2019-2020年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 第四篇 第5講 立體幾何 1．一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則是俯視圖放在正(主)視圖下面，長度與正(主)視圖一樣，側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖右面，高度與正(主)視圖一樣，寬度與俯視圖一樣，即“長對(duì)正，高平齊，寬相等”．在畫一個(gè)物體的三視圖時(shí)，一定注意實(shí)線與虛線要分明． [問題1]　如圖，若一個(gè)幾何體的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖均為面積等于2的等腰直角三角形，則該幾何體的體積為________． 2．在斜二測(cè)畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段．“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半”． [問題2]　如圖所示的等腰直角三角形表示一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，則這個(gè)平面圖形的面積是________． 3．簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積 (1)S直棱柱側(cè)＝ch(c為底面的周長，h為高)． (2)S正棱錐側(cè)＝ch′(c為底面周長，h′為斜高)． (3)S正棱臺(tái)側(cè)＝(c′＋c)h′(c與c′分別為上、下底面周長，h′為斜高)． (4)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式 S圓柱側(cè)＝2πrl(r為底面半徑，l為母線)， S圓錐側(cè)＝πrl(同上)， S圓臺(tái)側(cè)＝π(r′＋r)l(r′、r分別為上、下底的半徑，l為母線)． (5)體積公式 V柱＝Sh (S為底面面積，h為高)， V錐＝Sh(S為底面面積，h為高)， V臺(tái)＝(S＋＋S′)h(S、S′為上、下底面面積，h為高)． (6)球的表面積和體積 S球＝4πR2，V球＝πR3. [問題3]　如圖所示，一個(gè)空間幾何體的正(主)視圖和俯視圖都是邊長為1的正方形，側(cè)(左)視圖是一個(gè)直徑為1的圓，那么這個(gè)幾何體的表面積為(　　) A．4π B．3π C．2π D.π 4．空間直線的位置關(guān)系 (1)相交直線——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．(2)平行直線——在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)．(3)異面直線——不在同一平面內(nèi)，也沒有公共點(diǎn)． [問題4]　在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是四邊上的中點(diǎn)，則直線EG和FH的位置關(guān)系是________． 5．空間的平行關(guān)系 (1)線面平行：?a∥α；?a∥α；?a∥α； (2)面面平行：?α∥β；?α∥β； ?α∥γ； (3)線線平行：?a∥b；?a∥b； ?a∥b；?a∥b. [問題5]　判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”號(hào)，錯(cuò)誤的畫“”號(hào)． ①如果a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面．(　　) ②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行．(　　) ③如果直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥b.(　　) ④如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α.(　　) 6．空間的垂直關(guān)系 (1)線面垂直：?l⊥α；?a⊥β；?a⊥β；?b⊥α； (2)面面垂直：二面角90；?α⊥β；?α⊥β； (3)線線垂直：?a⊥b. [問題6]　已知兩個(gè)平面垂直，下列命題 ①一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線； ②一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的無數(shù)條直線； ③一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個(gè)平面； ④過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面． 其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 7．