2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章10.5 離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布教案 理 北師大版 考綱要求 1．理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題． 2．利用實際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義． 知識梳理 1．離散型隨機變量的均值與方差 若離散型隨機變量X的分布列為 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值： 稱EX＝________為隨機變量X的均值或______，它反映了離散型隨機變量取值的______． (2)方差： 稱DX＝______為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值EX的______，其算術(shù)平方根為隨機變量X的______． 2．均值與方差的性質(zhì) (1)E(aX＋b)＝______； (2)D(aX＋b)＝______(a，b為實數(shù))． 3．兩點分布和二項分布的均值和方差 若隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布，則EX＝____，DX＝____. 若隨機變量X服從參數(shù)為n，p的二項分布，即X～B(n，p)，則EX＝____，DX＝______. 若隨機變量 X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布，則EX＝______，DX＝______. 4．正態(tài)分布 (1)正態(tài)曲線：如果連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中μ，σ為參數(shù)，則稱φμ，σ(x)的圖像為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線． (2)正態(tài)分布：一般地，如果對于任何實數(shù)a，b(a＜b)，隨機變量X滿足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，用X～N(μ，σ2)表示． (3)正態(tài)分布的性質(zhì)：①曲線位于____軸的上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，關(guān)于______對稱；③曲線在X＝μ時達到峰值______；④當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定．σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越______；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越______；⑤曲線與x軸之間的面積為____． 基礎(chǔ)自測 1．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3，σ2)，則P(ξ＜3)＝(　　)． A． B． C． D． 2．某市進行一次高三教學(xué)質(zhì)量抽樣檢測，考試后統(tǒng)計的所有考生的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布．已知數(shù)學(xué)成績平均分為90分，60分以下的人數(shù)占10%，則數(shù)學(xué)成績在90分至120分之間的考生人數(shù)所占百分比約為(　　)． A．10% B．20% C．30% D．40% 3．隨機變量X的分布列如下： X －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差數(shù)列，若EX＝，則DX的值是__________． 4．某運動員投籃命中率p＝0.6. (1)求一次投籃時命中次數(shù)ξ的均值； (2)求重復(fù)5次投籃時，命中次數(shù)η的均值． 思維拓展 1．離散型隨機變量的均值與分布列有什么區(qū)別？ 提示：雖然離散型隨機變量的分布列和均值都是從整體上刻畫隨機變量的，但二者有所不同．分布列只給了隨機變量取所有可能值的概率，而均值卻反映了隨機變量取值的平均水平． 2．樣本的方差與隨機變量的方差有何不同？ 提示：樣本的方差是隨著樣本的不同而變化的，因此它是一個隨機變量；而隨機變量的方差是通過大量試驗得出的，刻畫了隨機變量X與其均值EX的平均偏離程度，因此它是一個常量而非變量． 3．方差、標準差的單位與隨機變量的單位有什么關(guān)系？ 提示：方差的單位是隨機變量單位的平方；標準差與隨機變量本身有相同的單位． 4．參數(shù)μ，σ在正態(tài)分布中的實際意義是什么？ 提示：參數(shù)μ是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計；σ是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本的標準差去估計． 一、離散型隨機變量的均值 【例1－1】已知隨機變量X的分布列為： X －2 －1 0 1 2 P m (1)求EX；(2)若Y＝2X－3，求EY. 【例1－2】在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．從這10件產(chǎn)品中任取3件，求取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 方法提煉1．求數(shù)學(xué)期望(均值)的關(guān)鍵是求出其分布列．若已知離散型分布列，可直接套用公式EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求其均值．隨機變量的均值是一個常數(shù)，它不依賴于樣本的抽取，只要找準隨機變量及相應(yīng)的概率即可計算． 2．