2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 第1節(jié) 函數(shù)與方程（3）教案 新人教A版必修1 教學(xué)內(nèi)容分析　　　 本節(jié)選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)1》人教A版第三單元第一節(jié)第二課，主要是分析函數(shù)與方程的關(guān)系．教材分三步來(lái)進(jìn)行：第一步，從學(xué)生認(rèn)為較簡(jiǎn)單的一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù)入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)的聯(lián)系．然后推廣為一般方程與相應(yīng)函數(shù)的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的過(guò)程中，通過(guò)函數(shù)圖象和性質(zhì)來(lái)研究方程的解，體現(xiàn)方程和函數(shù)的關(guān)系；第三步，在函數(shù)模型的應(yīng)用過(guò)程中，通過(guò)函數(shù)模型以及模型的求解，更全面地體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系，逐步建立起函數(shù)與方程的聯(lián)系． 本節(jié)課是這一小節(jié)的第二節(jié)課，即用二分法求方程的近似解．它以上節(jié)課的“連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理”為確定方程解所在區(qū)間的依據(jù)，從求方程近似解這個(gè)側(cè)面來(lái)體現(xiàn)“方程與函數(shù)的關(guān)系”；而且在“用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的步驟”中滲透了算法的思想，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)算法的內(nèi)容埋下伏筆；充分體現(xiàn)新課程“滲透算學(xué)方法，關(guān)注數(shù)學(xué)文化以及重視信息技術(shù)應(yīng)用”的理念．求方程近似解其中隱含“逼進(jìn)”的數(shù)學(xué)思想，并且運(yùn)用“二分法”來(lái)逼近目標(biāo)是一種普通而有效的方法，其關(guān)鍵是逼近的依據(jù)． 學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析　　　 同學(xué)們有了第一節(jié)課的基礎(chǔ)，對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)具備基本的認(rèn)識(shí)；而二分法來(lái)自生活，是由生活中抽象而來(lái)的，只要我們選材得當(dāng)，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到滲透數(shù)學(xué)思想關(guān)注數(shù)學(xué)文化的目的，學(xué)生也能夠很容易理解這種方法．其中運(yùn)用“二分法”進(jìn)行區(qū)間縮小的依據(jù)、總結(jié)出“運(yùn)用二分法求方程的近似解”的步驟、將“二分法”運(yùn)用到生活實(shí)際，是需要學(xué)生“跳跳”才能摘到的“桃子”． 設(shè)計(jì)理念　　　　　 本節(jié)課倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，應(yīng)用從生活實(shí)際——理論——實(shí)際應(yīng)用的過(guò)程，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、圖表、信息技術(shù)，采用教師引導(dǎo)——學(xué)生探索相結(jié)合的教學(xué)方法，注重提高學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，讓學(xué)生經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、抽象與概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、反思與建構(gòu)等思維過(guò)程． 教學(xué)目標(biāo)　　　　　 1．理解二分法的概念，掌握運(yùn)用二分法求簡(jiǎn)單方程近似解的方法；利用信息技術(shù)輔助教學(xué)，讓學(xué)生用計(jì)算器自己驗(yàn)證求方程近似值的過(guò)程； 2．