2019-2020年高考數(shù)學二輪專題突破 專題六 自選模塊 第3講 概率 理 1．(xx課標全國Ⅰ)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為(　　) A. B. C. D. 2．(xx陜西)從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為(　　) A. B. C. D. 3．(xx重慶)在區(qū)間[0,5]上隨機地選擇一個數(shù)p，則方程x2＋2px＋3p－2＝0有兩個負根的概率為________． 　 1.以選擇題、填空題的形式考查古典概型的基本應(yīng)用.2.將古典概型與概率的性質(zhì)相結(jié)合，考查知識的綜合應(yīng)用能力. 熱點一　古典概型 1．古典概型的概率： P(A)＝＝. 2．古典概型的兩個特點：所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等． 例1　(xx天津)某校夏令營有3名男同學A，B，C和3名女同學X，Y，Z，其年級情況如下表： 一年級 二年級 三年級 男同學 A B C 女同學 X Y Z 現(xiàn)從這6名同學中隨機選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性相同)． (1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果； (2)設(shè)M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學”，求事件M發(fā)生的概率． 　 　 　 　 　 　 　 　 思維升華　求古典概型概率的步驟： (1)反復閱讀題目，收集題目中的各種信息，理解題意； (2)判斷試驗是否為古典概型，并用字母表示所求事件； (3)利用列舉法求出總的基本事件的個數(shù)n及事件A中包含的基本事件的個數(shù)m； (4)計算事件A的概率P(A)＝. 跟蹤演練1　(1)(xx湖州二模)有兩張卡片，一張的正反面分別寫著數(shù)字0與1，另一張的正反面分別寫著數(shù)字2與3，將兩張卡片排在一起組成一個兩位數(shù)，則所組成的兩位數(shù)為奇數(shù)的概率是(　　) A. B. C. D. (2)甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就稱甲乙“心有靈犀”．現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為(　　) A. B. C. D. 熱點二　互斥事件與對立事件 1．事件A，B互斥，那么事件A＋B發(fā)生(即A，B中有一個發(fā)生)的概率，等于事件A，B分別發(fā)生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． 2．在一次試驗中，對立事件A和不會同時發(fā)生，但一定有一個發(fā)生，因此有P()＝1－P(A)． 例2　某商場在元旦舉行購物抽獎促銷活動，規(guī)定顧客從裝有編號為0,1,2,3,4的五個相同小球的抽獎箱中一次任意摸出兩個小球，若取出的兩個小球的編號之和等于7則中一等獎，等于6或5則中二等獎，等于4則中三等獎，其余結(jié)果為不中獎． (1)求中二等獎的概率； (2)求不中獎的概率． 　 　 　 　 　 　 思維升華　事件的互斥和對立是既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩個概念，要充分利用對立事件是必然有一個發(fā)生的互斥事件．在判斷這些問題時，先要判斷兩個事件是不是互斥事件(即是否不可能同時發(fā)生)，然后判斷這兩個事件是不是對立事件(即是否必然有一個發(fā)生)．在解答與兩個事件有關(guān)的問題時一定要仔細斟酌，全面考慮，防止出現(xiàn)錯誤． 跟蹤演練2　(1)設(shè)事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，則A，B之間的關(guān)系一定為(　　) A．兩個任意事件 B．互斥事件 C．非互斥事件 D．對立事件 (2)盒子中裝有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九個球，從中任意取出兩個，則這兩個球的編號之積為偶數(shù)的概率是________(結(jié)果用最簡分數(shù)表示)． 1．將一骰子拋擲兩次，所得向上的點數(shù)分別為m和n，則函數(shù)y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上為增函數(shù)的概率是(　　) A. B. C. D. 2．拋擲一枚均勻的正方體骰子(各面分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“朝上一面的數(shù)不超過2”，則P(A＋B)＝________. 提醒：完成作業(yè)　專題六　第3講 二輪專題強化練 專題六 第3講　概　率 A組　專題通關(guān) 1．(xx紹興模擬)從2名男生和2名女生中任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，每天一人，則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為(　　) A. B. C. D. 2．有一個奇數(shù)列1,3,5,7,9，…，現(xiàn)在進行如下分組，第一組有1個數(shù)為1，第二組有2個數(shù)為3,5，第三組有3個數(shù)為7,9,11，…，依此類推，則從第十組中隨機抽取一個數(shù)恰為3的倍數(shù)的概率為(　　) A. B. C. D. 3．在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　) A．至多有一張移動卡 B．恰有一張移動卡 C．都不是移動卡 D．至少有一張移動卡 4．甲乙兩人一起去游泰山，他們約定，各自獨立地從1到6號景點中任選4個進行游覽，每個景點參觀1小時，則最后一小時他們同在一個景點的概率是(　　) A. B. C. D. 5．