2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第2部分 大專題綜合測7 概率與統(tǒng)計 理(含解析).doc
2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第2部分 大專題綜合測7 概率與統(tǒng)計 理(含解析)
一、選擇題(本大題共12個小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.(xx四川文,3)某學(xué)校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學(xué)生視力是否存在顯著差異,擬從這三個年級中按人數(shù)比例抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,則最合理的抽樣方法是( )
A.抽簽法 B.系統(tǒng)抽樣法
C.分層抽樣法 D.隨機(jī)數(shù)法
[答案] C
[解析] 考查隨機(jī)抽樣.
按照各種抽樣方法的適用范圍可知,年級不同產(chǎn)生差異,及按人數(shù)比例抽取,應(yīng)使用分層抽樣.選C.
2.(xx河北名師名校俱樂部模擬)根據(jù)某市環(huán)境保護(hù)局公布xx~xx這六年每年的空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù),繪制折線圖如圖.根據(jù)圖中信息可知,這六年的每年空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的中位數(shù)是( )
A.300 B.302.5
C.305 D.310
[答案] B
[解析] 該組數(shù)據(jù)為290、295、300、305、305、315共六個數(shù)據(jù),所以其中位數(shù)為=302.5.
3.(xx新課標(biāo)Ⅰ理,4)投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立,則該同學(xué)通過測試的概率為( )
A.0.648 B.0.432
C.0.36 D.0.312
[答案] A
[解析] 考查獨(dú)立重復(fù)試驗;互斥事件和概率公式.
根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗公式得,該同學(xué)通過測試的概率為C0.620.4+0.63=0.648,故選A.
4.(xx北京豐臺練習(xí))盒子中裝有形狀、大小完全相同的3個紅球和2個白球,從中隨機(jī)取出一個記下顏色后放回,當(dāng)紅球取到2次時停止取球.那么取球次數(shù)恰為3次的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 取球次數(shù)恰為3次,則第3次取得的球必為紅球,前兩次取出球中1次為白球,1次為紅球,則取球次數(shù)恰為3次的概率P==,故選B.
5.(xx山東理,8)已知某批零件的長度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布N(0,32),從中隨機(jī)取一件,其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為( )
(附:若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)
A.4.56% B.13.59%
C.27.18% D.31.74%
[答案] B
[解析] P(3<ξ<6)=[P(-6<ξ<6)-P(-3<ξ<3)]=(0.954 4-0.682 6)=0.135 9.故選B.
6.已知a>0,在可行域內(nèi)任取一點(diǎn)(x,y),如果執(zhí)行如圖的程序框圖,那么輸出數(shù)對(x,y)的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 可行域三角形的面積為S==,其中可行域內(nèi)滿足y≥ax2的區(qū)域的面積S′=∫0(x-ax2)dx=,故所求事件的概率為P==.
7.(xx中原名校聯(lián)考)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,x3,…,xn不全相等)的散點(diǎn)圖中,若所有樣本點(diǎn)(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直線y=-x+1上,則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為( )
A.- B.
C.-1 D.1
[答案] C
[解析] 因為所有樣本點(diǎn)(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直線y=-x+1上,則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)性強(qiáng),相關(guān)系數(shù)|r|=1,由相關(guān)系數(shù)計算公式
r=
=<0得r=-1.
8.某賽季甲、乙、丙、丁四名籃球運(yùn)動員五場比賽的得分情況如表:
場次得分運(yùn)動員
一
二
三
四
五
甲
12
15
13
14
16
乙
12
14
16
16
11
丙
14
15
12
16
10
丁
13
15
14
12
12
某籃球隊要從甲、乙、丙、丁四名運(yùn)動員中選一人參加集訓(xùn),你認(rèn)為應(yīng)該選( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
[答案] A
[解析] 甲=14,乙=13.8,
丙=13.4,丁=13.2.
故應(yīng)選擇甲參加集訓(xùn).
