2019-2020年高中數(shù)學 第十課時 誘導公式教案（2） 蘇教版必修4 教學目標： 理解誘導公式的推導方法，掌握誘導公式并運用之進行三角函數(shù)式的求值、化簡以及簡單三角恒等式的證明，培養(yǎng)學生化歸、轉化的能力；通過誘導公式的應用，使學生認識到轉化“矛盾”是解決問題的一條行之有效的途徑. 教學重點： 理解并掌握誘導公式. 教學難點： 誘導公式的應用——求三角函數(shù)值，化簡三角函數(shù)式，證明簡單的三角恒等式. 教學過程： Ⅰ.復習回顧 公式一～公式四 函數(shù)名不變，正負看象限. Ⅱ.檢查預習情況 由－α與α的終邊關于直線y＝x對稱，可得： 公式五：sin（－α）＝cosα，cos（－α）＝sinα 利用公式二和公式五可得： 公式六：sin（＋α）＝cosα，cos（＋α）＝－sinα 公式一～公式六統(tǒng)稱為誘導公式 Ⅲ.例題分析 課本P22例3，例4 補充例題： ［例1］化簡 解：原式＝ ＝＝－ ［例2］化簡 解：原式＝ ＝ ＝＝ ＝＝＝cos300＝ ［例2］已知關于x的方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0的兩個根恰好是一個直角三角形的兩個銳角的余弦，求實數(shù)m的值. 分析：依據(jù)已知條件及根與系數(shù)關系，列出關于m的方程去求解. 解：設直角三角形的兩個銳角分別為α、β，則可得α＋β＝， ∴cosα＝sinβ ∵方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0中 Δ＝4（m＋1)2－44m＝4(m－1)2≥0 ∴當m∈R，方程恒有兩實根. 又∵cosα＋cosβ＝sinβ＋cosβ＝ cosαcosβ＝sinβcosβ＝ ∴由以上兩式及sin2β＋cos2β＝1，得 1＋2＝()2 解得m＝ 當m＝時，cosα＋cosβ＝＞0， cosαcosβ＝＞0，滿足題意， 當m＝－時， cosα＋cosβ＝＜0，這與α、β是銳角矛盾，應舍去. 綜上，m＝ Ⅳ.課堂練習 課本P23練習 1、2、3、4. Ⅴ.課時小結 本節(jié)課同學們自己導出了公式五、公式六，完成了教材中誘導公式的學習任務，為求任意角的三角函數(shù)值“鋪平了道路”.利用這些公式，可把任意角的三角函數(shù)轉化為銳角三角函數(shù)，為求值帶來很大的方便，這種轉化的思想方法，是我們經(jīng)常用到的一種解題策略，要細心去體會、去把握.利用這些公式，還可以化簡三角函數(shù)式，證明簡單的三角恒等式，我們要多練習，在應用中達到熟練掌握的程度. Ⅵ.課后作業(yè) 課本P24習題14、15、18. 誘導公式（二） 1．下列不等式中，正確的是 （ ） A.sinπ＞sinπ B.tanπ＞tan(－) C.sin(－)＞sin(－) D.cos(－π)＞cos(－π) 2．tan300＋sin450的值為 （ ） A.1＋ B.1－ C.－1－ D.－1＋ 3．已知cos(π＋θ)＝－，θ是第一象限角，則sin（π＋θ）和tanθ的值分別為（ ） A. ，－ B.－， C.－，－ D.－，－ 4．已知x∈(1，)，則|cosπx|＋|cos|－|cosπx＋cos|的值是 （ ） A.0 B.1 C.2 D.－1 5．＝ . 6．若α是第三象限角，則= . 7．sin2(－x)＋sin2(＋x)＝ . 8．已知sin（π－α）－cos(π＋α)＝ (＜α＜π， 求sinα－cosα與sin3（＋α）＋cos3(＋α)的值. 9．設sinα＝，cosβ＝－，且α、β不在同一象限，求sin（α＋β)的值. 10．已知cos(75＋α)＝，其中α為第三象限角，求cos(105－α)＋sin(α－105)的值. 誘導公式（二）答案 1．B 2．B 3．B 4．A 5． 6．－sinα－cosα 7．1 8．已知sin（π－α）－cos(π＋α)＝ (＜α＜π， 求sinα－cosα與sin3（＋α）＋cos3(＋α)的值. 分析：對已知條件中的式子與所求式子先利用誘導公式化簡，求得sinαcosα，進而求得sinα－cosα的值. 解：∵sin（π－α）－cos(π＋α) ＝ (＜α＜π) ∴sinα＋cosα＝ 將其兩邊平方得：1＋2sinαcosα＝ ∴sinαcosα＝－， ∵＜α＜π ∴sinα－cosα ＝＝ 又sin3（＋α）＋cos3(＋α) ＝sin3［π－(－α)］＋cos3［π－(－α)］ ＝sin3(－α)－cos3(－α)＝－sin3α＋cos3α ＝(cosα－sinα)(cos2α＋sinαcosα＋cos2α) ＝－（1－)＝－ 9．設sinα＝，cosβ＝－，且α、β不在同一象限，求sin（α＋β)的值. 分析：依據(jù)已知條件可得α、β滿足條件的情況有： （1）α在第一象限，β在第二象限； （2）α在第一象限，β在第三象限； （3）α在第二象限，β在第三象限. 解：（1）當α在第一象限，β在第三象限時， α＝2kπ＋ (k∈Z)，β＝2nπ＋ (n∈Z)，則有： α＋β＝2(k＋n)π＋π sin(α＋β)＝sinπ＝ (2)當α在第一象限，β在第二象限時，α＝2kπ＋ (k∈Z)，β＝2nπ＋π(n∈Z)則有：α＋β＝2(k＋n)π＋π sin(α＋β)＝sinπ＝sinπ＝－1 (3)當α在第二象限，β在第三象限時，α＝2kπ＋π(k∈Z)，β＝2nπ＋π(n∈Z)則有：α＋β＝2(k＋n)π＋π sin(α+β)＝sinπ＝sin＝ 綜上，得sin（α+β）＝ 10．已知cos(75＋α)＝，其中α為第三象限角，求cos(105－α)＋sin(α－105)的值. 分析：依據(jù)已知條件與所求結論，尋求它們的關系（75＋α)＋(105－α)＝180，結合三角函數(shù)誘導公式求得. 解：∵cos(105－α)＝cos［180－(75＋α)］＝－cos(75＋α)＝－ sin(α－105)＝－sin［180－(75＋α)］＝－sin(75＋α) ∵cos(75＋α)＝ ＞0 又∵α為第三象限角，∴75＋α為第四象限角 ∴sin（75＋α)＝－ ＝－＝－ ∴cos(105－α)＋sin(α－105) ＝－＋＝