連擲兩次骰子分別得到點數(shù)m、n，則向量(m，n)與向量(－1,1)的夾角θ>90的概率是(　　) A. B. C. D. 6．口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率為0.42，摸出白球的概率為0.28，若紅球有21個，則黑球有________個． 7．(xx寧波模擬)曲線C的方程為＋＝1，其中m，n是將一枚骰子先后投擲兩次所得點數(shù)，事件A為“方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓”，那么P(A)＝________. 8．電子鐘一天顯示的時間是從00：00到23：59，每一時刻都由四個數(shù)字構(gòu)成，則一天中任一時刻顯示的四個數(shù)字之和為23的概率為________． 9．一個均勻的正四面體的四個面上分別涂有1,2,3,4四個數(shù)字，現(xiàn)隨機投擲兩次，正四面體面朝下的數(shù)字分別為b，c. (1)z＝(b－3)2＋(c－3)2，求z＝4的概率； (2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈{1,2,3,4}，就稱該方程為“漂亮方程”，求方程為“漂亮方程”的概率． 10．現(xiàn)有8名數(shù)理化成績優(yōu)秀者，其中A1，A2，A3數(shù)學成績優(yōu)秀，B1，B2，B3物理成績優(yōu)秀，C1，C2化學成績優(yōu)秀．從中選出數(shù)學、物理、化學成績優(yōu)秀者各1名，組成一個小組代表學校參加競賽． (1)求C1被選中的概率； (2)求A1和B1不全被選中的概率． B組　能力提高 11．下列試驗中，是古典概型的個數(shù)為(　　) ①向上拋一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，觀察正面向上的概率； ②向正方形ABCD內(nèi)，任意拋擲一點P，點P恰與點C重合； ③從1,2,3,4四個數(shù)中，任取兩個數(shù)，求所取兩數(shù)之一是2的概率； ④在線段[0,5]上任取一點，求此點小于2的概率． A．0 B．1 C．2 D．3 12．擲一個骰子的試驗，事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗中，事件A＋發(fā)生的概率為(　　) A. B. C. D. 13．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲1 000次，那么第999次出現(xiàn)正面朝上的概率是________． 14．設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)． (1)求使得事件“a⊥b”發(fā)生的概率； (2)求使得事件“|a|≤|b|”發(fā)生的概率． 學生用書答案精析 第3講　概　率 高考真題體驗 1．C　[從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)共有如下10個不同的結(jié)果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數(shù)只有(3,4,5)，所以概率為.故選C.] 2．C　[取兩個點的所有情況為C＝10，所有距離不小于正方形邊長的情況有6種，概率為＝.故選C.] 3. 解析　方程x2＋2px＋3p－2＝0有兩個負根，則有 即 解得p≥2或＜p≤1，又p∈[0,5]， 則所求概率為P＝＝＝. 熱點分類突破 例1　解　(1)從6名同學中隨機選出2人參加知識競賽的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15種． (2)選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學的所有可能結(jié)果為{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6種． 因此，事件M發(fā)生的概率 P(M)＝＝. 跟蹤演練1　(1)(1)C　(2)D 解析　(1)能組成的兩位數(shù)有12,13,20,30,21,31，共6個，其中的奇數(shù)有13,21,31，共3個，因此所組成的兩位數(shù)為奇數(shù)的概率是＝，故選C. (2)根據(jù)題目條件知所有的數(shù)組(a，b)共有62＝36組，而滿足條件|a－b|≤1的數(shù)組(a，b)有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)，共有16組，根據(jù)古典概型的概率公式知所求的概率為P＝＝.故選D. 例2　解　(1)記“中二等獎”為事件A. 從五個小球中一次任意摸出兩個小球，不同的結(jié)果有{0,1}，{0,2}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共10個基本事件． 記兩個小球的編號之和為x，由題意可知，事件A包括兩個互斥事件：x＝5，x＝6. 事件x＝5的取法有2種， 即{1,4}，{2,3}， 故P(x＝5)＝＝； 事件x＝6的取法有1種，即{2,4}， 故P(x＝6)＝. 所以P(A)＝P(x＝5)＋P(x＝6)＝＋＝. (2)記“不中獎”為事件B，則“中獎”為事件，由題意可知，事件包括三個互斥事件：中一等獎(x＝7)，中二等獎(事件A)，中三等獎(x＝4)． 事件x＝7的取法有1種，即{3,4}， 故P(x＝7)＝； 事件x＝4的取法有{0,4}，{1,3}，共2種， 故P(x＝4)＝＝. 由(1)可知，P(A)＝. 所以P()＝P(x＝7)＋P(x＝4)＋P(A)＝＋＋＝. 所以不中獎的概率為P(B)＝1－P()＝1－＝. 跟蹤演練2　(1)B　(2) 解析　(1)因為P(A)＋P(B)＝＋＝＝P(A∪B)，所以A，B之間的關(guān)系一定為互斥事件． (2)九個數(shù)的編號中有5個奇數(shù)，4個偶數(shù)，兩個球的編號之積為奇數(shù)的概率為＝，所以所求概率為1－＝. 高考押題精練 1．B　[將一骰子拋擲兩次，所得向上的點數(shù)(m，n)的所有事件為(1,1)，(1,2)，…，(6,6)，共36個．