2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 9.6雙曲線學案 理 蘇教版 導學目標： 1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它們的簡單幾何性質(zhì).2.理解數(shù)形結合的思想． 自主梳理 1．雙曲線的概念 平面內(nèi)到兩個定點F1、F2(F1F2＝2c>0)的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a(2a<2c)，則點P的軌跡叫________．這兩個定點叫雙曲線的________，兩焦點間的距離叫________． 集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F(xiàn)1F2＝2c，其中a、c為常數(shù)且a>0，c>0； (1)當________時，P點的軌跡是________； (2)當________時，P點的軌跡是________； (3)當________時，P點不存在． 2．雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì) 標準方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 圖形 性質(zhì) 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 對稱性 對稱軸：坐標軸 對稱軸：坐標軸 對稱中心：原點 對稱中心：原點 頂點 頂點坐標： A1(－a,0)，A2(a,0) 頂點坐標： A1(0，－a)，A2(0，a) 漸近線 y＝x y＝x 離心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 實虛軸 線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長A1A2＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長B1B2＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長 a、b、c 的關系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 3.實軸長和虛軸長相等的雙曲線為____________，其漸近線方程為________，離心率e為________． 自我檢測 1．(xx安徽改編)雙曲線2x2－y2＝8的實軸長是________________________________． 2．已知雙曲線－＝1 (b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，其中一條漸近線方程為y＝x，點P(，y0)在該雙曲線上，則＝________. 3．(xx課標全國改編)設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為________． 4．已知點(m，n)在雙曲線8x2－3y2＝24上，則2m＋4的范圍是________． 5．已知A(1,4)，F(xiàn)是雙曲線－＝1的左焦點，P是雙曲線右支上的動點，求PF＋PA的最小值． 探究點一　雙曲線的定義及應用 例1　已知定點A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C為一個焦點作過A，B的橢圓，求另一焦點F的軌跡方程． 變式遷移1　已知動圓M與圓C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓C2：(x－4)2＋y2＝2內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程． 探究點二　求雙曲線的標準方程 例2　已知雙曲線的一條漸近線方程是x－2y＝0，且過點P(4,3)，求雙曲線的標準方程． 變式遷移2　(xx安慶模擬)已知雙曲線與橢圓＋＝1的焦點相同，且它們的離心率之和等于，則雙曲線的方程為____________． 探究點三　雙曲線幾何性質(zhì)的應用 例3　已知雙曲線的方程是16x2－9y2＝144. (1)求此雙曲線的焦點坐標、離心率和漸近線方程； (2)設F1和F2是雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線上，且PF1PF2＝32，求∠F1PF2的大?。? 