2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 第十課時(shí) 平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律（二）教案 蘇教版必修4 教學(xué)目標(biāo)： 掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律，能利用數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律解決有關(guān)問(wèn)題，掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，會(huì)證明兩向量垂直，以及能解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題. 教學(xué)重點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積及運(yùn)算規(guī)律. 教學(xué)難點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用. 教學(xué)過(guò)程： Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 上一節(jié)，我們一起學(xué)習(xí)向量數(shù)量積的定義，并一起由定義推證了5個(gè)重要性質(zhì)，并得到了三個(gè)運(yùn)算律，首先我們對(duì)上述內(nèi)容作一簡(jiǎn)要回顧. 這一節(jié)，我們通過(guò)例題分析使大家進(jìn)一步熟悉數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律，并掌握它們的應(yīng)用. Ⅱ.講授新課 ［例1］已知：｜a｜＝3，｜b｜＝6，當(dāng)①a∥b，②a⊥b，③a與b的夾角是60時(shí)，分別求ab. 分析：由數(shù)量積的定義可知，它的值是兩向量的模與它們夾角余弦值的乘積，只要能求出它們的夾角，就可求出ab. 解：①當(dāng)a∥b時(shí)，若a與b同向，則它們的夾角＝0，∴ab＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os0＝361＝18； 若a與b反向，則它們的夾角θ＝180， ∴ab＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os180＝36(－1)＝－18； ②當(dāng)a⊥b時(shí)，它們的夾角θ＝90， ∴ab＝0； ③當(dāng)a與b的夾角是60時(shí)，有 ab＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os60＝36＝9 評(píng)述：兩個(gè)向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是［0，180］，因此，當(dāng)a∥b時(shí)，有0或180兩種可能. ［例2］已知a、b都是非零向量，且a＋3b與7a－5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，求a與b的夾角. 分析：要求a與b的夾角，只要求出ab與｜a｜，｜b｜即可. 解：由已知(a＋3b)⊥(7a－5b)(a＋3b)(7a－5b)＝07a2＋16ab－15b2＝0 ① 又(a－4b)⊥(7a－2b)(a－4b)(7a－2b)＝07a2－30ab＋8b2＝0 ② ①－②得：46ab＝23b2 即有ab＝b2＝｜b｜2， 將它代入①可得： 7｜a｜2＋8｜b｜2－15｜b｜2＝0 即｜a｜2＝｜b｜2有｜a｜＝｜b｜ ∴若記a與b的夾角為θ， 則cosθ＝＝＝ 又θ∈［0，180］，∴θ＝60 所以a與b的夾角為60. ［例3］四邊形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且ab＝bc＝cd＝da，試問(wèn)四邊形ABCD是什么圖形? 分析：四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量. 解：四邊形ABCD是矩形，這是因?yàn)椋? 一方面：∵a＋b＋c＋d＝0， ∴a＋b＝－(c＋d)， ∴(a＋b)2＝(c＋d)2 即｜a｜2＋2ab＋｜b｜2＝｜c(diǎn)｜2＋2cd＋｜d｜2 由于ab＝cd， ∴｜a｜2＋｜b｜2＝｜c(diǎn)｜2＋｜d｜2 ① 同理有｜a｜2＋｜d｜2＝｜c(diǎn)｜2＋｜b｜2 ② 由①②可得｜a｜＝｜c(diǎn)｜，且｜b｜＝｜d｜即四邊形ABCD兩組對(duì)邊分別相等. ∴四邊形ABCD是平行四邊形 另一方面，由ab＝bc，有b(a－c)＝0，而由平行四邊形ABCD可得a＝－c，代入上式得b(2a)＝0 即ab＝0，∴a⊥b也即AB⊥BC. 綜上所述，四邊形ABCD是矩形. 評(píng)述：(1)在四邊形中，，，，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即a＋b＋c＋d＝0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用； (2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系. ［例4］已知｜a｜＝2，｜b｜＝5，ab＝－3，求｜a＋b｜，｜a－b｜. 解：∵｜a＋b｜2＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝22＋2(－3)＋52＝23 ∴｜a＋b｜＝，∵(｜a－b｜)2＝(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝22－2(－3)＋52＝35， ∴｜a－b｜＝. ［例5］已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜＝16，求a與b的夾角θ. 