2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.3.3 全稱命題與特稱命題的否定教案 北師大選修1-1 一、創(chuàng)設(shè)情境 數(shù)學(xué)命題中出現(xiàn)“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一個(gè)”等與“存在著”、“有”、“有些”、“某個(gè)”、“至少有一個(gè)”等的詞語，在邏輯中分別稱為全稱量詞與存在性量詞（用符號分別記為“ ”與“”來表示）；由這樣的量詞構(gòu)成的命題分別稱為全稱命題與存在性命題。在全稱命題與存在性命題的邏輯關(guān)系中，都容易判斷，但它們的否定形式是我們困惑的癥結(jié)所在。 二、活動嘗試 問題1：指出下列命題的形式，寫出下列命題的否定。 （1）所有的矩形都是平行四邊形； （2）每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)； （3）"xR，x2-2x+1≥0 分析：（1）"，否定：存在一個(gè)矩形不是平行四邊形； （2），否定：存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)； （3），否定：$xR，x2-2x+1<0； 這些命題和它們的否定在形式上有什么變化？ 結(jié)論：從命題形式上看，這三個(gè)全稱命題的否定都變成了存在性命題. 三、師生探究 問題2：寫出命題的否定 （1）p：$ x∈R，x2＋2x+2≤0； （2）p：有的三角形是等邊三角形； （3）p：有些函數(shù)沒有反函數(shù)； （4）p：存在一個(gè)四邊形，它的對角線互相垂直且平分； 分析：（1）" xR，x2＋2x+2>0； （2）任何三角形都不是等邊三角形； （3）任何函數(shù)都有反函數(shù)； （4）對于所有的四邊形，它的對角線不可能互相垂直或平分； 從集合的運(yùn)算觀點(diǎn)剖析：, 四、數(shù)學(xué)理論 1.全稱命題、存在性命題的否定 一般地，全稱命題P：" xM,有P（x）成立；其否定命題┓P為：$x∈M,使P（x）不成立。存在性命題P：$xM，使P（x）成立；其否定命題┓P為：" xM,有P（x）不成立。 用符號語言表示： P:"M, p(x）否定為 P: $M, P（x） P:$M, p(x）否定為 P: "M, P（x） 在具體操作中就是從命題P把全稱性的量詞改成存在性的量詞，存在性的量詞改成全稱性的量詞，并把量詞作用范圍進(jìn)行否定。即須遵循下面法則：否定全稱得存在，否定存在得全稱，否定肯定得否定，否定否定得肯定. 2.關(guān)鍵量詞的否定 詞語 是 一定是 都是 大于 小于 且 詞語的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或 詞語 必有一個(gè) 至少有n個(gè) 至多有一個(gè) 所有x成立 所有x不成立 詞語的否定 一個(gè)也沒有 至多有n-1個(gè) 至少有兩個(gè) 存在一個(gè)x不成立 存在有一個(gè)成立 五、鞏固運(yùn)用 例1 寫出下列全稱命題的否定： （1）p：所有人都晨練； （2）p："xR，x2＋x+1>0； （3）p：平行四邊形的對邊相等； （4）p：$ x∈R，x2－x+1＝0； 解：（1） P：有的人不晨練；（2）$ x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四邊形，它的的對邊不相等；（4）"xR，x2－x+1≠0； 例2 寫出下列命題的否定。 （1） 所有自然數(shù)的平方是正數(shù)。 （2） 任何實(shí)數(shù)x都是方程5x-12=0的根。 （3） 對任意實(shí)數(shù)x，存在實(shí)數(shù)y，使x+y＞0. （4） 有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)。 解：（1）的否定：有些自然數(shù)的平方不是正數(shù)。 （2）的否定：存在實(shí)數(shù)x不是方程5x-12=0的根。 （3）的否定：存在實(shí)數(shù)x,對所有實(shí)數(shù)y，有x+y≤0。 （4）的否定：所有的質(zhì)數(shù)都不是奇數(shù)。 解題中會遇到省略了“所有，任何，任意”等量詞的簡化形式，如“若x＞3，則x2＞9”。在求解中極易誤當(dāng)為簡單命題處理；這種情形下時(shí)應(yīng)先將命題寫成完整形式，再依據(jù)法則來寫出其否定形式。 例3 寫出下列命題的否定。 （1） 若x2＞4 則x＞2.。 （2） 若m≥0,則x2+x-m=0有實(shí)數(shù)根。 （3） 可以被5整除的整數(shù)，末位是0。 （4） 被8整除的數(shù)能被4整除。 （5） 若一個(gè)四邊形是正方形，則它的四條邊相等。 解（1）否定：存在實(shí)數(shù)，雖然滿足＞4，但≤2?；蛘哒f：存在小于或等于2的數(shù)，滿足＞4。（完整表達(dá)為對任意的實(shí)數(shù)x, 若x2＞4 則x＞2） （2）否定：雖然實(shí)數(shù)m≥0,但存在一個(gè)，使+ -m=0無實(shí)數(shù)根。（原意表達(dá)：對任意實(shí)數(shù)m,若m≥0,則x2+x-m=0有實(shí)數(shù)根。） （3）否定：存在一個(gè)可以被5整除的整數(shù)，其末位不是0。 （4）否定：存在一個(gè)數(shù)能被8整除，但不能被4整除.(原意表達(dá)為所有能被8整除的數(shù)都能被4整除) （5）否定：存在一個(gè)四邊形，雖然它是正方形，但四條邊中至少有兩條不相等。（原意表達(dá)為無論哪個(gè)四邊形，若它是正方形，則它的四條邊中任何兩條都相等。） 例4 寫出下列命題的非命題與否命題，并判斷其真假性?！? （1）p：若x＞y,則5x＞5y； （2）p：若x2+x﹤2,則x2-x﹤2； （3）p：正方形的四條邊相等； （4）p：已知a,b為實(shí)數(shù)，若x2+ax+b≤0有非空實(shí)解集，則a2-4b≥0。 解：（1） P：若 x＞y，則5x≤5y； 假命題 　　 否命題：若x≤y，則5x≤5y；真命題 （2） P：若x2+x﹤2，則x2-x≥2；真命題 　　 否命題：若x2+x≥2，則x2-x≥2）；假命題。 　 （3） P：存在一個(gè)四邊形，盡管它是正方形，然而四條邊中至少有兩條邊不相等；假命題。　　 否命題：若一個(gè)四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等。假命題。 （4） P：存在兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b，雖然滿足x2+ax+b≤0有非空實(shí)解集，但使a2-4b﹤0。假命題。 　　 否命題：已知a,b為實(shí)數(shù)，若x2+ax+b≤0沒有非空實(shí)解集，則a2-4b﹤0。真命題。 評注：命題的否定與否命題是完全不同的概念。其理由： 1．任何命題均有否定，無論是真命題還是假命題；而否命題僅針對命題“若P則q”提出來的。2．命題的否定（非）是原命題的矛盾命題，兩者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命題與原命題可能是同真同假，也可能是一真一假。 3． 原命題“若P則q” 的形式，它的非命題“若p，則q”；而它的否命題為 “若┓p，則┓q”，既否定條件又否定結(jié)論。 六、回顧反思 在教學(xué)中，務(wù)必理清各類型命題形式結(jié)構(gòu)、性質(zhì)關(guān)系，才能真正準(zhǔn)確地完整地表達(dá)出命題的否定，才能避犯邏輯性錯(cuò)誤，才能更好把邏輯知識負(fù)載于其它知識之上，達(dá)到培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。