變式遷移3　已知雙曲線C：－y2＝1. (1)求雙曲線C的漸近線方程； (2)已知M點坐標為(0,1)，設P是雙曲線C上的點，Q是點P關于原點的對稱點．記λ＝，求λ的取值范圍． 方程思想 例　(14分)過雙曲線－＝1的右焦點F2且傾斜角為30的直線交雙曲線于A、B兩點，O為坐標原點，F(xiàn)1為左焦點． (1)求AB； (2)求△AOB的面積； (3)求證：AF2＋BF2＝AF1＋BF1. 多角度審題　(1)要求弦長AB需要A、B兩點坐標或設而不求利用弦長公式，這就需要先求直線AB；(2)在(1)的基礎上只要求點到直線的距離；(3)要充分聯(lián)想到A、B兩點在雙曲線上這個條件． 【答題模板】 (1)解　由雙曲線的方程得a＝，b＝， ∴c＝＝3，F(xiàn)1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)． 直線AB的方程為y＝(x－3)．設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得5x2＋6x－27＝0.[4分] ∴x1＋x2＝－，x1x2＝－， ∴AB＝|x1－x2| ＝ ＝＝.[8分] (2)解　直線AB的方程變形為x－3y－3＝0. ∴原點O到直線AB的距離為d＝＝. ∴S△AOB＝ABd＝＝.[10分] (3)證明　如圖，由雙曲線的定義得 AF2－AF1＝2， BF1－BF2＝2， ∴AF2－AF1＝BF1－BF2， 即AF2＋BF2＝AF1＋BF1.[14分] 【突破思維障礙】 本題利用方程的思想，把過點A的直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，從而轉(zhuǎn)化為關于x的一元二次方程，利用韋達定理求解，這種思想在解析幾何中經(jīng)常用到． 【易錯點剖析】 在直線和雙曲線相交的情況下解題時易忽視消元后的一元二次方程的判別式Δ>0，而導致錯解． 1．區(qū)分雙曲線中的a，b，c大小關系與橢圓中a，b，c的大小關系，在橢圓中a2＝b2＋c2，而在雙曲線中c2＝a2＋b2；雙曲線的離心率大于1，而橢圓的離心率e∈(0,1)． 2．雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的漸近線方程是y＝x，－＝1 (a>0，b>0)的漸近線方程是y＝x. 3．雙曲線標準方程的求法：(1)定義法，根據(jù)題目的條件，判斷是否滿足雙曲線的定義，若滿足，求出相應的a、b、c，即可求得方程．(2)待定系數(shù)法，其步驟是：①定位：確定雙曲線的焦點在哪個坐標軸上；②設方程：根據(jù)焦點的位置設出相應的雙曲線方程；③定值：根據(jù)題目條件確定相關的系數(shù)． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．已知M(－2,0)、N(2,0)，PM－PN＝3，則動點P的軌跡是________． 2．設點P在雙曲線－＝1上，若F1、F2為雙曲線的兩個焦點，且PF1∶PF2＝1∶3，則△F1PF2的周長為________． 3．(xx蘇州模擬)過雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的右焦點F作圓x2＋y2＝a2的切線FM(切點為M)，交y軸于點P.若M為線段FP的中點，則雙曲線的離心率為________． 4．雙曲線－＝1的左焦點為F1，左、右頂點分別為A1、A2，P是雙曲線右支上的一點，則分別以PF1和A1A2為直徑的兩圓的位置關系是________． 5．(xx山東改編)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線均和圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為________________________________________________________________________． 6．(xx上海)設m是常數(shù)，若點F(0,5)是雙曲線－＝1的一個焦點，則m＝________. 7．設圓過雙曲線－＝1的一個頂點和一個焦點，圓心在此雙曲線上，則此圓心到雙曲線中心的距離為______． 8．(xx南通模擬)已知圓C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0.以圓C與坐標軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和頂點，則適合上述條件的雙曲線的標準方程為________________． 二、解答題(共42分) 9．