解：∵(｜a＋b｜)2＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝｜a｜2＋2｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＋｜b｜2 ∴162＝82＋2810cosθ＋102， ∴cosθ＝，∴θ≈55 ［例6］在△ABC中，＝a，＝b，且ab＜0，則△ABC的形狀是 ( ) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不能確定 分析：此題主要考查兩向量夾角的概念，應(yīng)避免由ab＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osB＜0得cosB＜0，進(jìn)而得B為鈍角，從而錯(cuò)選C. 解：由兩向量夾角的概念， a與b的夾角應(yīng)是180－B ∵ab＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os(180－B)＝－｜a｜｜b｜c(diǎn)osB＜0 ∴cosB＞0 又因?yàn)锽∈(0，180)所以B為銳角. 又由于角B不一定最大， 故三角形形狀無(wú)法判定. 所以應(yīng)選D. ［例7］設(shè)e1、e2是夾角為45的兩個(gè)單位向量，且a＝e1＋2e2，b＝2e1＋e2， 試求：｜a＋b｜的值. 分析：此題主要考查學(xué)生對(duì)單位向量的正確認(rèn)識(shí). 解：∵a＋b＝(e1＋2e2)＋(2e1＋e2)＝3(e1＋e2)， ∴｜a＋b｜＝｜3(e1＋e2)｜＝3｜(e1＋e2)｜＝3 ＝3＝3 ＝3. ［例8］設(shè)｜m｜＝2，｜n｜＝1，向量m與n的夾角為，若a＝4m－n，b＝m＋2n，c＝2m－3n，求a2＋3(ab)－2(bc)＋1的值. 解：∵｜m｜＝2，｜n｜＝1且m⊥n， ∴m2＝｜m｜2＝4， n2＝｜n｜＝1，mn＝0. ∴a2＋3(ab)－2(bc)＋1 ＝(4m－n)2＋3(4m－n)(m＋2n)－2(m＋2n)(2m－3n)＋1 ＝16m2－8mn＋n2＋12m2＋24mn－3nm－6n2－4m2－6mn－8nm＋12n2＋1 ＝24m2＋7n2＋1＝104. Ⅲ. 課時(shí)小結(jié) 通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律，掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，能利用數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題. Ⅳ. 課后作業(yè) 課本P83習(xí)題 4，7 平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律 1．設(shè)a，b，c為任意非0向量，且相互不共線，則真命題為 （ ） （1）（ab）c－(ca)b＝0 （2）|a|－|b|＜|a－b| （3）(bc)a－(ca)b不與c垂直 （4）（3a+2b)(3a－2b)=9|a|2－4|b|2 A.（2）（4） B.（2）（3） C.（1）（2） D.（3）（4） 2．已知|a|＝3，|b|＝4，（a＋b）（a＋3b）＝33，則a與b的夾角為 （ ） A.30 B.60 C.120 D.150 3．△ABC中，＝a，＝b，且ab＞0，則△ABC為 （ ） A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形 4．已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1，且＝a，＝b，＝c，則ab＋bc＋ca等于 （ ） A.－ B. C.0 D. 5．已知|a|2＝1，|b|2＝2，（a－b)⊥a，則a與b的夾角為 （ ） A.60 B.90 C.45 D.30 6．設(shè)e1，e2是兩個(gè)單位向量，它們的夾角為60，則（2e1－e2）（3e1＋2e2）＝ . 7．已知| i |＝| j |＝1，ij＝0，且a＋b＝2i－8j，a－b＝8i＋16j，求ab＝ . 8．已知|a|＝3，|b|＝5，如果a∥b，則ab＝ . 9．已知a，b，c兩兩垂直，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求r＝a＋b＋c的長(zhǎng)及它與a，b，c的夾角的余弦. 10．設(shè)a，b為兩個(gè)相互垂直的單位向量，是否存在整數(shù)k，使向量m＝ka＋b與n＝a＋kb的夾角為60，若存在，求k值；若不存在，說(shuō)明理由. 11．非零向量（a＋3b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，求向量a與b夾角的余弦值. 平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律答案 1．A 2．C 3．C 4．A 5．C 6． 7．－63 8．15 9．已知a，b，c兩兩垂直，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求r＝a＋b＋c的長(zhǎng)及它與a，b，c的夾角的余弦. 解：|r|＝|a＋b＋c|＝ ＝＝ 設(shè)a＋b＋c與a、b、c的夾角分別為θ1，θ2，θ3 則cosθ1＝＝ 同理cosθ2＝＝，cosθ3＝. 10．設(shè)a，b為兩個(gè)相互垂直的單位向量，是否存在整數(shù)k，使向量m＝ka＋b與n＝a＋kb的夾角為60，若存在，求k值；若不存在，說(shuō)明理由. 解：∵|a|＝|b|＝1，又ab＝0 mn＝(ka＋b)(a＋kb)＝2k， 又|m|＝，|n|＝ 若cos60＝＝＝ ∴k2＋4k＋1＝0 ∵k＝2Z，∴不存在. 11．