2019-2020年高中數(shù)學(xué) 《直線的交點坐標與距離公式》教案9 新人教A版必修2 設(shè)計理念與思路： 讓學(xué)生掌握知識的同時，重點形成一種提出問題解決問題的能力以及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；學(xué)會發(fā)散性思考問題?？傊?，能力是主要的，知識是次要的。 教材與概念結(jié)構(gòu)分析： 解析幾何第一章主要研究的是點線、線線的位置關(guān)系和度量關(guān)系，其中以點點距離、點線距離、線線位置關(guān)系為重點，點到直線的距離是其中最重要的環(huán)節(jié)之一，它是解決其它解析幾何問題的基礎(chǔ)。 學(xué)情分析: 我們學(xué)校的學(xué)生思維能力不高,但思維較活躍,有個性,經(jīng)過長期的訓(xùn)練后,能養(yǎng)成一種比較好的思維習(xí)慣與做人的態(tài)度。 教學(xué)目標： 知識目標：讓學(xué)生掌握點線距離公式的推導(dǎo)方法并能利用公式求點線距離。 能力目標：培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的分析解決問題能力。提高學(xué)生使用現(xiàn)代化工具的動手能力。 情感目標：讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)的美；增加對解幾的興趣和信心，克服畏懼感，激發(fā)求知欲。 重點難點： 教學(xué)重點：公式的推導(dǎo)與應(yīng)用。 教學(xué)難點：知識教學(xué)方面：如何啟發(fā)學(xué)生自己構(gòu)思出距離公式的推導(dǎo)方案。 情感教育方面：如何營造課堂積極求解的氛圍。以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力。增強學(xué)生知難而進的決心。 教學(xué)資源：多煤體教室。 教學(xué)流程圖：復(fù)習(xí)——提出問題——尋找解決方案——嘗試——解決問題——形成結(jié)論——應(yīng)用結(jié)論——提出新問題。 教學(xué)過程： 一、課題引入，提出問題 師：直線方程的一般式是怎么樣的，其中的系數(shù)有什么要求的？ 生：是Ax+By+C=0 (A、B不同時為0） 師：兩點A（x,y）、B(x,y)間的距離公式是什么？ 生：|AB|=　　　　y 師：當直線AB垂直y軸或x軸時， 公式又成什么樣子的？ 生：|AB|=|x-x|或|y-y| 師：點Q在直線Ax+By+C=0 上,點P在直線外,則什么時候它們最近。 O x 生：當直線PC與直線Ax+By+C=0 垂直時。 師；這是|PQ|就是點P到直線 Ax+By+C=0的距離，它會等于什么呢？ 這就是現(xiàn)在我們要究研的問題。（板書課題） 二、課題解決，形成理念 師：如何求點P(3,5)到直線L：y=2的距離？ 生：可化為兩點間的距離。 師：是哪兩點？ 生：過點P作垂直L的直線，它交L于Q，則求PQ的距離。 師：Q的坐標有什么特點？ 生：它的橫坐標與P的一樣，縱坐標是2。且在教師的引導(dǎo)下利用公式|AB|=|x-x||或|y-y|計算。 師：變?yōu)榍簏cP(3,5)到直線L：x=2的距離？如何求？ （學(xué)生思考一會兒）教師再引導(dǎo)學(xué)生同理來求，并歸納：己知P（x,y），當直線平行x軸時，為d=|y-y|;當直線平行y軸時，為d=|x-x|。 師：那么一般情況下，己知P（x,y）與直線L，你們想到用什么方案解決這個問題呢？ 生：先求過點P且垂直L的直線； 再求兩直線交點Q的坐標； 最后用兩點間的距離公式求|PQ|。 y 師：垂直L的直線的斜率是多少？ P 它方程用什么形式？ 生：直線的斜率是，它的方程是 Q y-y=(x-x) O x 師：怎么求點Q的坐標？ 生：由這兩條直線方程聯(lián)立方程組來解。 師：這種方法好嗎？ (生沉思,感嘆：難算。) 師：所以，我們還要尋找其它的簡便的方法。