2019-2020年高考數(shù)學二輪專題突破 專題六 自選模塊 第3講 概率 理.doc
2019-2020年高考數(shù)學二輪專題突破 專題六 自選模塊 第3講 概率 理
1.(xx課標全國Ⅰ)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長,則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù),從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù),則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為( )
A. B. C. D.
2.(xx陜西)從正方形四個頂點及其中心這5個點中,任取2個點,則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為( )
A. B. C. D.
3.(xx重慶)在區(qū)間[0,5]上隨機地選擇一個數(shù)p,則方程x2+2px+3p-2=0有兩個負根的概率為________.
1.以選擇題、填空題的形式考查古典概型的基本應(yīng)用.2.將古典概型與概率的性質(zhì)相結(jié)合,考查知識的綜合應(yīng)用能力.
熱點一 古典概型
1.古典概型的概率:
P(A)==.
2.古典概型的兩個特點:所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個;每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.
例1 (xx天津)某校夏令營有3名男同學A,B,C和3名女同學X,Y,Z,其年級情況如下表:
一年級
二年級
三年級
男同學
A
B
C
女同學
X
Y
Z
現(xiàn)從這6名同學中隨機選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性相同).
(1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果;
(2)設(shè)M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學”,求事件M發(fā)生的概率.
思維升華 求古典概型概率的步驟:
(1)反復閱讀題目,收集題目中的各種信息,理解題意;
(2)判斷試驗是否為古典概型,并用字母表示所求事件;
(3)利用列舉法求出總的基本事件的個數(shù)n及事件A中包含的基本事件的個數(shù)m;
(4)計算事件A的概率P(A)=.
跟蹤演練1 (1)(xx湖州二模)有兩張卡片,一張的正反面分別寫著數(shù)字0與1,另一張的正反面分別寫著數(shù)字2與3,將兩張卡片排在一起組成一個兩位數(shù),則所組成的兩位數(shù)為奇數(shù)的概率是( )
A. B.
C. D.
(2)甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲,先由甲心中想一個數(shù)字,記為a,再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字,把乙猜的數(shù)字記為b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就稱甲乙“心有靈犀”.現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲,則他們“心有靈犀”的概率為( )
A. B.
C. D.
熱點二 互斥事件與對立事件
1.事件A,B互斥,那么事件A+B發(fā)生(即A,B中有一個發(fā)生)的概率,等于事件A,B分別發(fā)生的概率的和,即P(A+B)=P(A)+P(B).
2.在一次試驗中,對立事件A和不會同時發(fā)生,但一定有一個發(fā)生,因此有P()=1-P(A).
例2 某商場在元旦舉行購物抽獎促銷活動,規(guī)定顧客從裝有編號為0,1,2,3,4的五個相同小球的抽獎箱中一次任意摸出兩個小球,若取出的兩個小球的編號之和等于7則中一等獎,等于6或5則中二等獎,等于4則中三等獎,其余結(jié)果為不中獎.
(1)求中二等獎的概率;
(2)求不中獎的概率.
思維升華 事件的互斥和對立是既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩個概念,要充分利用對立事件是必然有一個發(fā)生的互斥事件.在判斷這些問題時,先要判斷兩個事件是不是互斥事件(即是否不可能同時發(fā)生),然后判斷這兩個事件是不是對立事件(即是否必然有一個發(fā)生).在解答與兩個事件有關(guān)的問題時一定要仔細斟酌,全面考慮,防止出現(xiàn)錯誤.
跟蹤演練2 (1)設(shè)事件A,B,已知P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=,則A,B之間的關(guān)系一定為( )
A.兩個任意事件 B.互斥事件
C.非互斥事件 D.對立事件
(2)盒子中裝有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九個球,從中任意取出兩個,則這兩個球的編號之積為偶數(shù)的概率是________(結(jié)果用最簡分數(shù)表示).