若X是隨機變量，且Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機變量且EY＝aEX＋b. 請做[針對訓(xùn)練]2 二、離散型隨機變量的方差 【例2－1】袋中有20個大小相同的球，其中標號為0號的有10個，標號為n號的有n個(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標號． (1)求X的分布列、期望和方差； (2)若η＝aX＋b，Eη＝1，Dη＝11，試求a，b的值． 【例2－2】有甲、乙兩種品牌的手表，它們?nèi)兆邥r誤差分別為X，Y(單位：s)，其分布列如下： X －1 0 1 P 0.1 0.8 0.1 Y －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 試比較這兩種品牌手表的質(zhì)量． 方法提煉均值僅體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平．如果兩個隨機變量的均值相等，還要看隨機變量的取值如何在均值周圍的變化，方差大，說明隨機變量取值較分散；方差小，說明取值較集中． 請做[針對訓(xùn)練]3 三、二項分布的均值與方差 【例3－1】某人投彈命中目標的概率p＝0.8. (1)求投彈一次，命中次數(shù)X的均值和方差； (2)求重復(fù)10次投彈時命中次數(shù)Y的均值和方差． 【例3－2】為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物．某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳成活與否是相互獨立的，成活率為p，設(shè)ξ為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學(xué)期望Eξ＝3，標準差為. (1)求n，p的值并寫出ξ的分布列； (2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補種，求需要補種沙柳的概率． 方法提煉1．若X服從兩點分布，則EX＝p，DX＝p(1－p)； 2．若X～B(n，p)，則EX＝np，DX＝np(1－p)． 請做[針對訓(xùn)練]4 四、正態(tài)分布及其應(yīng)用 【例4－1】已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，則P(ξ≤0)＝(　　)． A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84 【例4－2】已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)φi(x)＝(x∈R，i＝1,2,3)的圖像如圖所示，則(　　)． A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3 B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3 D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 方法提煉1．若連續(xù)型隨機變量ξ服從正態(tài)分布，即ξ～N(μ，σ2)，則Eξ＝μ，Dξ＝σ2，這兒μ，σ的意義是期望和標準差．μ在正態(tài)分布曲線中確定曲線的位置，而σ確定曲線的形狀．如果給出兩條正態(tài)分布曲線，我們可以根據(jù)正態(tài)分布曲線的位置和形狀判別相應(yīng)的μ和σ的大小關(guān)系． 2．正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，從而在關(guān)于x＝μ對稱的區(qū)間上概率相等．正態(tài)曲線與x軸之間面積為1. 請做[針對訓(xùn)練]1 考情分析 離散型隨機變量的分布列、期望與方差是高考數(shù)學(xué)中的熱點、重點內(nèi)容之一，題型以解答題為主，有時也以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度適中．確定離散型隨機變量的取值，找準其適用的概率模型，求出隨機變量的分布列是正確求得其期望與方差的關(guān)鍵． 對正態(tài)分布曲線的性質(zhì)考查最多的是其對稱性，即正態(tài)分布曲線關(guān)于x＝μ對稱，也可以推廣到P(ξ＜μ－μ0)＝P(ξ＞μ＋μ0)． 針對訓(xùn)練 1．設(shè)兩個正態(tài)分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函數(shù)圖像如圖所示，則有(　　)． A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2 2．(xx上海高考，理9)馬老師從課本上抄錄一個隨機變量ξ的概率分布列如下表： x 1 2 3 P(ξ＝x) ？ ！ ？ 請小牛同學(xué)計算ξ的數(shù)學(xué)期望，盡管“！”處無法完全看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能肯定這兩個“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此，小牛給出了正確答案Eξ＝______. 3．袋中有同樣的5個球，其中3個紅球，2個黃球，現(xiàn)從中隨機且不放回地摸球，每次摸1個，當(dāng)兩種顏色的球都被摸到時，即停止摸球，記隨機變量ξ為此時已摸球的次數(shù)，求：(1)隨機變量ξ的概率分布； (2)隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望與方差． 4．在一次數(shù)學(xué)考試中，第21題和第22題為選做題．規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題．設(shè)4名考生選做每一道題的概率均為. (1)求其中甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的概率； (2)設(shè)這4名考生中選做第22題的學(xué)生個數(shù)為ξ，求ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望． 