9.設(shè)不等式組 所表示的平面區(qū)域為A,現(xiàn)在區(qū)域A中任意丟進(jìn)一個粒子,則該粒子落在直線y=x下方的概率為( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 本題是線性規(guī)劃問題,數(shù)形結(jié)合可解.如圖所示,可行域為正方形,易求得面積比為.解決線性規(guī)劃的實質(zhì)是用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題,判斷可行域可以采用取特殊點(diǎn)的方法.
10.(xx新鄉(xiāng)、許昌、平頂山調(diào)研)已知i為執(zhí)行如圖所示的程序框圖輸出的結(jié)果,則二項式(i-)6的展開式中含x-2的系數(shù)是( )
A.192 B.32
C.-42 D.-192
[答案] C
[解析] 由程序框圖可知i=7,∴二項式(i-)6為(7-)6,
其通項為Tr+1=C(7)6-r(-)r
=(-1)r76-rCx3-r,令3-r=-2,∴r=5,故含x-2的系數(shù)為-76=-42.
11.(xx河南八市質(zhì)量監(jiān)測)某校為了提倡素質(zhì)教育,豐富學(xué)生們的課外活動,分別成立繪畫,象棋和籃球興趣小組,現(xiàn)有甲,乙,丙,丁四名同學(xué)報名參加,每人僅參加一個興趣小組,每個興趣小組至少有一人報名,則不同的報名方法有( )
A.12種 B.24種
C.36種 D.72種
[答案] C
[解析] 從4人中選2人并作1組,則共有CA=36種不同的報名方法.
12.設(shè)集合A={-1,1,2,3},在集合A中任取兩個數(shù)a、b(a≠b),則方程+=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的概率為( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 在A中任取兩個不同數(shù)(a,b)共有A=12種不同取法,其中表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓時,a>b>0,有C=3種取法,∴P==.
二、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分,將正確答案填在題中橫線上)
13.已知總體的各個體的值由小到大依次為2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且總體的中位數(shù)為10.5.若要使該總體的方差最小,則a、b的取值分別是________.
[答案] 10.5 10.5
[解析] 這10個數(shù)的中位數(shù)為=10.5.
這10個數(shù)的平均數(shù)為10.
要使總體方差最?。?
即(a-10)2+(b-10)2最?。?
即a2+b2-20(a+b)+200最小,
∵a>0,b>0,∴a2+b2≥(當(dāng)a=b時取等號),
∵a+b=21,∴當(dāng)a=b=10.5時,取得最小值.
14.某人拋擲一枚硬幣,出現(xiàn)正反的概率都是,構(gòu)造數(shù)列{an},使得an=,記Sn=a1+a2+…+an(n∈N*).
(1)S4=2的概率為________;
(2)若前兩次均出現(xiàn)正面,則2≤S6≤4的概率為________.
[答案] (1) (2)
[解析] (1)S4=2,需4次中有3次正面1次反面,設(shè)其概率為P1,則P1=C()3=4()4=.
(2)6次中前兩次均出現(xiàn)正面,要使2≤S6≤4,則后4次中有2次正面、2次反面或3次正面、1次反面,設(shè)其概率為P2,則P2=C()2()2+C()3=.
15.(xx青島市質(zhì)檢)設(shè)a=(3x2-2x)dx,則二項式(ax2-)6展開式中的第6項的系數(shù)為________.
[答案] -24
[解析] 本題主要考查定積分的計算和二項式定理,考查考生的運(yùn)算求解能力.
由題意知,a=(x3-x2)|=4,所以二項式為(4x2-)6,其展開式中第6項為T6=C(4x2)(-)5=-,故展開式中第6項的系數(shù)為-24.
16.為了研究某種細(xì)菌在特定環(huán)境下,隨時間變化繁殖規(guī)律,得到如下實驗數(shù)據(jù),計算得回歸直線方程為=0.85x-0.25.由以上信息,得到下表中c的值為________.
天數(shù)x(天)
3
4
5
6
7
繁殖個數(shù)y(千個)
2.5
3
4
4.5
c
[答案] 6
[解析]?。剑?,==,代入回歸直線方程中得:=0.855-0.25,解得c=6.