體會(huì)二分法的思想和方法，使學(xué)生意識(shí)到二分法是求方程近似解的一種方法；讓學(xué)生能夠了解近似逼近思想，培養(yǎng)學(xué)生探究問(wèn)題的能力和創(chuàng)新能力，以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度； 3．體驗(yàn)并理解函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法；感受正面解決問(wèn)題困難時(shí)，通過(guò)迂回的方法使問(wèn)題得到解決的快樂(lè)． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)　　 教學(xué)重點(diǎn)：能夠借用計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，根所在區(qū)間的確定及逼近的思想． 教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)二分法的理論支撐的理解，區(qū)間長(zhǎng)度的縮?。? 1．教學(xué)基本流程圖 2.教學(xué)情境設(shè)計(jì) 教學(xué)設(shè)計(jì) 學(xué)情預(yù)設(shè) 設(shè)計(jì)意圖 知識(shí)鏈接 創(chuàng) 設(shè) 情 境 ， 引 出 課 題 1．大家都看過(guò)李詠主持的〈幸運(yùn)52〉吧，今天咱也試一回(出示游戲)． 2．競(jìng)猜中，“高了”、“低了”的含義是什么？如何確定價(jià)格的最可能的范圍？ 3．如何才能更快地猜中商品的預(yù)定價(jià)格？ 4．“二分”的思路是什么？ 1.教師從學(xué)生熟悉的電視節(jié)目，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)、分析、歸納迅速猜價(jià)的方法． 2．學(xué)生能夠主動(dòng)參與游戲，并且參與游戲的同學(xué)可以比較并總結(jié)經(jīng)驗(yàn)．學(xué)生會(huì)有很多種方案． 3．對(duì)于“問(wèn)題2”學(xué)生能夠順利地得出“主持人的“高了，低了”的回答是判斷價(jià)格所在區(qū)間的依據(jù)”這個(gè)結(jié)論． 4．此時(shí)教師通過(guò)“問(wèn)題3”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較哪種方法更快更好．從中學(xué)生可以得到用二分法解決問(wèn)題的思路——二分指的是將解所在區(qū)間平均地分為兩個(gè)區(qū)間. 1.利用視屏與游戲的形式，學(xué)生會(huì)踴躍參與；商品價(jià)格競(jìng)猜也是學(xué)生熟悉的，競(jìng)猜的方法會(huì)很多樣，可以進(jìn)行競(jìng)賽． 2．通過(guò)問(wèn)題2，啟發(fā)學(xué)生尋找確定區(qū)間的依據(jù)，為后面探索“用二分法求方程近似解”的時(shí)候埋下伏筆． 3．通過(guò)游戲，讓學(xué)生經(jīng)歷游戲過(guò)程，感受數(shù)學(xué)來(lái)自生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；引導(dǎo)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納演繹的能力；學(xué)會(huì)將實(shí)際情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型． 4．通過(guò)比較不同的方法得出最快的競(jìng)猜的方法——二分法． 師 生 探 究 ， 構(gòu) 建 新 知 　　1.上節(jié)課我們學(xué)了什么定理，它的作用是什么？還有什么問(wèn)題沒(méi)有解決？ 2．已知函數(shù)f(x)＝ln x＋2x－6在區(qū)間(2,3)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)；如何求出方程ln x＋2x－6＝0在區(qū)間(2,3)的近似解(精確度為0.01)？與剛才的游戲是否有類似之處？ 3．精確度的含義是什么？怎樣的區(qū)間才算滿足設(shè)定的精確度？ 4．區(qū)間(2,3)的精確度為多少？ 5．如何將零點(diǎn)所在的范圍縮小(即如何將精確度縮小)？縮小的依據(jù)是什么？ 　　1.教師通過(guò)“問(wèn)題1”對(duì)上節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)引入，點(diǎn)出今天的課題．并且有前面游戲作為伏筆，學(xué)生能夠得出“連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理”是判斷方程的根所在區(qū)間的依據(jù)． 2．通過(guò)“問(wèn)題2”應(yīng)用具體的題目引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考．