我們用一個特殊點（0，0）來代 P（x,y）來思考一下，有沒有其它的好方法。 生：用面積法求|PQ|。 師：若直線交兩坐標分別于R、S兩點，則有什么關(guān)系式存在？ 生：|OR||OS|=|SR||OQ| 師：哪些可以求出來？ 生：點S、P可以算出，再算|OR|、|OS|、|SR|，從而算出|OQ|。 師：還有其它方法嗎？ 生：RtD相似法。 師：哪兩個三角形相似？ 生：DOSR與DQOP 師：其中有什么關(guān)系？ 生：，知道其中三個可以求出|OQ|。 師：還有其它方法嗎？ 生：解直角三角形。 師：要先求出哪些量？ 生：|OR|，與。 y l 師：|OQ|與它們有什么關(guān)系？ 生：|OQ|=|OR|sin 師：與直線的傾斜角a什么關(guān)系？ O R x 生：相等。 Q 師：一定嗎？如果直線不是這樣放的？ 生：或有互補關(guān)系。 S 師：所以sin與sina什么關(guān)系？ 生：相等。 師：sina怎么算？ 生：可以由tana=k算。 師：具體怎么算，先算什么？ 生：由seca=得cosa,再由sina= cosa tana算出sina就行了。 并討論哪種方法與高中知識聯(lián)系最緊密，并有代表性。 生：利用直角三角形的邊角關(guān)系來計算。 師：下面就考慮一般情況，先求什么？ 生：求|PM|， 師：∠P與傾斜角a有什么的關(guān)系？ 生：∠P = a 或 p－ a。 P l 師：然后解Rt△PMQ，求|PQ|，如何求？ 生：|PQ|=|PM|sin∠P,得 PQ|=|PM|sin a , Q sin a可由tana=k=-算出. O M a x （師生一起演算）得出 歸納：點P（x,y）到直線Ax+By+C=0的距離為d= 三、公式應(yīng)用，簡單模仿 師：上面的公式有什么范圍限制嗎? 生：無論點和直線的位置如何，點線距離公式都是適用的。 師：做以下的練習(xí) 1. 平面內(nèi)一點A到一條直線L的距離公式的使用范圍是（ ） A 對坐標平面內(nèi)任意點與直線都適用 B 當直線過原點時不適用 C 當直線的斜率不存在時不適用 D 當點A在直線L上時不適用 2. 點A(-3,2)到直線L:y=-3的距離為______. 3. 點B(-1,2)到直線L:3x=2的距離為______. 4. 點B(5,-4)到兩坐標軸的距離和為______. 5. 直線x=-1與直線x=7間的距離是_______. 6. 若B(3,m)到直線L:y=5的距離大于2，求m的取值范圍。 （以上的題目可學(xué)生口答,教師簡要分析。） 師：在什么條件下，用什么公式？ 生：己知P（x,y），當直線平行x軸時，為d=|y-y|;當直線平行y軸時，為d=|x-x|。 師：第5題中可取怎樣的兩點？ 生：與x軸的兩個交點。 四、活用公式，理解本質(zhì) 7.求點P(-1,2)到直線L:x/5+y/10=1的距離。 8.已知點(a, 6)到直線 4x-3y-3=0的距離為28/5，求a的值。 9.已知點A(1,0)到直線x/m+y=1的距離為1/2，求m的值。 學(xué)生上來板書，教師再叫其它同學(xué)來評價。 師：用到什么公式？ 生：d= 注：一般式；A、B化整求其它末知量。針對每個題目教師叫學(xué)生說清哪個是A哪個是B。 五、數(shù)形結(jié)合，提高能力 10. x軸上任意一點(a,0)到一三象限角平分線的距離是_________. 師：一三象限角平分線上點的坐標有什么特點？它的方程為什么？ 生：它的點的橫縱坐標相等，方程是y=x。 11. 求過原點且與點(-2,5)的距離為2的直線方程。 師；這樣的直線有幾條？ 生；兩條。 師：它們都有斜率嗎?當它斜率不存在時行嗎? 生(思考)：行。 師：斜率存在時，怎么求呢？ 生：設(shè)為點斜式，利用距離來求它，再寫出方程。 注：有幾個題來不及做，讓學(xué)生帶回家思考。 六、小結(jié)內(nèi)容，形成體系： 師：我們學(xué)了幾種推導(dǎo)點線距離的方法? 生：二種求點線距離的方法。 師：哪幾種求點線距離的方式? 生：①|(zhì)坐標差|②解RtD③距離公式. 師：思考新的問題——兩直線間的距離公式為什么？怎么求？ 七、作業(yè)：1.