1.將一骰子拋擲兩次,所得向上的點數(shù)分別為m和n,則函數(shù)y=mx3-nx+1在[1,+∞)上為增函數(shù)的概率是( )
A. B. C. D.
2.拋擲一枚均勻的正方體骰子(各面分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6),事件A表示“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”,事件B表示“朝上一面的數(shù)不超過2”,則P(A+B)=________.
提醒:完成作業(yè) 專題六 第3講
二輪專題強化練
專題六
第3講 概 率
A組 專題通關(guān)
1.(xx紹興模擬)從2名男生和2名女生中任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動,每天一人,則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為( )
A. B.
C. D.
2.有一個奇數(shù)列1,3,5,7,9,…,現(xiàn)在進行如下分組,第一組有1個數(shù)為1,第二組有2個數(shù)為3,5,第三組有3個數(shù)為7,9,11,…,依此類推,則從第十組中隨機抽取一個數(shù)恰為3的倍數(shù)的概率為( )
A. B.
C. D.
3.在5張電話卡中,有3張移動卡和2張聯(lián)通卡,從中任取2張,若事件“2張全是移動卡”的概率是,那么概率是的事件是( )
A.至多有一張移動卡 B.恰有一張移動卡
C.都不是移動卡 D.至少有一張移動卡
4.甲乙兩人一起去游泰山,他們約定,各自獨立地從1到6號景點中任選4個進行游覽,每個景點參觀1小時,則最后一小時他們同在一個景點的概率是( )
A. B.
C. D.
5.連擲兩次骰子分別得到點數(shù)m、n,則向量(m,n)與向量(-1,1)的夾角θ>90的概率是( )
A. B.
C. D.
6.口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球,從中摸出1個球,摸出紅球的概率為0.42,摸出白球的概率為0.28,若紅球有21個,則黑球有________個.
7.(xx寧波模擬)曲線C的方程為+=1,其中m,n是將一枚骰子先后投擲兩次所得點數(shù),事件A為“方程+=1表示焦點在x軸上的橢圓”,那么P(A)=________.
8.電子鐘一天顯示的時間是從00:00到23:59,每一時刻都由四個數(shù)字構(gòu)成,則一天中任一時刻顯示的四個數(shù)字之和為23的概率為________.
9.一個均勻的正四面體的四個面上分別涂有1,2,3,4四個數(shù)字,現(xiàn)隨機投擲兩次,正四面體面朝下的數(shù)字分別為b,c.
(1)z=(b-3)2+(c-3)2,求z=4的概率;
(2)若方程x2-bx-c=0至少有一根x∈{1,2,3,4},就稱該方程為“漂亮方程”,求方程為“漂亮方程”的概率.
10.現(xiàn)有8名數(shù)理化成績優(yōu)秀者,其中A1,A2,A3數(shù)學成績優(yōu)秀,B1,B2,B3物理成績優(yōu)秀,C1,C2化學成績優(yōu)秀.從中選出數(shù)學、物理、化學成績優(yōu)秀者各1名,組成一個小組代表學校參加競賽.
(1)求C1被選中的概率;
(2)求A1和B1不全被選中的概率.
B組 能力提高
11.下列試驗中,是古典概型的個數(shù)為( )
①向上拋一枚質(zhì)地不均勻的硬幣,觀察正面向上的概率;
②向正方形ABCD內(nèi),任意拋擲一點P,點P恰與點C重合;
③從1,2,3,4四個數(shù)中,任取兩個數(shù),求所取兩數(shù)之一是2的概率;
④在線段[0,5]上任取一點,求此點小于2的概率.
A.0 B.1 C.2 D.3
12.擲一個骰子的試驗,事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”,事件B表示“小于5的點數(shù)出現(xiàn)”,則一次試驗中,事件A+發(fā)生的概率為( )
A. B. C. D.
13.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,如果連續(xù)拋擲1 000次,那么第999次出現(xiàn)正面朝上的概率是________.
14.設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m,n,令平面向量a=(m,n),b=(1,-3).
