2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 10.2 空間幾何體的表面積與體積教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　表面積問(wèn)題 【例1】 圓錐的高和底面半徑相等，它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的高和圓柱底面半徑也相等，求圓柱的表面積和圓錐的表面積之比. 【解析】設(shè)圓錐的半徑為R，母線長(zhǎng)為l，圓柱的半徑為r，軸截面如圖， S圓錐＝π(R＋l)R ＝π(R＋R)R＝(π＋π)R2， S圓柱＝2πr(r＋r)＝4πr2， 又＝，所以＝， 所以＝. 【點(diǎn)撥】 軸截面是解決內(nèi)接、外切問(wèn)題的一種常用方法. 【變式訓(xùn)練1】一幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位：m). (1)試畫(huà)出它的直觀圖； (2)求它的表面積和體積. 【解析】(1)直觀圖如圖所示. (2)該幾何體的表面積為(7＋) m2，體積為 m3. 題型二　體積問(wèn)題 【例2】 某人有一容積為V，高為a且裝滿了油的直三棱柱形容器，不小心將該容器掉在地上，有兩處破損并發(fā)生滲漏，其位置分別在兩條棱上且距下底面高度分別為b、c的地方，且容器蓋也被摔開(kāi)了(蓋為上底面)，為減少油的損失，該人采用破口朝上，傾斜容器的方式拿回家，估計(jì)容器內(nèi)的油最理想的剩余量是多少？ 【解析】 如圖，破損處為D、E，且AD＝b，EC＝c，BB1＝a， 則容器內(nèi)所剩油的最大值為幾何體ABC－DB1E的體積. 因?yàn)椋?，而＝? 由三棱柱幾何性質(zhì)知＝V， ＝， 所以＝V， 又因?yàn)椋?，所?VD－ABC＝＝， 所以＝＋VD－ABC＝V. 故油最理想的剩余量為V. 【點(diǎn)撥】將不規(guī)則的幾何體分割為若干個(gè)規(guī)則的幾何體，然后求出這些規(guī)則幾何體的體積，這是求幾何體體積的一種常用的思想方法. 【變式訓(xùn)練2】一個(gè)母線長(zhǎng)與底面圓直徑相等的圓錐形容器，里面裝滿水，一鐵球沉入水內(nèi)，有水溢出，容器蓋上一平板，恰與球相切，問(wèn)容器內(nèi)剩下的水是原來(lái)的幾分之幾？ 【解析】設(shè)球的半徑為R，則圓錐的高h(yuǎn)＝3R，底面半徑r＝R， V圓錐＝(R)23R＝3πR3；V球＝πR3. 所以＝＝， 所以剩下的水量是原來(lái)的1－＝. 【點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵是求圓錐與球的體積之比，作出軸截面，找出球半徑和圓錐高、底面半徑的關(guān)系即可. 題型三　組合體的面積、體積的關(guān)系 【例3】底面直徑為2，高為1的圓柱截成橫截面為長(zhǎng)方形的棱柱，設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形截面的一條邊長(zhǎng)為x，對(duì)角線長(zhǎng)為2，截面的面積為A，如圖所示： (1)求面積A以x為自變量的函數(shù)式； (2)求截得棱柱的體積的最大值. 【解析】 (1)A＝x(0＜x＜2). (2)V＝x1＝ ＝. 因?yàn)?＜x＜2，所以當(dāng)x＝時(shí)，Vmax＝2. 【點(diǎn)撥】關(guān)鍵是理解截面，并且注意x的范圍從而求體積，在求第(2)求體積時(shí)還可利用不等式. 【變式訓(xùn)練3】(xx山東檢測(cè))把一個(gè)周長(zhǎng)為12 cm的長(zhǎng)方形圍成一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，該圓柱的底面周長(zhǎng)與高的比為(　　) A.1∶2 B.1∶π C.2∶1 D.2∶π 【解析】設(shè)長(zhǎng)方形的一條邊長(zhǎng)為x cm，則另一條邊長(zhǎng)為(6－x) cm，且0＜x＜6，以長(zhǎng)為(6－x) cm的邊作為圍成的圓柱的高h(yuǎn)，若設(shè)圓柱的底面半徑為r，則有2πr＝x，所以r＝，因此圓柱的體積V＝π()2(6－x)＝(6x2－x3)，由于V′＝(12x－3x2)，令V′＝0，得 x＝4，容易推出當(dāng)x＝4時(shí)圓柱的體積取得最大值，此時(shí)圓柱的底面周長(zhǎng)是4 cm，圓柱的高是2 cm，所以圓柱的底面周長(zhǎng)與高的比為2∶1，選C. 總結(jié)提高 表面積包含側(cè)面積和底面積；直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)即側(cè)面展開(kāi)圖矩形的一邊；對(duì)于正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)，其所有側(cè)面多邊形均全等，故可先求一個(gè)的側(cè)面積，再乘以側(cè)面多邊形的個(gè)數(shù). 求體積時(shí)，常常需要“轉(zhuǎn)變”底面，使底面面積和高易求；另外，對(duì)于三棱錐的幾何體選擇不同的底面時(shí)，利用同一個(gè)幾何體體積相等，再求出幾何體的高，即等體積法.