課本第45頁第12、13題。 2.補充題：已知DABC的頂點A(4,0)、B(6,7)、C(0,3)，求這個三角形的面積。 學(xué)習(xí)評價方法： 提問法、問卷法、測試法、個別學(xué)生談心法，用這些方法了解學(xué)生掌握知識，形成能力的情況。 教學(xué)反思: 這堂課，既是一堂新課，也是一堂習(xí)題課，一堂實驗課；既學(xué)習(xí)了新知識，也鍛煉了用從特殊到一般，再從一般到特殊的思維方法分析解決問題的能力，提高了學(xué)生使用現(xiàn)代化工具的動手能力；也讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)變化的美；也在學(xué)生個性情感中融入了創(chuàng)新的意識與膽量。因為我第一次上這個班，對學(xué)生的情況還不是很了解，導(dǎo)至上課時存在一定的問題，比如教師在引導(dǎo)時，有時講得太快，使個別同學(xué)還不能很快領(lǐng)會；課的容量太大，雖然用了多煤體，但還是讓練習(xí)的時間太少；設(shè)問太深，使成績中下的同學(xué)不容易回答。以下從五個方面進行進一步的反思： 一、在知識目標的落實上，我的課前設(shè)計是先討論簡單情況再討論復(fù)雜情況，然后引導(dǎo)學(xué)生從中納歸出一個公式。在這個過程中要引導(dǎo)學(xué)生討論各種可能的情況。由于備課不充分，以至于在討論原點到直線的距離時，認為就是直線的傾斜角，只說了一種情況，后來在討論一般情況時得到了補充。上面的書寫過程是有經(jīng)過稍微改動的。 二、在能力目標的落實上，我想通過多煤體的演示引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，比如，點P到點O是設(shè)計了一個動畫形式，這樣做是想讓學(xué)生通過類比，把這種方法遷移過來。在公式得出的過程中，引導(dǎo)學(xué)生用分類討論以及數(shù)形結(jié)合的思想思考問題，引導(dǎo)學(xué)生思考要全面。在上課的過程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生并不是教師想的這么聰明，因此有個別地方學(xué)生無法思考，這就要我們在設(shè)問上再下點功夫。 三、在情感目標的落實上，我主要是通過多煤體讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)的美，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，通過鼓勵，讓他們有信心去解決難題；通過不斷的提問，培養(yǎng)他們思考的堅持性。而事實上，對學(xué)生的鼓勵還不夠，以至于使數(shù)學(xué)成績較差的學(xué)生得不到回答問題的機會。所以以后，我在設(shè)問時要做到問題有梯度，讓各種學(xué)生都能想一點，說一點，做一點。 五、在知識點的聯(lián)系上，我安排了一些承上啟下的問題，使學(xué)生能利用所用的知識得出新的結(jié)論。但在設(shè)問上還不夠細化，過度不太自然，思維跨度較大，不利于中等以下學(xué)生思維的培養(yǎng)，這點在以后的教學(xué)中要注意。 六、在教學(xué)方法的展示上，我利用了動態(tài)模擬教學(xué)法與提問法等，使學(xué)生在計算機的動態(tài)的模擬下認識問題的本質(zhì)以及培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的審美觀，并在教師的問題引導(dǎo)下養(yǎng)成一種思考問題的思維習(xí)慣，為以后學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。 總之，這是一堂從全方位進行探索的課，內(nèi)容多，難度大，操作性強，所以上好上壞只是一步之差，還好這些學(xué)生在他們前任老師的培養(yǎng)下己經(jīng)初步具有了探索能力，所以這堂課總體還算成功，特作以案例，有什么不當，請大家批評指正。