學(xué)生通過(guò)引導(dǎo)將方程的解與商品的價(jià)格聯(lián)系到一起，運(yùn)用剛才的游戲的經(jīng)驗(yàn)，得到縮小區(qū)間的想法． 3．學(xué)生對(duì)精確度的概念可能有所遺忘．教師可以借助數(shù)軸解釋說(shuō)明精確度的含義，引導(dǎo)學(xué)生思考什么時(shí)候停止操作． 4．教師通過(guò)“問(wèn)題4～6”引導(dǎo)學(xué)生將“二分法”與“零點(diǎn)存在定理”相結(jié)合得到正確的新的零點(diǎn)所在的區(qū)間．并確定結(jié)束的時(shí)間. 　　[設(shè)計(jì)意圖] 1．開(kāi)門見(jiàn)山，延續(xù)上一節(jié)課的內(nèi)容繼續(xù)深入的研究，使得知識(shí)有一個(gè)鏈接，讓學(xué)生能夠很容易地將新知識(shí)建構(gòu)到舊的知識(shí)體系中． 2．運(yùn)用問(wèn)題1，將學(xué)生的思路與前面已解決的問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生層層深入，抽絲撥繭，學(xué)習(xí)如何分析問(wèn)題、如何利用新的知識(shí)解決問(wèn)題；培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，以及運(yùn)用知識(shí)、駕馭知識(shí)的能力． 3．師生的互動(dòng)有利于一邊引導(dǎo)一邊總結(jié)．將二分法應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題，即將新的知識(shí)應(yīng)用于解決新的問(wèn)題．培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際應(yīng)用的能力，加強(qiáng)解決問(wèn)題的嚴(yán)謹(jǐn)性，總結(jié)知識(shí)的邏輯性．使得最后方法的總結(jié)能夠順利進(jìn)行． 4．有了前面的商品競(jìng)猜過(guò)程的經(jīng)歷，學(xué)生比較容易入手，分析比較容易到位，從而降低思維的難度． 續(xù)表 教學(xué)設(shè)計(jì) 學(xué)情預(yù)設(shè) 設(shè)計(jì)意圖 知識(shí)鏈接 師 生 探 究 ， 構(gòu) 建 新 知 6．如何利用今天“猜價(jià)格”——“二分法”的逼近思想來(lái)縮小區(qū)間？ 7．近似解是多少？ 5.學(xué)生按照游戲的方法也就是按照“二分法”的思路，不斷縮小零點(diǎn)存在的區(qū)間，進(jìn)行具體操作，填出(附錄1)中的表格．表格剛開(kāi)始的前幾行學(xué)生可能會(huì)比較慢，也有可能會(huì)出錯(cuò)；通過(guò)多次的重復(fù)以及經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，后面的表格可以正確的、快速地回答出來(lái)；使得最后的“應(yīng)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)”的方法的總結(jié)更加順利． 6．對(duì)于“問(wèn)題7”學(xué)生不太容易得到比較簡(jiǎn)潔的結(jié)論．教師可以進(jìn)行解釋說(shuō)明：“由于整個(gè)區(qū)間內(nèi)的數(shù)均滿足精確度的條件，因此區(qū)間內(nèi)的所有數(shù)均可以作為近似解，但區(qū)間端點(diǎn)a，b是已知的值，所以可以取a或b作為近似解．”，最后得到方程的近似解(附錄1的表格后面的內(nèi)容). [知識(shí)鏈接] 1．函數(shù)零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根． 2．精確度是對(duì)同一個(gè)量的不同近似數(shù)的精確程度的度量．一般是：一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位． 形 成 概 念 ， 深 化 提 高 1.我們剛才的求解過(guò)程中有哪些過(guò)程是一直重復(fù)出現(xiàn)的？ 2．我們?nèi)∑湟欢?，大家看如何用?shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述？ 3．點(diǎn)明求方程的近似解的“二分法”：對(duì)于在區(qū)間(a，b)上連續(xù)不斷、且f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過(guò)不斷地把方程的解所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近近似解，進(jìn)而得到近似解的方法叫二分法. 4.進(jìn)一步提出問(wèn)題： 運(yùn)用二分法求方程的近似解的步驟是什么？ 5．運(yùn)用二分法的前提是什么(游戲開(kāi)始時(shí)要先做什么工作)？引例條件的內(nèi)涵是什么？ 