空間向量 (1)用空間向量求角的方法步驟 ①異面直線所成的角 若異面直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，它們所成的角為θ，則cos θ＝|cos〈v1，v2〉|. ②直線和平面所成的角 利用空間向量求直線與平面所成的角，可以有兩種方法： 方法一　分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩條直線的方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)． 方法二　通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角． ③利用空間向量求二面角也有兩種方法： 方法一　分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)找到一個(gè)與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大?。? 方法二　通過平面的法向量來求，設(shè)二面角的兩個(gè)面的法向量分別為n1和n2，則二面角的大小等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)． 易錯(cuò)警示：①求線面角時(shí)，得到的是直線方向向量和平面法向量的夾角的余弦，容易誤以為是線面角的余弦． ②求二面角時(shí)，兩法向量的夾角有可能是二面角的補(bǔ)角，要注意從圖中分析． (2)用空間向量求A到平面α的距離： 可表示為d＝. [問題7]　(1)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于________． (2)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離為________． 例1　某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是(　　) A. B. C．1 D．2 錯(cuò)因分析　解本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有(1)還原空間幾何體的形狀時(shí)出錯(cuò)，不能正確判斷其對(duì)應(yīng)的幾何體；(2)計(jì)算時(shí)不能準(zhǔn)確把三視圖中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)幾何體中的線段長度，尤其側(cè)視圖中的數(shù)據(jù)處理很容易出錯(cuò)． 解析　由三視圖，可知該空間幾何體是底面為直角三角形的直三棱柱，直角邊長分別為1和，三棱柱的高為，則該幾何體的體積為V＝1＝1.故選C. 答案　C 易錯(cuò)點(diǎn)2　旋轉(zhuǎn)體辨識(shí)不清 例2　如圖所示(單位：cm)，求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積． 錯(cuò)因分析　注意這里是旋轉(zhuǎn)圖中的陰影部分，不是旋轉(zhuǎn)梯形ABCD.在旋轉(zhuǎn)的時(shí)候邊界形成一個(gè)圓臺(tái)，并在上面挖去了一個(gè)“半球”，其體積應(yīng)是圓臺(tái)的體積減去半球的體積．解本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是誤以為旋轉(zhuǎn)的是梯形ABCD，在計(jì)算時(shí)沒有減掉半球的體積． 解　由題圖中數(shù)據(jù)，根據(jù)圓臺(tái)和球的體積公式，得 V圓臺(tái)＝π(22＋25＋52)4＝52π(cm3)， V半球＝π23＝π(cm3)． 所以旋轉(zhuǎn)體的體積為V圓臺(tái)－V半球＝52π－π＝π(cm3)． 易錯(cuò)點(diǎn)3　空間線面關(guān)系把握不準(zhǔn) 例3　設(shè)a，b為兩條直線，α，β為兩個(gè)平面，且a?α，a?β，則下列結(jié)論中不成立的是(　　) A．若b?β，a∥b，則a∥β B．若a⊥β，α⊥β，則a∥α C．若a⊥b，b⊥α，則a∥α D．若α⊥β，a⊥β，b∥a，則b∥α 錯(cuò)因分析　本題易出現(xiàn)的問題就是對(duì)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系把握不準(zhǔn)，考慮問題不全面，不能準(zhǔn)確把握題中的前提——a?α，a?β，對(duì)空間中的平行、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理中的條件把握不準(zhǔn)導(dǎo)致判斷失誤．如A項(xiàng)中忽視已知條件中的a?β，誤以為該項(xiàng)錯(cuò)誤等． 解析　對(duì)于選項(xiàng)A，若有b?β，a∥b，且已知a?β，所以根據(jù)線面平行的判定定理可得a∥β，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，若a⊥β，α⊥β，則根據(jù)空間線面位置關(guān)系可知a?α或a∥α，而由已知可知a?α，所以有a∥α，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C項(xiàng)，若a⊥b，b⊥α，所以a?α或a∥α，而由已知可得a?