(14分)根據(jù)下列條件，求雙曲線方程： (1)與雙曲線－＝1有共同的漸近線，且經(jīng)過點(－3，2)； (2)與雙曲線－＝1有公共焦點，且過點(3，2)． 10．(14分)(xx廣東)設圓C與兩圓(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一個內(nèi)切，另一個外切． (1)求圓C的圓心軌跡L的方程； (2)已知點M(，)，F(xiàn)(，0)，且P為L上動點，求||MP|－|FP||的最大值及此時點P的坐標． 11．(14分)(xx四川)已知定點A(－1,0)，F(xiàn)(2,0)，定直線l：x＝，不在x軸上的動點P與點F的距離是它到直線l的距離的2倍．設點P的軌跡為E，過點F的直線交E于B、C兩點，直線AB、AC分別交l于點M、N. (1)求E的方程； (2)試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點F，并說明理由． 學案50　雙曲線 答案 自主梳理 1．雙曲線　焦點　焦距　(1)a<c　雙曲線　(2)a＝c　兩條射線　(3)a>c　3.等軸雙曲線　y＝x　 自我檢測 1．4 解析　∵2x2－y2＝8，∴－＝1， ∴a＝2，∴2a＝4. 2．0 3. 解析　設雙曲線的標準方程為－＝1(a>0，b>0)，由于直線l過雙曲線的焦點且與對稱軸垂直，因此直線l的方程為l：x＝c或x＝－c，代入－＝1得y2＝b2(－1)＝， ∴y＝，故AB＝，依題意＝4a，∴＝2，∴＝e2－1＝2，∴e＝. 4．(－∞，4－2]∪[4＋2，＋∞) 5．解　設雙曲線的右焦點為F1，則由雙曲線的定義可知 PF＝2a＋PF1＝4＋PF1， ∴PF＋PA＝4＋PF1＋PA. ∴當滿足PF1＋PA最小時，PF＋PA最?。? 由雙曲線的圖象可知當點A、P、F1共線時，滿足PF1＋PA最小，易求得最小值為 AF1＝5， 故所求最小值為9. 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　求曲線的軌跡方程時，應盡量地利用幾何條件探求軌跡的曲線類型，從而再用待定系數(shù)法求出軌跡的方程，這樣可以減少運算量，提高解題速度與質(zhì)量．在運用雙曲線的定義時，應特別注意定義中的條件“差的絕對值”，弄清所求軌跡是整條雙曲線，還是雙曲線的一支，若是一支，是哪一支，以確保軌跡的純粹性和完備性． 解　設F(x，y)為軌跡上的任意一點， 因為A，B兩點在以C，F(xiàn)為焦點的橢圓上， 所以FA＋CA＝2a，F(xiàn)B＋CB＝2a (其中a表示橢圓的長半軸)． 所以FA＋CA＝FB＋CB. 所以FA－FB＝CB－CA＝－＝2. 所以FA－FB＝2. 由雙曲線的定義知，F(xiàn)點在以A，B為焦點，2為實軸長的雙曲線的下半支上． 所以點F的軌跡方程是y2－＝1 (y≤－1)． 變式遷移1　解　 設動圓M的半徑為r，則由已知得，MC1＝r＋， MC2＝r－， ∴MC1－MC2＝2， 又C1(－4,0)，C2(4,0)， ∴C1C2＝8.∴2<C1C2. 根據(jù)雙曲線定義知，點M的軌跡是以C1(－4,0)、C2(4,0)為焦點的雙曲線的右支． ∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14. ∴點M的軌跡方程是－＝1 (x≥)． 例2　解題導引　根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組)，但要注意焦點的位置，從而正確選取方程的形式，當焦點不能定位時，則應分兩種情況討論．解決本題的方法有兩種：一先定位，避免了討論；二利用其漸近線的雙曲線系，同樣避免了對雙曲線方程類型的討論．在共漸近線的雙曲線系－＝λ (參數(shù)λ≠0)中，當λ>0時，焦點在x軸上；當λ<0時，焦點在y軸上． 解　方法一　∵雙曲線的一條漸近線方程為x－2y＝0， 當x＝4時，y＝2<yp＝3， ∴雙曲線的焦點在y軸上． 從而有＝，∴b＝2a. 設雙曲線方程為－＝1， 由于點P(4,3)在此雙曲線上， ∴－＝1，解得a2＝5. ∴雙曲線方程為－＝1. 方法二　∵雙曲線的一條漸近線方程為x－2y＝0， 即－y＝0， ∴雙曲線的漸近線方程為－y2＝0. 設雙曲線方程為－y2＝λ (λ≠0)， ∵雙曲線過點P(4,3)，∴－32＝λ，即λ＝－5. ∴所求雙曲線方程為－y2＝－5，即－＝1. 變式遷移2　－＝1 解析　由于在橢圓＋＝1中，a2＝25，b2＝9，所以c2＝16，c＝4，又橢圓的焦點在y軸上，所以其焦點坐標為(0，4)，離心率e＝.根據(jù)題意知，雙曲線的焦點也應在y軸上，坐標為(0，4)，且其離心率等于－＝2.