6．二分法的實(shí)質(zhì)是什么？它有什么作用？ 　　學(xué)生經(jīng)過(guò)老師“問(wèn)題1～2”的提示與引導(dǎo)，可以得到“取區(qū)間的中點(diǎn)，計(jì)算函數(shù)值，比較符號(hào)，確定新的區(qū)間”這樣的相同的過(guò)程． 學(xué)生根據(jù)“二分法”的定義進(jìn)行歸納總結(jié)：運(yùn)用二分法求方程的近似解的步驟(附錄2)．其中步驟①“畫圖或利用函數(shù)值的正負(fù)，確定初始區(qū)間(a，b)，驗(yàn)證f(a)f(b)<0”；學(xué)生很有可能會(huì)有遺漏．此時(shí)可以提出“問(wèn)題5”引導(dǎo)學(xué)生回憶、思考，從而得到運(yùn)用二分法的前提——即步驟①. 對(duì)于“問(wèn)題6”，較好的學(xué)生才能回答出來(lái). 　　[設(shè)計(jì)意圖] 1．不斷的引導(dǎo)，將剛才的解題過(guò)程經(jīng)過(guò)“自然語(yǔ)言——數(shù)學(xué)語(yǔ)言——去其糟粕取其精華——具體步驟”的過(guò)程，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)歸納總結(jié)的方法． 2．課間的及時(shí)總結(jié)有利于學(xué)生對(duì)當(dāng)前所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行升華，了解自己掌握了什么知識(shí)，在后面的做題中可以有法可依，可以提高解題的正確率，增強(qiáng)自信． 3．問(wèn)題6的設(shè)計(jì)是將學(xué)生的思維進(jìn)一步升華，不再停留在技能這一個(gè)層次，而是上升為數(shù)學(xué)思想方法的層次. [知識(shí)鏈接] 1．運(yùn)用二分法的前提是要先判斷根在某個(gè)所在的區(qū)間． 2．二分法實(shí)際上是通過(guò)縮小區(qū)間長(zhǎng)度尋找解的一種方法． 續(xù)表 教學(xué)設(shè)計(jì) 學(xué)情預(yù)設(shè) 設(shè)計(jì)意圖 知識(shí)鏈接 課 內(nèi) 練 習(xí) 及 課 后 作 業(yè) 1.練習(xí)：(1)(2)題為例題仿照題，由同桌協(xié)助完成．(3)(4)考查二分法的含義，由同學(xué)獨(dú)立完成，可以尋求幫助．(附錄4) 2．思考：兩道題均為實(shí)際應(yīng)用題，為學(xué)有余力的同學(xué)提高能力．(附錄4) 3．課后作業(yè)：習(xí)題3.1 A組3、4；B組1、2. 　　練習(xí)1.(1)(2)經(jīng)過(guò)同桌兩位同學(xué)合作可以順利完成．(3)(4)獨(dú)立完成如果有困難的同學(xué)在同伴或老師的幫助下可以完成． 練習(xí)2實(shí)際應(yīng)用：學(xué)有余力的同學(xué)與同伴合作探討，也可以解決. 　　[設(shè)計(jì)意圖] 1．不同層次的題目，層層遞進(jìn)，不斷提高學(xué)生的能力．不僅鞏固新學(xué)的知識(shí)，而且讓不同層次的學(xué)生得到不同的收獲； 2．培養(yǎng)合作、互助精神； 3．培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用與創(chuàng)新的能力，利用二分法的逼近思想解決實(shí)際問(wèn)題． 本 課 小 結(jié) 　　請(qǐng)同學(xué)們回顧一下本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程，你覺(jué)得你已經(jīng)掌握了哪些知識(shí)？ 　　教師通過(guò)點(diǎn)名提問(wèn)，學(xué)生借助教師的幫助對(duì)整節(jié)課進(jìn)行最后的歸納總結(jié)，得到以下兩點(diǎn)：(1)二分法是一種求一元方程近似解的通法．(2)利用二分法來(lái)解一元方程近似解的操作步驟(附錄3). 　　[設(shè)計(jì)意圖] 學(xué)生的歸納總結(jié)的能力不強(qiáng)，需要不斷的培養(yǎng)；課后的總結(jié)有利于學(xué)生對(duì)整節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行升華，了解自己掌握了什么知識(shí)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，建立自信心. 1．本節(jié)課有兩條線，明線：“從生活實(shí)際、從學(xué)生熟知的現(xiàn)實(shí)生活、從學(xué)生喜愛(ài)的游戲——“競(jìng)猜商品的價(jià)格”入手，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入深層的思考——如何才能更快更好地贏得游戲？