三、解答題(本大題共6個小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(本題滿分10分)(xx天津理,16)為推動乒乓球運(yùn)動的發(fā)展,某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運(yùn)動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運(yùn)動員3名,其中種子選手2名;乙協(xié)會的運(yùn)動員5名,其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.
(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2 名種子選手,且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”,求事件A發(fā)生的概率;
(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
[分析] (1)由古典概型和互斥事件概率計算公式計算; (2)先寫出隨機(jī)變量X的所有可能值,求出其相應(yīng)的概率,列出概率分布列再求期望.
[解析] (1)由已知,有P(A)==,
所以事件A發(fā)生的概率為.
(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4,
P(X=k)=(k=1,2,3,4),
所以隨機(jī)變量X的分布列為
X
1
2
3
4
P
所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1+2+3+4=.
18.(本題滿分12分)某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組,為了考查高中學(xué)生的作文水平與愛看課外書的關(guān)系,在本校高三年級隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生.調(diào)查結(jié)果表明:在愛看課外書的25人中有18人作文水平好,另7人作文水平一般;在不愛看課外書的25人中有6人作文水平好,另19人作文水平一般.
(1)試根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下22列聯(lián)表,并運(yùn)用獨(dú)立性檢驗思想,指出有多大把握認(rèn)為中學(xué)生的作文水平與愛看課外書有關(guān)系?
高中學(xué)生的作文水平與愛看課外書的22列聯(lián)表
愛看課外書
不愛看課外書
總計
作文水平好
作文水平一般
總計
(2)將其中某5名愛看課外書且作文水平好的學(xué)生分別編號為1、2、3、4、5,某5名愛看課外書且作文水平一般的學(xué)生也分別編號為1、2、3、4、5,從這兩組學(xué)生中各任選1人進(jìn)行學(xué)習(xí)交流,求被選取的兩名學(xué)生的編號之和為3的倍數(shù)或4的倍數(shù)的概率.
附表:
P(K2≥k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
[解析] (1)22列聯(lián)表如下:
愛看課外書
不愛看課外書
總計
作文水平好
18
6
24
作文水平一般
7
19
26
總計
25
25
50
因為K2==≈11.538>10.828.由表知,
P(K2≥10.828)≈0.001.
故有99.9%的把握認(rèn)為中學(xué)生的作文水平與愛看課外書有關(guān)系.
(2)設(shè)“被選取的兩名學(xué)生的編號之和為3的倍數(shù)”為事件A,“被選取的兩名學(xué)生的編號之和為4的倍數(shù)”為事件B.
因為事件A所包含的基本事件為:(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),共9個,基本事件總數(shù)為55=25.所以P(A)=.
因為事件B所包含的基本事件為:(1,3),(2,2),(3,1),(3,5),(4,4),(5,3),共6個.
所以P(B)=.
因為事件A、B互斥,
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.
故被選取的兩名學(xué)生的編號之和為3的倍數(shù)或4的倍數(shù)的概率是.
19.(本題滿分12分)(xx新課標(biāo)Ⅰ,19)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z (單位:千元)的影響.對近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計量的值.
(xi-)2
(wi-)2
(xi-)(yi-)
(wi-)(yi-)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
表中wi=,=wi,
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=a+bx與y=c+d哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;
(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題:
(ⅰ)年宣傳費(fèi)x=49時,年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少?
(ⅱ)年宣傳費(fèi)x為何值時,年利潤的預(yù)報值最大?
附:對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為=,=-.
[分析] 考查非線性擬合;線性回歸方程求法;利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報預(yù)測;應(yīng)用意識.
(1)依據(jù)散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布規(guī)律判斷;(2)令w=,先求出建立y關(guān)于w的線性回歸方程,即可得y關(guān)于x的回歸方程;(3)(ⅰ)利用y關(guān)于x的回歸方程先求出年銷售量y的預(yù)報值,再根據(jù)年利潤z與x、y的關(guān)系可得年利潤z的預(yù)報值;(ⅱ)根據(jù)(2)的結(jié)果列出年利潤z的預(yù)報值關(guān)于x的方程,利用二次函數(shù)求最值的方法即可求出年利潤取最大值時的年宣傳費(fèi)用.