由題可知，函數(shù)y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以y′＝2mx2－n≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以2m≥n，則不滿足條件的(m，n)有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6種情況，所以滿足條件的共有30種情況，則函數(shù)y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上單調(diào)遞增的概率為＝.] 2. 解析　將事件A＋B分為：事件C“朝上一面的數(shù)為1,2”與事件D“朝上一面的數(shù)為3,5”，則C，D互斥，且P(C)＝，P(D)＝，∴P(A＋B)＝P(C＋D) ＝P(C)＋P(D)＝.  二輪專題強化練答案精析 第3講　概　率 1．A　[設(shè)2名男生記為A1，A2,2名女生記為B1，B2，任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1共12種情況，而星期六安排一名男生，星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2共4種情況，則發(fā)生的概率為P＝＝，故選A.] 2．B　[由已知可得前九組共有1＋2＋3＋…＋9＝45個奇數(shù)，第十組共有10個奇數(shù)，分別是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109這10個數(shù)字，其中恰為3的倍數(shù)的數(shù)有93,99,105三個，故所求概率為P＝.] 3．A　[至多有一張移動卡包含“一張移動卡，一張聯(lián)通卡”“兩張全是聯(lián)通卡”兩個事件，它是“2張全是移動卡”的對立事件，故選A.] 4．D　[最后一個景點甲有6種選法，乙有6種選法，共有36種，他們選擇相同的景點有6種，所以P＝＝， 所以選D.] 5．A　[∵(m，n)(－1,1)＝－m＋n<0， ∴m>n. 基本事件總共有66＝36(個)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(個)． ∴P＝＝， 故選A.] 6．15 解析　1－0.42－0.28＝0.30,210.42＝50,500.30＝15. 7. 解析　試驗中所含基本事件個數(shù)為36；若表示焦點在x軸上的橢圓，則m>n，有(2,1)，(3,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15種情況， 因此P(A)＝＝. 8. 解析　因為時鐘一分鐘顯示一次，故總的顯示方法數(shù)為2460＝1 440(種)，四個數(shù)字之和為23的有09：59,18：59,19：49,19：58四種情況，故所求概率為＝. 9．解　(1)因為是投擲兩次，因此基本事件(b，c)： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16個． 當z＝4時，(b，c)的所有取值為(1,3)，(3,1)， 所以P(z＝4)＝＝. (2)①若方程一根為x＝1，則1－b－c＝0， 即b＋c＝1，不成立． ②若方程一根為x＝2，則4－2b－c＝0， 即2b＋c＝4，所以 ③若方程一根為x＝3，則9－3b－c＝0， 即3b＋c＝9，所以 ④若方程一根為x＝4，則16－4b－c＝0， 即4b＋c＝16，所以 由①②③④知，(b，c)的所有可能取值為(1,2)，(2,3)，(3,4)． 所以方程為“漂亮方程”的概率為P＝. 10．解　(1)從8人中選出數(shù)學、物理、化學成績優(yōu)秀者各1名，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件空間為 Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}，共18個基本事件組成． 由于每一個基本事件被抽取的機會均等． 因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的． 用M表示“C1恰被選中”這一事件，則 M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A2，B3，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)，(A3，B3，C1)}． 事件M由9個基本事件組成，因而P(M)＝＝. (2)用N表示“A1，B1不全被選中”這一事件， 則其對立事件表示“A1，B1全被選中”這一事件， 由于＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，事件由2個基本事件組成，所以P()＝＝. 由對立事件的概率公式得 P(N)＝1－P()＝1－＝. 11．B　[①中，硬幣質(zhì)地不均勻，不是等可能事件， 所以不是古典概型． ②④的基本事件都不是有限個，不是古典概型． ③符合古典概型的特點，是古典概型問題．] 12．C　[擲一個骰子的試驗有6種可能結(jié)果．依題意 P(A)＝＝，P(B)＝＝， ∴P()＝1－P(B)＝1－＝. ∵表示“出現(xiàn)5點或6點”的事件，因此事件A與互斥，從而P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.] 13. 解析　拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，只考慮第999次，有兩種結(jié)果：正面朝上，反面朝上，每種結(jié)果等可能出現(xiàn)，故所求概率為. 14．解　(1)由題意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}， 故(m，n)所有可能的取法共36種． a⊥b，即m－3n＝0，即m＝3n，共有2種：(3,1)，(6,2)， 所以事件a⊥b的概率為＝. (2)|a|≤|b|，即m2＋n2≤10， 共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6種，其概率為＝.