2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 第六課時(shí) 兩角和與差的余弦、正弦、正切（三）教案 蘇教版必修3 教學(xué)目標(biāo)： 進(jìn)一步熟練掌握兩角和與差的余弦、正弦、正切公式的靈活應(yīng)用；提高學(xué)生的推理能力，培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)看問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，使學(xué)生樹立科學(xué)的世界觀. 教學(xué)重點(diǎn)： 利用兩角和與差的余弦、正弦、正切公式解決一些綜合性問題. 教學(xué)難點(diǎn)： 怎樣使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，運(yùn)用自如. 教學(xué)過程： Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 cos(αβ)＝cosαcosβsinαsinβ sin(αβ)＝sinαcosβcosαsinβ tan（αβ）＝ Ⅱ.講授新課 ［例1］已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0且a≠c)的兩個(gè)根為tanα、tanβ， 求tan(α＋β)的值. 分析：由題意可得tanα、tanβ為一元二次方程的兩根，由韋達(dá)定理可知tanα＋tanβ＝－，且tanαtanβ＝，聯(lián)想兩角和的正切公式，不難求得tan(α＋β)的值. 解：由a≠0和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可知： 且a≠c 所以tan(α＋β)＝＝＝－＝. 評(píng)述：在解題時(shí)要先仔細(xì)分析題意，聯(lián)想相應(yīng)知識(shí)，選定思路，再著手解題. ［例2］設(shè)sinθ＋cosθ＝，＜θ＜π，求sin3θ＋cos3θ與tanθ－cotθ的值. 解：∵sinθ＋cosθ＝ ∴sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝ ∴sinθcosθ＝－ 又sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ) ＝(sinθ＋cosθ)(1－sinθcosθ)＝ (1＋)＝ 又∵＜θ＜π ∴sinθ＞0，cosθ＜0 ∴sinθ－cosθ＝ ∴tanθ－cotθ＝－＝ ＝＝＝－ 評(píng)述：(1)在sinθ＋cosθ、sinθcosθ與sinθ－cosθ中，知其中之一便可求出另外兩個(gè). (2)解決有關(guān)sinθ＋cosθ、sinθcosθ與sinθ－cosθ的問題是三角函數(shù)中的一類重要問題. ［例3］tan2Atan(30－A)＋tan2Atan(60－A)＋tan(30－A)tan(60－A)＝_____. 解：原式＝tan2A［tan(30－A)＋tan(60－A)］＋［tan(30－A)tan(60－A)］ ＝tan2Atan［(30－A)＋(60－A)］［1－tan(30－A)tan(60－A)］ ＋［tan(30－A)tan(60－A)］ ＝tan2Atan(90－2A)［1－tan(30－A)tan(60－A)］＋［tan(30－A)tan(60－A)］ ＝tan2Acot2A［1－tan(30－A)tan(60－A)］＋［tan(30－A)tan(60－A)］ ＝1 評(píng)述：先仔細(xì)觀察式子中所出現(xiàn)的角，靈活應(yīng)用公式進(jìn)行變形，然后化簡(jiǎn)、求值. ［例4］已知tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的兩個(gè)根，求sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值. 解：由題意知 ∴tan(α＋β)＝＝＝ sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β) ＝cos2(α＋β)［tan2(α＋β)－3tan(α＋β)－3］ ＝［tan2(α＋β)－3tan(α＋β)－3］ ＝［()2－3－3］＝－3 ［例5］已知α、β為銳角，cosα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值. 解：由α為銳角，cosα＝，∴sinα＝. 由α、β為銳角，又tan(α－β)＝－ ∴cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－ ∴cosβ＝cos［α－(α－β)］＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) ＝＋(－)＝ Ⅲ.課堂練習(xí) 1.若方程x2＋mx＋m＋1＝0的兩根為tanα、tanβ.求證sin(α＋β)＝cos(α＋β). 解：由題意可知 由：tan(α＋β)＝ 得：tan(α＋β)＝＝1 即：sin(α＋β)＝cos(α＋β) ∴命題得證. 