[解析] (1)由散點(diǎn)圖可以判斷,y=c+d適合作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型.
(2)令w=,先建立y關(guān)于w的線性回歸方程,
由于===68,
=-=563-686.8=100.6.
∴y關(guān)于w的線性回歸方程為
=100.6+68w,
∴y關(guān)于x的回歸方程為=100.6+68.
(3)(ⅰ)由(2)知,當(dāng)x=49時,年銷售量y的預(yù)報值
=100.6+68=576.6,
年利潤z的預(yù)報值=576.60.2-49=66.32.
(ⅱ)根據(jù)(2)的結(jié)果知,年利潤z的預(yù)報值
=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12,
∴當(dāng)==6.8,即x=46.24時,取得最大值.
故年宣傳費(fèi)為46.24千元時,年利潤的預(yù)報值最大.
20.(本題滿分12分)我市某中學(xué)一研究性學(xué)習(xí)小組,在某一高速公路服務(wù)區(qū),從小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后,每間隔5輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查,將他們在某段高速公路的車速(km/h)分成六段:[70,75),[75,80),[80,85)[85,90),[90,95),[95,100]統(tǒng)計后得到如下圖的頻率分布直方圖.
(1)此研究性學(xué)習(xí)小組在采樣中,用到的是什么抽樣方法?并求這40輛小型汽車車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值.
(2)若從車速在[80,90)的車輛中任意抽取3輛,求車速在[80,85)和[85,90)內(nèi)都有車輛的概率.
(3)若從車速在[70,80)的車輛中任意抽取3輛,求車速在[75,80)的車輛數(shù)的數(shù)學(xué)期望.
[解析] (1)此研究性學(xué)習(xí)小組在采樣中,用到的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣.
這40輛小型汽車車速眾數(shù)的估計值為87.5,中位數(shù)的估計值為87.5.
(2)車速在[80,90)的車輛共有(0.2+0.3)40=20輛,速度在[80,85),[85,90)內(nèi)的車輛分別有8輛和12輛.
記從車速在[80,90)的車輛中任意抽取3輛車,車速在[80,85)內(nèi)的有2輛,在[85,90)內(nèi)的有1輛為事件A,車速在[80,85)內(nèi)的有1輛,在[85,90)內(nèi)的有2輛為事件B,
則P(A)+P(B)=+==.
(3)車速在[70,80)的車輛共有6輛,車速在[70,75)和[75,80)的車輛分別有2輛和4輛,若從車速在[70,80)的車輛中任意抽取3輛,設(shè)車速在[75,80)的車輛數(shù)為X,則X的可能取值為1、2、3.
P(X=1)===,
P(X=2)===,
P(X=3)===,
故分布列為
X
1
2
3
P
∴車速在[75,80)的車輛數(shù)的數(shù)學(xué)期望為E(X)=1+2+3=2.
21.(本題滿分12分)(xx洛陽市期末)在某學(xué)校的一次選拔性考試中,隨機(jī)抽取了100名考生的成績(單位:分),并把所得數(shù)據(jù)列成了如下表所示的頻數(shù)分布表:
組別
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
頻數(shù)
5
18
28
26
17
6
(1)求抽取的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)已知這次考試共有2000名考生參加,如果近似地認(rèn)為這次成績z服從正態(tài)分布N(μ,σ2)(其中μ近似為樣本平均數(shù),σ2近似為樣本方差s2),且規(guī)定82.7分是復(fù)試線,那么在這2000名考生中,能進(jìn)入復(fù)試的有多少人?(附:≈12.7,若z~N(μ,σ2),則P(μ-σ<z<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<z<μ+2σ)=0.9544.)