與學(xué)生一道進(jìn)行新知識(shí)的探索過(guò)程——二分法的得來(lái)；再將二分法充分地運(yùn)用在函數(shù)零點(diǎn)的求解上；最后將二分法求解函數(shù)零點(diǎn)的過(guò)程程序化”；暗線：“生活實(shí)際(特殊)——二分法的理論(一般)——二分法的應(yīng)用(特殊)”．讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成與應(yīng)用過(guò)程，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性、時(shí)代性、典型性和可接受性，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)自生活，應(yīng)用于生活的最高境界，感受數(shù)學(xué)之美． 2．引入課題的方式，(1)從生活中的常見(jiàn)現(xiàn)象——“商品價(jià)格的競(jìng)猜”引入；(2)開(kāi)門見(jiàn)山——“繼續(xù)前面的研究”引入． (附錄1)解：設(shè)f(x)＝ln x＋2x－6，x∈(2,3)，先取區(qū)間的中點(diǎn)，再計(jì)算中點(diǎn)的函數(shù)值，接著應(yīng)用“零點(diǎn)存在定理”確定零點(diǎn)所在的區(qū)間，從而縮小精確度，得到下表： 區(qū) 間 中點(diǎn) 中點(diǎn)函數(shù)值 精確度 2 3 2.5 －0.083 709 268 1 2.5 3 2.75 0.511 600 912 0.5 2.5 2.75 2.625 0.215 080 896 0.25 2.5 2.625 2.562 5 0.065 983 344 0.125 2.5 2.562 5 2.531 25 －0.008 786 748 0.062 5 2.531 25 2.562 5 2.546 875 0.028 617 117 0.031 25 2.531 25 2.546 875 2.539 062 5 0.009 919 918 0.015 625 2.531 25 2.539 062 5 2.535 156 25 0.000 567 772 0.007 813 2.531 25 2.535 156 25 2.533 203 125 －0.004 109 191 0.003 906 2.533 203 125 2.535 156 25 2.534 179 688 －0.001 770 635 0.001 953 2.534 179 688 2.535 156 25 2.534 667 969 －0.000 601 413 0.000 977 2.534 667 969 2.535 156 25 2.534 912 109 －1.681 5710－5 0.000 488 所以，當(dāng)精確度為0.01時(shí)，由于|2.539 062 5－2.531 25|＝0.007 812 5<0.01，因此我們可以將x＝2.531 25作為函數(shù)f(x)＝ln x＋2x－6零點(diǎn)的近似值，也即方程ln x＋2x－6＝0根的近似值． (附錄2)二分法求解方程f(x)＝0〔或g(x)＝h(x)〕近似解的基本步驟： ①畫圖或利用函數(shù)值的正負(fù)，確定初始區(qū)間(a，b)，驗(yàn)證f(a)f(b)<0； ②求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)x1(x1＝)； ③計(jì)算f(x1)：若f(x1)＝0，則x1就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，x1就是f(x)＝0的根，計(jì)算終止； 若f(a)f(x1)<0，則選擇區(qū)間(a，x1)； 若f(a)f(x1)>0，則選擇區(qū)間(x1，b)； ④循環(huán)操作②、③，直到當(dāng)區(qū)間的精確度達(dá)到事先指定的精確度ε(若是要求精確到ε，兩端點(diǎn)精確到同一個(gè)近似值時(shí)才終止計(jì)算)． (附錄3) 1．練習(xí)：(1)應(yīng)用計(jì)算器，求方程x3＋3x－1＝0的一個(gè)正的近似解． (2)應(yīng)用計(jì)算器，求方程2x＋x＝4的近似解． (3)用二分法判斷方程2x＝x2的根的個(gè)數(shù)(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (4)方程lg(x＋4)＝10x的根的情況是(　　) A．僅有一根 B．有一正根一負(fù)根 C．有兩負(fù)根 D．無(wú)實(shí)根 2．思考：(1)從上海到美國(guó)舊金山的海底電纜有15個(gè)接點(diǎn)，現(xiàn)在某接點(diǎn)發(fā)生故障，需及時(shí)修理，為了盡快斷定故障發(fā)生點(diǎn)，一般至少需要檢查接點(diǎn)的個(gè)數(shù)為幾個(gè)？ (2)一天，泉州七中校區(qū)與現(xiàn)代中學(xué)(分校)校區(qū)的電纜線路出了故障(相距大約10 km)，電工是怎樣檢測(cè)的呢？ 答案：略