參考答案 基礎(chǔ)梳理自測 知識梳理 1．(1)x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn　數(shù)學(xué)期望　平均水平　(2)　平均偏離程度　標準差 2．(1)aEX＋b　(2)a2DX 3．p　p(1－p)　np　np(1－p)　n　 4．(3)x　x＝μ　　集中　分散　1 基礎(chǔ)自測 1．D　解析：ξ服從正態(tài)分布N(3，σ2)，曲線關(guān)于x＝3對稱，P(ξ＜3)＝. 2．D　解析：由題意可知，120分以上的人數(shù)也占10%，故90分至120分之間的考生人數(shù)所占百分比約為＝40%. 3．　解析：∵a，b，c成等差數(shù)列， ∴2b＝a＋c，又∵a＋b＋c＝1， EX＝－1a＋1c＝c－a＝. 所以a＝，b＝，c＝，∴DX＝＋＋＝. 4．解：(1)投籃一次，命中次數(shù)ξ的分布列為 ξ 0 1 P 0.4 0.6 則Eξ＝p＝0.6. (2)由題意，重復(fù)5次投籃，命中的次數(shù)η服從二項分布，即η～B(5,0.6)．則Eη＝np＝50.6＝3. 考點探究突破 【例1－1】解：(1)由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝， ∴EX＝(－2)＋(－1)＋0＋1＋2＝－. (2)方法一：由公式E(aX＋b)＝aEX＋b，得EY＝E(2X－3)＝2EX－3＝2－3＝－. 方法二：由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下： Y －7 －5 －3 －1 1 P ∴EY＝(－7)＋(－5)＋(－3)＋(－1)＋1＝－. 【例1－2】解：從10件產(chǎn)品中任取3件共有C種結(jié)果．從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的結(jié)果數(shù)為，其中k＝0,1,2,3. ∴P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3. ∴隨機變量X的分布列是 X 0 1 2 3 P ∴EX＝0＋1＋2＋3＝. 【例2－1】解：(1)X的分布列是 X 0 1 2 3 4 P ∴EX＝0＋1＋2＋3＋4＝1.5， DX＝(0－1.5)2＋(1－1.5)2＋(2－1.5)2＋(3－1.5)2＋(4－1.5)2＝2.75. (2)由Dη＝a2DX，得a22.75＝11，即a＝2.又Eη＝aEX＋b， 當(dāng)a＝2時，由1＝21.5＋b，得b＝－2； 當(dāng)a＝－2時，由1＝－21.5＋b，得b＝4. ∴或 【例2－2】解：EX＝－10.1＋00.8＋10.1＝0(s)， EY＝－20.1－10.2＋00.4＋10.2＋20.1＝0(s)， 則EX＝EY，所以由期望值難以判斷質(zhì)量的好壞． 又因為DX＝(－1－0)20.1＋(0－0)20.8＋(1－0)20.1＝0.2(s2)， DY＝(－2－0)20.1＋(－1－0)20.2＋(0－0)20.4＋(1－0)20.2＋(2－0)20.1＝1.2(s2)． 所以DX＜DY，可見乙的波動性大，甲的穩(wěn)定性好，故甲的質(zhì)量高于乙． 【例3－1】解：(1)隨機變量X的分布列為 X 0 1 P 0.2 0.8 因為X服從兩點分布，故EX＝p＝0.8，DX＝p(1－p)＝0.80.2＝0.16. (2)由題意知，命中次數(shù)Y服從二項分布，即Y～B(10,0.8)， 所以EY＝np＝100.8＝8，DY＝100.80.2＝1.6. 【例3－2】解：(1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝，得1－p＝，從而n＝6，p＝. ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 5 6 P (2)記“需要補種沙柳”為事件A，則P(A)＝P(ξ≤3)，得 P(A)＝＝，或P(A)＝1－P(ξ＞3)＝1－＝. 【例4－1】A　解析：由正態(tài)分布的特征得P(ξ≤0)＝1－P(ξ≤4)＝1－0.84＝0.16. 【例4－2】D　解析：μ是曲線的對稱軸．σ越小，曲線越瘦高；σ越大，曲線越矮胖． 演練鞏固提升 1．A　解析：正態(tài)分布曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，它是在x＝μ處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；σ越大，曲線越“矮胖”；反過來，σ越小，曲線越“瘦高”． 2．2　解析：設(shè)P(ξ＝1)＝P(ξ＝3)＝a，P(ξ＝2)＝b，則2a＋b＝1. 于是，E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2. 3．解：(1)隨機變量ξ可取的值為2,3,4， P(ξ＝2)＝＝； P(ξ＝3)＝＝； P(ξ＝4)＝＝， 所以隨機變量ξ的概率分布列為 x 2 3 4 P(ξ＝x) (2)隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ＝2＋3＋4＝； 隨機變量ξ的方差Dξ＝(2－2.5)2＋(3－2.5)2＋(4－2.5)2＝. 4．解：(1)設(shè)事件A表示“甲選做第21題”，事件B表示“乙選做第21題”，則甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的事件為“AB＋”，且事件A、B相互獨立． ∴P(AB＋)＝P(A)P(B)＋P()P()＝＋＝. (2)隨機變量ξ的可能取值為0,1,2,3,4，且ξ～B. ∴P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3,4)． ∴變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 P Eξ＝0＋1＋2＋3＋4＝2.