(3)已知樣本中成績在[90,100]中的6名考生中,有4名男生,2名女生,現(xiàn)從中選3人進(jìn)行回訪,記選出的男生人數(shù)為ξ,求ξ的分布列與期望E(ξ).
[解析] (1)樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為
=450.05+550.18+650.28+750.26+850.17+950.06=70,
s2=(-25)20.05+(-15)20.18+(-5)20.28+520.26+1520.17+2520.06=161,
(2)由(1)知,z~N(70,161),從而P(z>82.7)==0.1587,
能進(jìn)入復(fù)試的人數(shù)為20000.1587≈317.
(3)顯然ξ的取值為1,2,3,
P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,
ξ的分布列為
ξ
1
2
3
P
所以E(ξ)=1+2+3=2.
22.(本題滿分12分)(xx湖北理,20)某廠用鮮牛奶在某臺設(shè)備上生產(chǎn)A,B兩種奶制品.生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需鮮牛奶2噸,使用設(shè)備1小時,獲利1 000元;生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需鮮牛奶1.5噸,使用設(shè)備1.5小時,獲利1 200元.要求每天B產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過A產(chǎn)品產(chǎn)量的2倍,設(shè)備每天生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品時間之和不超過12小時.假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量W(單位:噸)是一個隨機(jī)變量,其分布列為
W
12
15
18
P
0.3
0.5
0.2
該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn),使其獲利最大,因此每天的最大獲利Z(單位:元)是一個隨機(jī)變量.
(1)求Z的分布列和均值;
(2)若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相互獨(dú)立,求3天中至少有1天的最大獲利超過10 000元的概率.
[分析] 本題主要考查隨機(jī)變量及其分布列、線性規(guī)劃.考查考生的應(yīng)用意識、數(shù)據(jù)處理能力及轉(zhuǎn)化化歸思想
(1)依據(jù)題意列出不等式組,并寫出目標(biāo)函數(shù);分類討論,通過可行域得出最大獲利Z的不同取值,從而得到最大獲利Z的分布列;由隨機(jī)變量的期望公式可求出數(shù)學(xué)期望.(2)由(1)中結(jié)論得到一天最大獲利超過10 000元的概率,由對立事件和二項分布的概率計算公式可得到3天中至少有1天最大獲利超過10 000元的概率.
[解析] (1)設(shè)每天A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為x,y,相應(yīng)的獲利為z,則有
(1)
目標(biāo)函數(shù)為z=1 000x+1 200y.
圖1
圖2
圖3
當(dāng)W=12時,(1)表示的平面區(qū)域如圖1,
三個頂點(diǎn)分別為A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0).
將z=1 000x+1 200y變形為
y=-x+,
當(dāng)x=2.4,y=4.8時,
直線l:y=-x+,在y軸上截距最大,
最大獲利Z=zmax=2.41 000+4.81 200=8 160(元).
當(dāng)W=15時,(1)表示的平面區(qū)域如圖2,
三個頂點(diǎn)分別為A(0,0),B(3,6),C(7.5,0).
將z=1 000x+1 200y變形為y=-x+,
當(dāng)x=3,y=6時,直線l:y=-x+在y軸上的截距最大,最大獲利Z=zmax=31 000+61 200=10 200(元).
當(dāng)W=18時 ,(1)表示的平面區(qū)域如圖3,
四個頂點(diǎn)分別為A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).
將z=1 000x+1 200y變形為y=-x+,
當(dāng)x=6,y=4時,直線l:y=-x+在y軸上的截距最大,最大獲利Z=zmax=61 000+41 200=10 800.
故最大獲利Z的分布列為
Z
8 160
10 200
10 800
P
0.3
0.5
0.2
因此,E(Z)=8 1600.3+10 2000.5+10 8000.2=9 708.
(2)由(1)知,一天最大獲利超過10 000元的概率p1=P(Z>10 000)=0.5+0.2=0.7,由二項分布,3天中至少有1天最大獲利超過10 000元的概率為p=1-(1-p1)3=1-0.33=0.973.