(1)求使得事件“a⊥b”發(fā)生的概率;
(2)求使得事件“|a|≤|b|”發(fā)生的概率.
學生用書答案精析
第3講 概 率
高考真題體驗
1.C [從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)共有如下10個不同的結(jié)果:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中勾股數(shù)只有(3,4,5),所以概率為.故選C.]
2.C [取兩個點的所有情況為C=10,所有距離不小于正方形邊長的情況有6種,概率為=.故選C.]
3.
解析 方程x2+2px+3p-2=0有兩個負根,則有
即
解得p≥2或<p≤1,又p∈[0,5],
則所求概率為P===.
熱點分類突破
例1 解 (1)從6名同學中隨機選出2人參加知識競賽的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15種.
(2)選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學的所有可能結(jié)果為{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6種.
因此,事件M發(fā)生的概率
P(M)==.
跟蹤演練1 (1)(1)C (2)D
解析 (1)能組成的兩位數(shù)有12,13,20,30,21,31,共6個,其中的奇數(shù)有13,21,31,共3個,因此所組成的兩位數(shù)為奇數(shù)的概率是=,故選C.
(2)根據(jù)題目條件知所有的數(shù)組(a,b)共有62=36組,而滿足條件|a-b|≤1的數(shù)組(a,b)有:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5),共有16組,根據(jù)古典概型的概率公式知所求的概率為P==.故選D.
例2 解 (1)記“中二等獎”為事件A.
從五個小球中一次任意摸出兩個小球,不同的結(jié)果有{0,1},{0,2},{0,3},{0,4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共10個基本事件.
記兩個小球的編號之和為x,由題意可知,事件A包括兩個互斥事件:x=5,x=6.
事件x=5的取法有2種,
即{1,4},{2,3},
故P(x=5)==;
事件x=6的取法有1種,即{2,4},
故P(x=6)=.
所以P(A)=P(x=5)+P(x=6)=+=.
(2)記“不中獎”為事件B,則“中獎”為事件,由題意可知,事件包括三個互斥事件:中一等獎(x=7),中二等獎(事件A),中三等獎(x=4).
事件x=7的取法有1種,即{3,4},
故P(x=7)=;
事件x=4的取法有{0,4},{1,3},共2種,
故P(x=4)==.
由(1)可知,P(A)=.
所以P()=P(x=7)+P(x=4)+P(A)=++=.
所以不中獎的概率為P(B)=1-P()=1-=.
跟蹤演練2 (1)B (2)
解析 (1)因為P(A)+P(B)=+==P(A∪B),所以A,B之間的關(guān)系一定為互斥事件.
(2)九個數(shù)的編號中有5個奇數(shù),4個偶數(shù),兩個球的編號之積為奇數(shù)的概率為=,所以所求概率為1-=.
高考押題精練
1.B [將一骰子拋擲兩次,所得向上的點數(shù)(m,n)的所有事件為(1,1),(1,2),…,(6,6),共36個.由題可知,函數(shù)y=mx3-nx+1在[1,+∞)上單調(diào)遞增,所以y′=2mx2-n≥0在[1,+∞)上恒成立,所以2m≥n,則不滿足條件的(m,n)有(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),共6種情況,所以滿足條件的共有30種情況,則函數(shù)y=mx3-nx+1在[1,+∞)上單調(diào)遞增的概率為=.]
2.
解析 將事件A+B分為:事件C“朝上一面的數(shù)為1,2”與事件D“朝上一面的數(shù)為3,5”,則C,D互斥,且P(C)=,P(D)=,∴P(A+B)=P(C+D)
=P(C)+P(D)=.
二輪專題強化練答案精析
第3講 概 率
1.A [設(shè)2名男生記為A1,A2,2名女生記為B1,B2,任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動,共有A1A2,A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,B1B2,A2A1,B1A1,B2A1,B1A2,B2A2,B2B1共12種情況,而星期六安排一名男生,星期日安排一名女生共有A1B1,A1B2,A2B1,A2B2共4種情況,則發(fā)生的概率為P==,故選A.]