評(píng)述：要注意已知條件與所求結(jié)論中涉及三角函數(shù)的關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)年P(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 2.若△ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列，且A＜B＜C，tanAtanC＝2＋，求角A、B、C的大小. 分析：由A、B、C為△ABC的三內(nèi)角，可知A＋B＋C＝180，又已知A、B、C為等差數(shù)列，即2B＝A＋C，所以B＝60且A＋C＝120與已知條件中的tanAtanC＝2＋可聯(lián)系求出tanA、tanC，從而確定A、C. 解：由題意知： 解之得：B＝60且A＋C＝120 ∴tan(A＋C)＝tan120＝－＝ 又∵tanAtanC＝2＋ ∴tanA＋tanC＝tan(A＋C)(1－tanAtanC) ＝tan120(1－2－)＝－ (－1－)＝3＋ ∵tanA、tanC可作為一元二次方程x2－(3＋)x＋(2＋)＝0的兩根 又∵0＜A＜B＜C＜π ∴tanA＝1，tanC＝2＋ 即：A＝45，C＝75 答：A、B、C的大小分別為45、60、75. 評(píng)述：要注意挖掘隱含條件，聯(lián)想相關(guān)知識(shí)，構(gòu)造方程等等. 3.如果sinα＋sinβ＝a，cosα＋cosβ＝b，ab≠0，則cos(α－β)等于 ( ) A. B. C. D. －1 分析：由已知條件中的兩關(guān)系式結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式sin2α＋cos2α＝1不難求得cos(α－β)，再利用平方關(guān)系求得sin(α－β). 解：由 得：a2＋b2＝sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ＋cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ ＝2＋2cos(α－β) ∴cos(α－β)＝－1 評(píng)述：遇到這種已知條件式時(shí)，往往要結(jié)合同角三角函數(shù)平方關(guān)系式. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 在解決三角函數(shù)問題時(shí)，常常要將和角公式、差角公式、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式等等綜合使用. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P101 9 ，10，11，13 兩角和與差的余弦、正弦、正切(二) 1．cos（－15）等于 （ ） A. B. C. D. 2．在△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，則△ABC的形狀為 （ ） A.直角三角形 B.鈍角三角形 C.銳角三角形 D.以上均可能 3．sin－cos的值是 （ ） A.0 B.－ C. D.2 4．若tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，則tan(α＋)等于 （ ） A. B. C. D. 5．的值是 （ ） A.2 B.－2 C. D.－ 6．已知cosθ＝－，且θ∈（π，π），則tan（θ－）= . 7．tan70＋tan50－tan70tan50的值等于 . 8．若cos(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，則tanαtanβ＝ . 9．已知cosα－cosβ＝，sinα－sinβ＝－，則cos(α－β)＝ . 10．已知：＜β＜α＜，且cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，計(jì)算sin2α的值. 11．已知tanα，tanβ是方程x2＋(4m＋1)x＋2m＝0的兩個(gè)根，且m≠－. 求的值. 12．已知3sinβ＝sin(2α＋β)，α≠kπ＋，α＋β≠kπ＋，k∈Z. 求證：tan(α＋β)＝2tanα. 兩角和與差的余弦、正弦、正切(二)答案 1．D 2．B 3．B 4．C 5．B 6． 7．－ 8． 9． 10．已知：＜β＜α＜，且cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，計(jì)算sin2α的值. 利用sin2α＝sin［(α－β)＋(α＋β)］可求得sin2α＝－. 11．已知tanα，tanβ是方程x2＋(4m＋1)x＋2m＝0的兩個(gè)根，且m≠－. 求的值. 解：由題知tanα＋tanβ＝－(4m＋1)，tanαtanβ＝2m ＝＝ ＝＝ 12．已知3sinβ＝sin(2α＋β)，α≠kπ＋，α＋β≠kπ＋，k∈Z. 求證：tan(α＋β)＝2tanα. sinβ＝sin［(α＋β)－α］ sin(2α＋β)＝sin［(α＋β)＋α］ 兩邊展開、移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)即可.