故設雙曲線的方程為－＝1 (a>0，b>0)，且 c＝4，所以a＝c＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，于是雙曲線的方程為－＝1. 例3　解題導引　雙曲線問題與橢圓問題類似，因而研究方法也有許多相似之處，如利用“定義”“方程觀點”“直接法或待定系數(shù)法求曲線方程”“數(shù)形結合”等． 解　(1)由16x2－9y2＝144，得－＝1， ∴a＝3，b＝4，c＝5.焦點坐標F1(－5,0)， F2(5,0)，離心率e＝，漸近線方程為y＝x. (2)|PF1－PF2|＝6，cos∠F1PF2＝ ＝ ＝＝0，∴∠F1PF2＝90. 變式遷移3　解　(1)因為a＝，b＝1，且焦點在x軸上，所以漸近線方程為 y－x＝0，y＋x＝0. (2)設P點坐標為(x0，y0)，則Q的坐標為(－x0，－y0)， λ＝＝(x0，y0－1)(－x0，－y0－1) ＝－x－y＋1＝－x＋2. ∵|x0|≥，∴λ的取值范圍是(－∞，－1]． 課后練習區(qū) 1．雙曲線右支　2.22 3. 解析　 如圖所示，在Rt△OPF中， OM⊥PF且M為PF的中點， 所以△OMF也是等腰直角三角形， 所以有OF＝OM，即c＝a. 所以e＝＝. 4．內(nèi)切 5.－＝1 解析　∵雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝x， 圓C的標準方程為(x－3)2＋y2＝4，∴圓心為C(3,0)． 又漸近線方程與圓C相切， 即直線bx－ay＝0與圓C相切， ∴＝2，∴5b2＝4a2. ① 又∵－＝1的右焦點F2(，0)為圓心C(3,0)，∴a2＋b2＝9. ② 由①②得a2＝5，b2＝4.∴雙曲線的標準方程為－＝1. 6．16 解析　由已知條件有52＝m＋9，所以m＝16. 7. 解析　設圓心P(x0，y0)，則|x0|＝＝＝4， 代入－＝1，得y＝，∴OP＝＝. 8.－＝1 解析　可知雙曲線僅與x軸有交點， ∴即x2－6x＋8＝0， ∴x＝2或x＝4，即c＝4，a＝2.∴－＝1. 9．解　(1)方法一　由題意可知所求雙曲線的焦點在x軸上，(2分) 設雙曲線的方程為－＝1， 由題意，得 解得a2＝，b2＝4.(4分) 所以雙曲線的方程為x2－＝1.(7分) 方法二　設所求雙曲線方程－＝λ (λ≠0)， 將點(－3,2)代入得λ＝，(4分) 所以雙曲線方程為－＝， 即x2－＝1.(7分) (2)設雙曲線方程為－＝1.由題意c＝2. 又雙曲線過點(3，2)，∴－＝1. 又∵a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8. 故所求雙曲線的方程為－＝1.(14分) 10．解　(1)設圓C的圓心坐標為(x，y)，半徑為r. 圓(x＋)2＋y2＝4的圓心為F1(－，0)，半徑為2， 圓(x－)2＋y2＝4的圓心為F(，0)，半徑為2. 由題意得或 ∴|CF1－CF|＝4.(4分) ∵F1F＝2>4. ∴圓C的圓心軌跡是以F1(－，0)，F(xiàn)(，0)為焦點的雙曲線，其方程為－y2＝1.(7分) (2)由圖知，MP－FP≤MF， ∴當M，P，F(xiàn)三點共線，且點P在MF延長線上時，MP－FP取得最大值MF，(9分) 且MF＝＝2.(10分) 直線MF的方程為y＝－2x＋2，與雙曲線方程聯(lián)立得 整理得15x2－32x＋84＝0. 解得x1＝(舍去)，x2＝. 此時y＝－.(12分) ∴當|MP－FP|取得最大值2時，點P的坐標為(，－)．(14分) 11．解　(1)設P(x，y)，則＝2， 化簡得x2－＝1(y≠0)．(5分) (2)①當直線BC與x軸不垂直時，設BC的方程為y＝k(x－2) (k≠0)，與雙曲線方程 x2－＝1聯(lián)立消去y， 得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0. 由題意知，3－k2≠0且Δ＞0.(7分) 設B(x1，y1)，C(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝， y1y2＝k2(x1－2)(x2－2) ＝k2 ＝k2＝.因為x1，x2≠－1， 所以直線AB的方程為y＝(x＋1)． 因此M點的坐標為， ＝. 同理可得＝. 因此＝＋ ＝＋＝0. (11分) ②當直線BC與x軸垂直時，其方程為x＝2，則B(2,3)，C(2，－3)．AB的方程為 y＝x＋1， 因此M點的坐標為，＝. 同理可得＝. 因此＝＋＝0. (13分) 綜上，＝0，故FM⊥FN. 故以線段MN為直徑的圓過點F. (14分)