2.B [由已知可得前九組共有1+2+3+…+9=45個奇數(shù),第十組共有10個奇數(shù),分別是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109這10個數(shù)字,其中恰為3的倍數(shù)的數(shù)有93,99,105三個,故所求概率為P=.]
3.A [至多有一張移動卡包含“一張移動卡,一張聯(lián)通卡”“兩張全是聯(lián)通卡”兩個事件,它是“2張全是移動卡”的對立事件,故選A.]
4.D [最后一個景點甲有6種選法,乙有6種選法,共有36種,他們選擇相同的景點有6種,所以P==,
所以選D.]
5.A [∵(m,n)(-1,1)=-m+n<0,
∴m>n.
基本事件總共有66=36(個),符合要求的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),…,(5,4),(6,1),…,(6,5),共1+2+3+4+5=15(個).
∴P==,
故選A.]
6.15
解析 1-0.42-0.28=0.30,210.42=50,500.30=15.
7.
解析 試驗中所含基本事件個數(shù)為36;若表示焦點在x軸上的橢圓,則m>n,有(2,1),(3,1),…,(6,5),共1+2+3+4+5=15種情況,
因此P(A)==.
8.
解析 因為時鐘一分鐘顯示一次,故總的顯示方法數(shù)為2460=1 440(種),四個數(shù)字之和為23的有09:59,18:59,19:49,19:58四種情況,故所求概率為=.
9.解 (1)因為是投擲兩次,因此基本事件(b,c):
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16個.
當z=4時,(b,c)的所有取值為(1,3),(3,1),
所以P(z=4)==.
(2)①若方程一根為x=1,則1-b-c=0,
即b+c=1,不成立.
②若方程一根為x=2,則4-2b-c=0,
即2b+c=4,所以
③若方程一根為x=3,則9-3b-c=0,
即3b+c=9,所以
④若方程一根為x=4,則16-4b-c=0,
即4b+c=16,所以
由①②③④知,(b,c)的所有可能取值為(1,2),(2,3),(3,4).
所以方程為“漂亮方程”的概率為P=.
10.解 (1)從8人中選出數(shù)學、物理、化學成績優(yōu)秀者各1名,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件空間為
Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)},共18個基本事件組成.
由于每一個基本事件被抽取的機會均等.
因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的.
用M表示“C1恰被選中”這一事件,則
M={(A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A1,B3,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A2,B3,C1),(A3,B1,C1),(A3,B2,C1),(A3,B3,C1)}.
事件M由9個基本事件組成,因而P(M)==.
(2)用N表示“A1,B1不全被選中”這一事件,
則其對立事件表示“A1,B1全被選中”這一事件,
由于={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2)},事件由2個基本事件組成,所以P()==.
由對立事件的概率公式得
P(N)=1-P()=1-=.
11.B [①中,硬幣質(zhì)地不均勻,不是等可能事件,
所以不是古典概型.
②④的基本事件都不是有限個,不是古典概型.
③符合古典概型的特點,是古典概型問題.]
12.C [擲一個骰子的試驗有6種可能結(jié)果.依題意
P(A)==,P(B)==,
∴P()=1-P(B)=1-=.
∵表示“出現(xiàn)5點或6點”的事件,因此事件A與互斥,從而P(A+)=P(A)+P()=+=.]
13.
解析 拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,只考慮第999次,有兩種結(jié)果:正面朝上,反面朝上,每種結(jié)果等可能出現(xiàn),故所求概率為.
14.解 (1)由題意知,m∈{1,2,3,4,5,6},n∈{1,2,3,4,5,6},
故(m,n)所有可能的取法共36種.
a⊥b,即m-3n=0,即m=3n,共有2種:(3,1),(6,2),
所以事件a⊥b的概率為=.
(2)|a|≤|b|,即m2+n2≤10,
共有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)6種,其概率為=.