α，所以a∥α，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D項(xiàng)，由a⊥β，b∥a可得b⊥β，又因?yàn)棣痢挺拢詁?α或b∥α，故不能得到b∥α，所以D項(xiàng)錯(cuò)，故選D. 答案　D 易錯(cuò)點(diǎn)4　混淆空間角與向量夾角 例4　如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，求AE等于何值時(shí)，二面角P－EC－D的平面角為. 錯(cuò)因分析　本題易出錯(cuò)的地方是誤以為兩個(gè)平面的法向量所成的角的大小等于所求二面角的大小，在計(jì)算時(shí)對(duì)兩個(gè)平面的法向量所成的角和二面角的關(guān)系判斷錯(cuò)誤，導(dǎo)致在平面的法向量方向不同時(shí)把銳二面角的余弦值算出個(gè)負(fù)值而出錯(cuò)． 解　以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分別為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示， 則A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)． 設(shè)E(1，y0,0)，則＝(－1,2－y0,0)， 設(shè)平面PEC的一個(gè)法向量為n1＝(x，y，z)， 所以??x∶y∶z ＝(2－y0)∶1∶2， 記n1＝(2－y0,1,2)． 而平面ECD的一個(gè)法向量為n2＝(0,0,1)， 則二面角P－EC－D的平面角的余弦值 cos ＝|cos〈n1，n2〉|＝， 所以cos ＝＝＝?y0＝2－或y0＝2＋(舍去)． 所以當(dāng)AE＝2－時(shí)，二面角P－EC－D的平面角為. 1．(xx浙江)設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β(　　) A．若l⊥β，則α⊥β B．若α⊥β，則l⊥m C．若l∥β，則α∥β D．若α∥β，則l∥m 2．設(shè)m，n是空間兩條直線，α，β是空間兩個(gè)平面，則下列選項(xiàng)中不正確的是(　　) A．當(dāng)m?α?xí)r，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分條件 B．當(dāng)m?α?xí)r，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要條件 C．當(dāng)n⊥α?xí)r，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要條件 D．當(dāng)m?α?xí)r，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要條件 3．(xx浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是(　　) A．8 cm3 B．12 cm3 C. cm3 D. cm3 4．如圖，已知△ABC為直角三角形，其中∠ACB＝90，M為AB的中點(diǎn)，PM垂直于△ABC所在平面，那么(　　) A．PA＝PB>PC B．PA＝PB<PC C．PA＝PB＝PC D．PA≠PB≠PC 5．如圖，已知六棱錐P—ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC C．直線BC∥平面PAE D．直線PD與平面ABC所成的角為45 6．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AA1＝3，M為線段BB1上的一動(dòng)點(diǎn)，則過A、M、C1三點(diǎn)的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為______． 7．對(duì)于四面體ABCD，給出下列四個(gè)命題： ①若AB＝AC，BD＝CD，則BC⊥AD； ②若AB＝CD，AC＝BD，則BC⊥AD； ③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD； ④若AB⊥CD，AC⊥BD，則BC⊥AD. 其中正確的是________．(填序號(hào)) 8.如圖，四面體ABCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2，∠ABC＝∠DCB＝，則二面角A－BC－D的大小為________． 9．已知直線l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，給出四個(gè)命題： ①若α∥β，則l⊥m；②若l⊥m，則α∥β；③若α⊥β，則l∥m；④若l∥m，則α⊥β. 其中為真命題的是________．(填序號(hào)) 10.如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60，∠BCA＝90，點(diǎn)D，E分別為棱PB，PC的中點(diǎn)． (1)求證：平面PBC⊥平面PAC； (2)求AD與平面PAC所成角的余弦值． 　 　 　 學(xué)生用書答案精析 5．