， ∴∠D=∠CBE， ∵CB=CE， ∴∠E=∠CBE， ∴∠D=∠E； ……………5分 （Ⅱ）設(shè)BC的中點為N，連接MN，則由MB=MC知MN⊥BC， ∴O在直線MN上， ∵AD不是⊙O的直徑，AD的中點為M， ∴OM⊥AD， ∴AD∥BC， ∴∠A=∠CBE， ∵∠CBE=∠E， ∴∠A=∠E， 由（Ⅰ）知，∠D=∠E， ∴△ADE為等邊三角形． ……………10分 23．（本小題滿分10分）選修4﹣4：極坐標與參數(shù)方程 極坐標系與直角坐標系xOy有相同的長度單位，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸．已知曲線C1的極坐標方程為，曲線C2的極坐標方程為ρsinθ=a（a＞0），射線，與曲線C1分別交異于極點O的四點A，B，C，D． （Ⅰ）若曲線C1關(guān)于曲線C2對稱，求a的值，并把曲線C1和C2化成直角坐標方程； （Ⅱ）求|OA|?|OC|+|OB|?|OD|的值． 解：解：（Ⅰ）C1：即 ρ2=2ρ（sinθ+cosθ）=2ρsinθ+2ρcosθ， 化為直角坐標方程為 （x﹣1）2+（y﹣1）2=2． 把C2的方程化為直角坐標方程為 y=a，因為曲線C1關(guān)于曲線C2對稱，故直線y=a經(jīng)過圓心（1，1）， 解得a=1，故C2的直角坐標方程為 y=1． ……………5分 （Ⅱ）由題意可得，； φ； ；=2cos（+φ）， ∴|OA|?|OC|+|OB|?|OD|=8sin（φ+）sinφ+8cos（+φ）cosφ =8cosφ=8=4． ……………10分 24．（本小題滿分10分）選修4-5不等式選講 設(shè)函數(shù)f（x）=|x﹣a|，a＜0． （Ⅰ）證明f（x）+f（﹣）≥2； （Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范圍． 解：（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）=|x﹣a|，a＜0， 則f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a| =|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）| =|x+|=|x|+≥2=2． ……………5分 （Ⅱ）解：f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0． 當x≤a時，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，則f（x）≥﹣a； 當a＜x＜時，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，則﹣＜f（x）＜﹣a； 當x時，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，則f（x）≥﹣． 則f（x）的值域為[﹣，+∞）， 不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即為 ＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜0， 則a的取值范圍是（﹣1，0）． ……………10分