立體幾何 要點(diǎn)回扣 [問題1]　 [問題2]　2 [問題3]　D [問題4]　相交 [問題5]　①?、凇、邸、堋? [問題6]　C [問題7]　(1)　(2) 解析　(1)方法一　取A1C1的中點(diǎn)E，連接AE，B1E，如圖． 由題意知B1E⊥平面ACC1A1， 則∠B1AE為AB1與側(cè)面ACC1A1所成的角． 設(shè)正三棱柱側(cè)棱長與底面邊長為1， 則sin∠B1AE＝＝＝. 方法二　如圖， 以A1C1中點(diǎn)E為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系E－xyz，設(shè)棱長為1， 則A，B1， 設(shè)AB1與平面ACC1A1所成的角為θ，為平面ACC1A1的法向量． 則sin θ＝|cos〈，〉|＝＝. (2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O. 設(shè)平面ABC1D1的法向量為n＝(x，y，z)，則 ∴ 令z＝1，得∴n＝(1,0,1)， 又＝， ∴O到平面ABC1D1的距離d＝＝＝. 查缺補(bǔ)漏 1．A　[選項(xiàng)A：∵l⊥β，l?α，∴α⊥β，A正確；選項(xiàng)B：α⊥β，l?α，m?β，l與m位置關(guān)系不固定；選項(xiàng)C，∵l∥β，l?α，∴α∥β或α與β相交．選項(xiàng)D：∵α∥β，l?α，m?β.此時(shí)，l與m位置關(guān)系不固定，故選A.] 2．A　[當(dāng)m?α?xí)r，若n∥α可得m∥n或m，n異面；若m∥n可得n∥α或n?α，所以“n∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要條件，答案選A.] 3．C　[該幾何體是棱長為2 cm的正方體與一底面邊長為2 cm的正方形、高為2 cm的正四棱錐組成的組合體，V＝222＋222＝ cm3.故選C.] 4．C　[∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，△ACB為直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA＝PB＝PC.] 5．D　[若PB⊥AD，則AD⊥AB，但AD與AB成60角，A錯(cuò)誤；平面PAB與平面ABD垂直，所以平面PAB一定不與平面PBC垂直，B錯(cuò)誤；BC與AE是相交直線，所以BC一定不與平面PAE平行，C錯(cuò)誤；直線PD與平面ABC所成角為∠PDA，在Rt△PAD中，AD＝PA， 所以∠PDA＝45，D正確．] 6．3＋ 解析　由圖形可知，當(dāng)AM＋MC1最小時(shí)， 所得截面的周長最小，如圖所示把平面A1ABB1與平面C1CBB1展開成一個(gè)平面AA1C1C，則AM＋MC1最短為AC1＝＝3，所以截面的最小周長為 3＋＝3＋. 7．①④ 解析　取線段BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE， ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴BC⊥AE，BC⊥DE， ∴BC⊥平面ADE， ∵AD?平面ADE， ∴BC⊥AD，故①正確． 設(shè)點(diǎn)O為點(diǎn)A在平面BCD上的射影， 連接OB，OC，OD， ∵AB⊥CD，AC⊥BD， ∴OB⊥CD，OC⊥BD， ∴點(diǎn)O為△BCD的垂心， ∴OD⊥BC， ∴BC⊥AD，故④正確，易知②③不正確，填①④. 8. 解析　由∠ABC＝∠DCB＝知， 與的夾角θ就是二面角A－BC－D的平面角． 又＝＋＋，∴2＝(＋＋)2 ＝2＋2＋2＋2. 因此2＝(2)2－12－32－22＝－2， ∴cos(π－θ)＝－，且0<π－θ<π， 則π－θ＝π，故θ＝. 9．①④ 解析　對(duì)命題①，由l⊥α，α∥β得，l⊥β，m?β， ∴l(xiāng)⊥m，故①正確． 對(duì)命題②，l⊥m?l⊥β，則l⊥m?α∥β，故②錯(cuò)誤． 對(duì)命題③，當(dāng)α⊥β時(shí)，l與m也可能相交或異面或平行，故③錯(cuò)誤． 對(duì)命題④，由l⊥α，l∥m得m⊥α，又m?β， ∴α⊥β，故④正確． 10．(1)證明　如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AP所在直線分別為y軸，z軸，過點(diǎn)A且平行于BC的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)PA＝2，由已知可得 A(0,0,0)，B(－1，，0)，C(0，，0)，P(0,0,2)， D(－，，1)，E(0，，1)． 因?yàn)椋?0,0,2)，＝(1,0,0)，所以＝0.， 所以BC⊥AP，又∠BCA＝90， 所以BC⊥AC. 因?yàn)锳C∩AP＝A且AC?平面PAC，AP?平面PAC，所以BC⊥平面PAC. 又BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC. (2)解　設(shè)AD與平面PAC所成的角為θ. 由(1)知BC⊥平面PAC，所以平面PAC的一個(gè)法向量為＝(1,0,0)． 又＝(－，，1)， 所以 sin θ＝|cos〈，〉 |＝＝＝. 所以AD與平面PAC所成角的余弦值為cos θ＝＝.